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第二章第二章 拓拓 扑扑 空空 间间 v2.1 拓拓 扑扑 空空 间间v2.2 拓扑基与邻域系拓扑基与邻域系,邻域基邻域基v2.3 度度 量量 拓拓 扑扑v2.4 闭集闭集,闭包闭包v2.5 导集导集,内内 部部,边边 界界v2.6 拓扑空间中的序列拓扑空间中的序列v2.7序序 拓拓 扑扑2.1 拓拓 扑扑 空空 间间v 重点：拓扑空间定义的理解重点：拓扑空间定义的理解v 难点：拓扑空间定义的理解难点：拓扑空间定义的理解(1);(2)如果，则；(3)若,则.即 是X的一个子集族.如果 满足如下条件:集),则称 是X的一个拓扑.定义定义2.1.1 设X是一个集合,(表示X的幂(1)X的任意有限开集族的交是开集.(3)任何开集族的并是开集.扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理解为：一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件：,(1)是开集(2)任意两个开集的交集是开集是X的拓扑的条件可以叙述为:(2)X的任意开集族的并是开集.中的每一个元素是拓设是X的一个拓扑，由于例例2.1.1 平庸空间平庸空间是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑，并且我们.间中只有两个开集，即X自身和空集例例2.1.2 离散空间离散空间是开集.为一个离散空间,在离散空间中,X的每一个 子集都是一个集合，令设，易验证个拓扑,称之为X的离散拓扑,并且称拓扑空间(X,)为一个平庸空间.显然在平庸空称拓扑空间(X,设X是一个集合,令,显然,是X的一 例例2.1.3 设X是一个三元素集合,我们X上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些拓扑.当然，通过对以上拓扑中a,b,c的不同排列，我们在X上还可建立其它拓扑结构.但是,并不是X的每个子集族都是X的拓扑.例例2.1.4 有限补拓扑有限补拓扑设X是一个集合，首先注意，当我们考虑的问题 中的全集自明时，在求补集运算时我们并不每次 提起，因此在本例中，A的补集A即为XA.令 例如，下面的两个X的子集族就不是X的拓扑.A1=a,b,X,A2=a,b,b,c,X,不满足定义2.1.1条件(3),A不满足定义2.1.1条件(2)A即(1)根据定义,此外，由于因此.(2)设，若或者，则；假定，由De Morgan定律以及为有限集可知是有限集，因此.(3)设,如果,则.是X的一个拓扑.先验证如果,当时,;当时,取,这时.由于且，因此是有限集，从而是有限集，因.此根据上述(1),(2),(3),是X的一个拓扑,称之为X的有限补拓扑,拓扑空间(X,)称为一个有限补空间.读者不难验证,有限集X的有限补拓扑是X的离散拓扑,即若X是一个有限集,那么例例2.1.5 可数补拓扑.设X是一个集合，令=UX|X-U是X的一个可数即可数集合X的可数补拓扑是X的离散拓扑.子集通过与例2.1.4中完全类似的作法易验是X的一个拓扑(留作习题),称之为X的可数补拓证)称为一个可数补空间.扑,拓扑空间(X,读者自行验证，若X是一个可数集，则否则，就称为不可比较的.当然，同集合上不可比较的拓扑是存在的，例如定义定义2.1.2 设 是集合X上的两个拓扑,如果 或称 比 粗,如果,我们称 比 细,我们称 比 严格细,或称 比 严格地粗.如果 我们称拓扑 与 是可比较的.或是X显然，对于集合X来讲，粘合扑拓 =X,上最粗的拓扑，离散拓扑 =P(X)是X上最细的拓扑.与 就是X的两个不可比较的拓扑.，那么间.习习 题题 2.12.对每一个正整数，令，证明 是正整数集Z+的一个拓扑.X上的两个给定拓扑.令,证明是一个拓扑空拓扑.1.验证例2.1.5中集族 是X上的拓扑.3.设(X,)是一个拓扑空间,是任何一个不属于X的元素,(3)设，也是X的4.(1)设 和 是集合X上的两个拓扑,证明 可以不是X上的拓扑，其中 ，是(2)举例说明是集合X上的一族拓扑,证明在X上存在一5.设.拓扑包含着每个之中,在X上存在一个最粗的个最细的拓扑空间包含于每个(提示:设是X上一族拓扑,则是X上的一个拓扑).于 和 的最细的拓扑.找出包含 和 的最粗的拓扑和包含难点：由邻域系决定拓扑方法的证明难点：由邻域系决定拓扑方法的证明 2.2 拓扑基与邻域系拓扑基与邻域系,邻域基邻域基重点：邻域的定义，性质，邻域基的定义重点：邻域的定义，性质，邻域基的定义构成的X的子集族称为点x的邻域系.