信号与系统分析——宗伟-3.ppt

l 重点重点：第3章 连续时间信号与系统的频域分析1.傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶级数和傅里叶级数的性质2.傅里叶变换和傅里叶变换的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质3.周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号和非周期信号的频谱分析4.连续时间连续时间LTI系统的频域分析系统的频域分析5.抽样和抽样定理抽样和抽样定理在满在满足足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数1 1三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数3.13.1周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶傅里叶级数级数直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度正弦分量的幅度正弦分量的幅度其他形式其他形式余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图关系曲线称为相位频谱图可画出可画出频谱图频谱图周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性离散性，谐波性，收敛性 幅度频率特性和相位频率特性幅度频率特性和相位频率特性连续时间周期信号可以用连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数表表示为示为其中其中两项的基波频率为两项的基波频率为f f0 0，两项合起来称为两项合起来称为信号的信号的基波分量基波分量的基波的基波频率率为2f0 0，两两项合起来称合起来称为信号的信号的2次次谐波分量波分量的基波的基波频率率为Nf0 0，两两项合起来称合起来称为信号的信号的N次次谐波分量波分量物理含物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。2.2.指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数相频特性相频特性幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性3 3确定信号的基频和周期确定信号的基频和周期当不考虑信号的直流分量时当不考虑信号的直流分量时,的的3 3个分量的角频率分别个分量的角频率分别时时1/2,2/3,1/2,2/3,和和7/6,7/6,相邻两个频率之比为相邻两个频率之比为3/4,4/7,3/4,4/7,和和3/7,3/7,显显然三者之间呈现谐波关系然三者之间呈现谐波关系,他们之中的最大公约数时他们之中的最大公约数时1/6,1/6,因此因此1/61/6是基频是基频 ,也就时说该信号具有也就时说该信号具有3 3次次,4,4次和次和7 7次谐次谐波波,进一步可求得周期进一步可求得周期讨论讨论4 4周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱x(t)x(t)F Fn nt t0 00 0E ET T-T-TAAn n0 05.5.信号的频带宽度信号的频带宽度在在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。信号来表示，此频率范围称为频带宽度。一般把一般把第一个零点第一个零点作为信号的频带宽度。记为：作为信号的频带宽度。记为：3.2 3.2 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析 傅里叶变换傅里叶变换1.1.从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换当周期信号的周期当周期信号的周期T1T1无限大时无限大时,就演变成了就演变成了非周期信号的单脉冲信号非周期信号的单脉冲信号频率也变成连续变量频率也变成连续变量频谱演变的定性观察-T/2-T/2T/2T/2T/2T/2-T/2-T/2傅立叶傅立叶变换变换傅立叶的逆变换傅立叶傅立叶逆变换逆变换物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，复振幅为F()/2pd的复指数信号ej t的线性组合。