易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么一定是x的一个邻域，此时我们称U是点x的一个开邻域.点x的所有邻域VU,则称U是点x的一个邻域.得xU是X的一个子集且满足条件:存在一个开集V 使X，如果定义定义2.2.1 设(X,)是一个拓扑空间,x故U,U便是x的一个邻域.只要x证明:必要性.若U是开集，则对每点xX,U即是x的一个开邻域.充分性.若U=，显然U是开集，若U 则对x U，由于U是邻域，由定义2.2.1，必存在开集Ux使得x UxU.因此，由定义2.1.1(3)知U是一个开集.充分必要条件是U是它的每一点在(X,)中的邻域.即定理定理2.2.1 拓扑空间(X,)的一个子集U是开集的邻域系,则:证明:(1)对于任何由于X是一个开集,因此X是定理定理2.2.2 设X是一个拓扑空间,记 为点x X的(2)如果U,V ,则U;x ，则,并且如果U(1)对于任何xX,满足条件,则存在(4)如果对于,有(3)如果U ,并且,则使得,因此 由定理2.2.1一个点的邻域必包含这个点本身.此外根据,因此x的一个开邻域,因此 于是一个开集,因此,由定义2.2.1则存在开集U0，V0(2)设从而有,因此使得则存在开集且(3)设由于 因此V是x的开邻域.因此使得 由定义2.1.1则存在开集(4)设V是开集，因此由定理2.2.1可知V是它每一点的邻域,即对每个 了X的子集族U x,并且它们满足定理2.2.2中的条件(1)证明:即拓扑空间(x,)中的邻域系.定理定理2.2.3 设X是一个集合,又设对于每一点x指定则 是U,则UX|如果x-(4),令唯一的一个拓扑使得对于每一点 子集族 是点x在.(i)显然;对于任意,由条件(1),取显然有由条件(3)可知是点的邻域,因此.(ii)设,如果因此因此必有,由条件(2)可知,由的任意性可知.由于，且由条件(3)有 下面验证 是X的一个拓扑.，使得,则存在对任意(iii)设 X的一个拓扑.中的邻域系.下面证明(i)设由条件(4)可知存在使得且对任意有因此从而且由定义2.2.1可知因此因此我们证明了 是.因此，.对每一点x以记点x在拓扑空间(X,)(ii)设由定义2.2.1可知存在(3)可知 因此从而我们证明了扑空间(X,)的邻域系,然后证明是X的又一个拓扑使得对于是点x在拓(i)设即是拓扑空间(X,)中的开集,又假定是x点在(X,)中的邻域 系,因此由 即子集族恰是点x在(X,)中的邻域系.由条件使得显然根据 的定义 下面证明拓扑 的唯一性,为此我们假定 义有因此.必有然而又假定是x点在（X,）中的邻域系，由定理2.2.1的充分性可知 因此综合(i)(ii)知(ii)设即U是（X，）中的开集，又已证明由定理2.2.1可知对于任意再由 的定是x点在（X，）中的邻域系，因此对于任意 对每个 存在使得则称为点显然,即所有包含点x的开集且满足条件：是x点在(X,)中的邻域系,如果定义定义2.2.2 设(X,)是一个拓扑空间,对每个 构成的集族,是x点在(X,)中的一个邻域基.x在(X,)中的一个邻域基.难点：由拓扑基决定拓扑的方法证明难点：由拓扑基决定拓扑的方法证明 2.2 邻域系邻域系,邻域基与拓扑基邻域基与拓扑基重点：由拓扑基决定拓扑的方法重点：由拓扑基决定拓扑的方法与应用与应用，满足条件:对于每个，存在B 使得是拓扑空间X的一的一个基，也称则称是拓扑个基.例例2.2.1 在离散拓扑空间X中,=P(X)，显然B=x|如果定义定义2.2.3 设(X,)是一个拓扑空间,Xx 就是X的一个拓扑基.,B使得x(1)对每个x X,存在U(2)如果B1,B2B,x那么存在B3B使得xB3B1B2.因此对每个xX，即x存在UU,使得x U，由B,U 于U因此UB.扑基，则 满足下列条件:定理定理2.2.4 设(X,)是一个拓扑空间,是 的一个拓B,使得X=证明(1)由于X ,因此存在U B,使得U,因此若则存在B3U使得xB3B,使X|存在U =U 2.2.6中的条件(1)(2),则,因此存在 ,因此(ii)若B1,B2B,由于B 是X的唯一拓扑使得 是 的一个拓扑基.此得U=定理定理2.2.5 设X是一个集合,B(X),且 满足定理时我们称 是由基 生成的拓扑.证明:先验证 是X的一个拓扑.由条(i)由于B且,因此;又对 Ux|x X，因此Bx 显然U1U2=，且 B,使得U2=U2，因此U2使得 U1,B设x U1U2,则存在AB，使得U1=，则存在U1(ii)设U1，U2 存在X,显然X=使得 件(1):存在 且U2,又由于A，BB 由条件(2)可知存在BxB 使得xBx|x U1U2B,因此.图2.2.1因此 A=，由于B|B UA,AA的关系如图2.2.1B,因此A B使得A=存在UAA，则对A(iii)设A 下面,我们在实直线上给出几种拓扑.由这个基生成的拓扑称为实数集合上的通常拓扑，带有通常拓扑的空间称为实数空间。为拓扑基的另一个拓扑,读者不难证明 .由 的定义即可知 是 的一个拓扑基.再设 是以例例2.2.2 设 是由实直线R上的全部开区间构成，即理2.2.7中条件(1)(2),从而 是R上的一个拓扑基.=(a,b)|ab=x|axb|ab,容易验证 满足定例例2.2.3 设=a,bR|ab=axbR|aM时只能有.使得件是存在时,.(2)如果A是X中的一个不可数子集,则d(A)=X,即X中每一点都是A的极限点.,这是因为假如数集,因此,则有X即由于A是不可数集而XU是可数集.因此是不可能的.从而只有,由于A是不可数集,从而A-x仍,因此xd(A),因此是不可数集,从而 ,则XU是一个可设,对任意UBx,由于Bxd(A)=X.,其中 立.令A=X-,它是一个不可数集,根据是A的一个极限点,然,也就是说(2)我们有而根据(1),在A(即X-)中不可能有序列收敛于.定理定理2.6.3 设(X,)是一个度量空间,是X中的一.则以下条件等价:个序列，现在说明定理2.6.2的逆命题在拓扑空间(X,)中不成(1)序列收敛于x;(2)对于任意给定实数存在当时,有.(3)证明由读者自己完成.习习 题题 2.61.设X是一个离散空间,设是X中的一个序列,收敛当且仅当存在证明：序列使得当时,有.2.设(X,d)是一个度量空间,证明(1)X中的每一个收敛序列只有唯一的一个极限点,(2)定理2.7.2的逆命题成立.3*.举出定理2.7.2和定理2.7.3的逆命题不成立的例子,使得所涉及的空间只含有可数个点.4.设是两个拓扑空间，并且，证明：若X中序列在拓扑空间收敛于x，中也收敛于x.在拓扑空间则序列设X是一个有序集,我们可以像实数集R那样在X上定义标准拓扑,我们称之为序拓扑.定义定义2.7.1 设是X上的一个序关系,a,bX,ab,以下四种形式的子集叫做X中的区间.(a,b)=x|axb 叫做X中的开区间,=x|axb 叫做左开右闭区间,=x|axb 叫做左闭右开区间,b 叫做闭区间.=x|ax 2.7序序 拓拓 扑扑定理定理2.7.1 设1时，n=(n-1,n+1)是一个基成员,当n=1时,1=也是一个基成员.证明:检验 满足定理2.2.7中条件(1)-(2),由读者自例例2.7.2 是一个有最小元(在通常序下)的有序集，是其 上的序拓扑是离散拓扑,因为 X上的序拓扑不是离散拓扑,虽然在这个字典序拓扑空间中大多数几乎全部的单点集都是开集,但单点有直接前行.例例2.7.3 设X=1,2 是字典序集,该序集有一个最小元,但没有最大元,我们用 表示(1,n),用 表示(2,n),则X可表示如下:集 不是开集,因为任何一个包含 的基成员必定包含 从某一项以后的全部项,这是因为 没B，A则开区间(A,B)=(a,b),(c,d)如图2.7.1所示,读格地细.例例2.7.4 我们给实平面 上赋予字典序.在字典序下,即无最大元,亦无最小元,因此 上的序拓扑基成的一个基,因此 上的字典序拓扑比 上的标准拓扑严第一种类型的开区间构成的集族是 上字典序拓扑者自行验证集族 =(a,b),(a,d)|ba和xX|xa为X中的开射线,分别记作和,称X的子集x|xa和xX|xa为X中的闭射线,分别记作和定理定理2.7.2 设X是一个有序集,并且X至少有两个元素,全部开射线构成的集族,即是X上序拓扑的一个子基.证明:设X上的序拓扑为 ,的一个基 由定理2.7.1给出;设X上以 为子基的拓扑为 *,*的一个由 生成的基B的元(a,b),显然(a,b)=因此(a,b)*;.又对于 的基由定理2.2.1给出.显然S ，因此 *,由于a0,b0分别是X的和对于 的基 的元素最大元和最小元,因此 的拓扑就是X上的序拓扑.例例2.7.4 设R为通常序下的实数空间,则实数空间R的显然,由S 生成的基为(a,b)|ab,a,bR,因此,由例2.2.8序拓扑的子基为 S=可知,R上的通常序拓扑就是R上的标准序拓朴.*,因此X上以S为子基从而 *,因此 例例2.7.5 设I=0,1.即I是实数集R的一个子集.I作为有序集R的子集也是一个有序集,显然,这个有序集有最是0,1上序拓扑的一个子基.小元0和最大元1,因此 S=习习 题题 2.71.在实平面定义关系“”为：当且仅当或(1)证明“”是平面上的一个序关系.(2)在平面上给出区间(0,-1),(1,1)的图形表示.2.设I=0,1,则,设上的序关系是上的字上的限制(见 典序关系在习题1.2.8).试用图形表上序拓扑的基成员.示3.证明上的字典序拓扑比上的标准拓扑严格地细.