傅立叶变换一般为复数傅立叶变换一般为复数FTFT一般为复函数一般为复函数若若f(t)为实数，则为实数，则幅频为偶函数幅频为偶函数,相频为奇函相频为奇函数数傅立叶变换存在的充分条件傅立叶变换存在的充分条件用广义函数的概念，允许奇异函数也用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换一类函数也存在傅立叶变换傅立叶正变换：傅立叶正变换：傅立叶反变换：傅立叶反变换：符号表示：符号表示：试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数 解解 非周期矩形脉冲信号非周期矩形脉冲信号f f(t t)的时域表示式为的时域表示式为由由傅立叶正变换定义式，傅立叶正变换定义式，可得可得(1)(1)矩形脉冲信号矩形脉冲信号幅度频谱幅度频谱：相位频谱相位频谱：2.2.常见非周期信号的频谱常见非周期信号的频谱频谱图频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱频宽：频宽：(2)(2)单边指数信号单边指数信号频谱图频谱图幅度频谱幅度频谱：相位频谱相位频谱：(3)(3)双边指数信号双边指数信号e-|t|幅度频谱为幅度频谱为相位频谱为相位频谱为(4)(4)单位阶跃信号单位阶跃信号(t)单位阶跃信号及其频谱单位阶跃信号及其频谱(5)(5)单位冲激信号单位冲激信号(t)单位冲激信号及其频谱单位冲激信号及其频谱7 7符号函数符号函数处理方法：处理方法：tea a-tea a-做做一个双边函数一个双边函数不满足绝对不满足绝对可积条件可积条件频谱图频谱图1.1.线性特性线性特性2.2.对称特性对称特性 3.3.尺度变换尺度变换4.4.时移特性时移特性 5.5.频移特性频移特性6.6.卷积定理卷积定理 7.7.微分特性微分特性 8.8.积分特性积分特性 3.3 3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质其中其中a a和和b b均为常数。均为常数。则则1.1.线性特性线性特性2.2.互易对称特性互易对称特性证明证明:令x=at，则dx=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。域压缩。3.3.尺度变换尺度变换式中式中t t0 0为任意实数为任意实数证明：证明：令令x=t-t0，则则dx=dt，代入上式可得代入上式可得信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。4 4 时移特性时移特性试求图示延时矩形脉冲信号试求图示延时矩形脉冲信号f f1(t t)的频谱函数的频谱函数F F1(jwjw)。解解 无延时且宽度为无延时且宽度为 的矩形脉冲信号的矩形脉冲信号f f(t t)如如右图，右图，因为因为故，由延时特性可得故，由延时特性可得其对应的频谱函数为其对应的频谱函数为若若f f(t t)F F(j(j)式中式中 0 0为任意实数为任意实数证明：证明：由傅立叶变换定义有由傅立叶变换定义有则则5.频移特性频移特性信号信号f f(t t)与余弦信号与余弦信号coscosw w0 0 t t相乘后，其频谱是相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移将原来信号频谱向左右搬移w w0 0，幅度减半。幅度减半。同理同理(1)(1)时域卷积定理时域卷积定理证明：明：6.卷积定理卷积定理证明：证明：(2)(2)频域卷积定理频域卷积定理(1)(1)时域微分时域微分则则若若f f(t t)F F(j(j)7.微分性质微分性质 试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。解解 由时域微分特性由时域微分特性因此有(2)(2)频域微分频域微分则则 若若 f f(t t)F F(j(j)将上式两边同乘以将上式两边同乘以j j得得证明：证明：试求单位斜坡信号试求单位斜坡信号t t(t t)的傅立叶变换。的傅立叶变换。解解 已知单位阶跃信号傅立叶变换为已知单位阶跃信号傅立叶变换为:利用频域微分特性可得利用频域微分特性可得:(1)(1)时域积分性质时域积分性质也可以记作：也可以记作：8.积分性质积分性质1.求单位阶跃函数的傅里叶变换求单位阶跃函数的傅里叶变换解：解：解：解：周期信号：周期信号：非周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换如何求？周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？与傅里叶级数的关系？3.4 3.4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换由傅里叶级数的指数形式出发：由傅里叶级数的指数形式出发：其傅氏变换其傅氏变换(用定义用定义)认识认识如何由如何由 求求比较式比较式(1),(2)周期周期单位冲激序列的傅里叶变换单位冲激序列的傅里叶变换频谱频谱周期矩形脉冲序列的傅氏变换周期矩形脉冲序列的傅氏变换方法方法1利用时域卷积定理，周期利用时域卷积定理，周期T1利用冲激函数的抽样性质利用冲激函数的抽样性质方法方法2是功率有限信号是功率有限信号 则则 的的平均功率平均功率为：为：定义定义 f(t)的功率密度函数的功率密度函数(功率谱）功率谱）3.53.5信号的功率谱与能量谱信号的功率谱与能量谱1.功率谱功率谱并取并取 两端乘以两端乘以 可以得到：可以得到：即即 功率有限信号的功率谱函数与自相关函数功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换是一对傅里叶变换 由相关定理知由相关定理知 所以所以又能量有限信号的自相关函数是又能量有限信号的自相关函数是有下列关系有下列关系 2.能量谱能量谱若若 为实数为实数,上式可写成上式可写成 帕塞瓦尔方程帕塞瓦尔方程定义定义能量谱密度（能谱）能量谱密度（能谱）所以有所以有 所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。3.6 3.6 调制和解调调制和解调1.调制调制定义定义 所谓调制所谓调制,就是用一个信号去控制另就是用一个信号去控制另一个信号的某一参量的过程一个信号的某一参量的过程.其中控制信号其中控制信号称为调制信号称为调制信号,被控制信号称为载波被控制信号称为载波.乘法器乘法器调制信号调制信号已调信号已调信号调制的分类调制的分类按载波按载波正弦型信号作为载波正弦型信号作为载波脉冲串或一组数字信号作为载波脉冲串或一组数字信号作为载波连续性连续性模拟（连续）调制模拟（连续）调制数字调制数字调制 载波是高频正弦波载波是高频正弦波,控制载波的幅度称控制载波的幅度称为调幅为调幅(AM),控制载波的频率或者相位分别控制载波的频率或者相位分别称为调频称为调频(FM)或调相或调相(PM).2.解调解调将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。低通滤波器低通滤波器余弦函数发生器余弦函数发生器频谱频谱利用包络检波器解调利用包络检波器解调r(t)：半波整流信号：半波整流信号w(t)：图中得到的包络：图中得到的包络x(t)：实际包络，即：实际包络，即A+g(t)3.频分复用频分复用复用：在一个信道上传输多路信号。复用：在一个信道上传输多路信号。频分复用频分复用 （FDM）时分复用时分复用 （TDM）码分复用（码分多址）码分复用（码分多址）（CDMA）波分复用波分复用（WDM）频分复用：就是以频段分割的方法在一个频分复用：就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。信道内实现多路通信的传输体制。(frequency division multiply)调制，将各信号搬移到调制，将各信号搬移到不同的频率范围。不同的频率范围。3.7 3.7 连续时间系统连续时间系统(LIT)(LIT)的的频域分析频域分析1.频域的系统函数及频域分析频域的系统函数及频域分析系统系统函数函数仅与系统本身的特性仅与系统本身的特性有关有关,而与外加激励而与外加激励无关无关求解响应的傅氏变换法求解响应的傅氏变换法:(1)将输入激励将输入激励 变换为频域的变换为频域的(2)确定系统函数确定系统函数 ,可借助正可借助正弦稳态电路的分析方法弦稳态电路的分析方法(3)求出响应的傅氏变换求出响应的傅氏变换(4)求傅氏反变换求傅氏反变换,得得2.信号的无失真传输信号的无失真传输所谓信号的无失真传输是指输出信号与输入所谓信号的无失真传输是指输出信号与输入信号相比只有幅度大小的变化和出现时间的信号相比只有幅度大小的变化和出现时间的先后先后,而波形上没有任何变化而波形上没有任何变化.数学描述为数学描述为:的的低低频频段段内内，传传输输信信号号无无失失真真()。为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。频带。3.理想滤波器理想滤波器(1)(1)冲激响应冲激响应波形波形由由对称性可以从矩形脉对称性可以从矩形脉冲的傅氏变换式得到同冲的傅氏变换式得到同 样的结果样的结果.1 1比较输入输出，可见严重失真；比较输入输出，可见严重失真；2 2理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统认识认识 当当 经经过过理理想想低低通通时时，以以上上的的频频率率成成分分都衰减为都衰减为0，所以失真。，所以失真。信号频带无限宽信号频带无限宽，而理想低通的通频带而理想低通的通频带(系统频带系统频带)有限的有限的系统为全通网络，可以系统为全通网络，可以 无失真传输无失真传输。原因：从原因：从h(t)看，看，t0时已有值。时已有值。激励激励系统系统响应响应(2)(2)阶跃响应阶跃响应波形波形2阶阶跃跃响响应应的的上上升升时时间间tr与与网网络络的的截截止止频频率率B（带带宽）成反比宽）成反比 。B B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。1 1上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间：间：X认识认识(3)(3)可实现滤波器的约束条件可实现滤波器的约束条件低通滤波器低通滤波器