信号与系统分析——宗伟-9.ppt

第9章 线性系统的状态变量分析l 重点重点：1.连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立2.连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解3.离散时间系统状态方程的建立离散时间系统状态方程的建立4.离散时间系统状态方程的求解离散时间系统状态方程的求解9.19.1 状态、状态变量和状态方程状态、状态变量和状态方程1 1系统状态与状态变量系统状态与状态变量产生于产生于2020世纪世纪5050至至6060年代；年代；卡尔曼卡尔曼(R.E.Kalman)引入；引入；利用状态变量描述系统的利用状态变量描述系统的内部内部特性；特性；运用于运用于多多输入输入多多输出系统；输出系统；用用n个状态变量的一阶微分（或差分）方个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统程组来描述系统 。状状态态：表表示示动动态态系系统统的的一一组组最最少少变变量量（被被称称为为状状态态变变量量），只只要要知知道道 时时这这组组变变量量和和 时时的的输输入入，那那么么就就能能完完全全确确定定系系统统在在 任任何何时时间间 的行为。的行为。状状态态变变量量：能能够够表表示示系系统统状状态态的的那那些些变变量量成成为为状态变量。例如上例中的状态变量。例如上例中的 。状状态态矢矢量量：能能够够完完全全描描述述一一个个系系统统行行为为的的k k个个状状态态 变变 量量，可可 以以 看看 作作 矢矢 量量 的的 各各 个个 分分 量量 的的 坐坐 标标。称为状态矢量。称为状态矢量。2 2状态方程和输出方程状态方程和输出方程给定系统的模型和输入激励函数，用状态变给定系统的模型和输入激励函数，用状态变量分析该系统时，可以分为两步：量分析该系统时，可以分为两步：1.根据系统的初始状态求出各个状态变量的根据系统的初始状态求出各个状态变量的时间函数时间函数-状态方程状态方程 2.用这些状态变量来确定初始时间以后的系用这些状态变量来确定初始时间以后的系统的输出响应函数统的输出响应函数.-输出方程输出方程微分方程（输入输出描述法）：微分方程（输入输出描述法）：其中其中写为写为写为矩阵形式：写为矩阵形式：只要知道只要知道 的初始状态及输入的初始状态及输入 即可完全即可完全确定电路的全部行为。确定电路的全部行为。输出方程输出方程此方法称为状态变量或状态空间分析法；此方法称为状态变量或状态空间分析法；为状态变量。为状态变量。则则用状态变量分析系统的优点用状态变量分析系统的优点:(1)(1)提供了系统的内部特性以供研究；提供了系统的内部特性以供研究；(2)(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；数值计算；(3)(3)便于分析多输入多输出系统；便于分析多输入多输出系统；(4)4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；容易推广应用于时变系统或非线性系统；(5)(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。引出了可观测性和可控制性两个重要概念。9.29.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立1 1状态变量的选取状态变量的选取对于一个电路对于一个电路,选择状态变量最常用的方选择状态变量最常用的方法时取全部法时取全部独立独立的电感电流和的电感电流和独立独立的电的电容电压容电压.状态变量的个数状态变量的个数,等于系统的阶数等于系统的阶数.2 2状态方程的建立状态方程的建立建立状态方程的工作分为以下三个步骤建立状态方程的工作分为以下三个步骤:(1)取所有独立的电感电流和电容电压为状态变量取所有独立的电感电流和电容电压为状态变量.(2)对于每一个电感电流对于每一个电感电流,各列出一个包括此电流各列出一个包括此电流的一阶导数在内的回路电压方程的一阶导数在内的回路电压方程;对于每个电容电对于每个电容电压压,各列出一个包括此电压的一阶导数在内的节点各列出一个包括此电压的一阶导数在内的节点电流方程电流方程.(3)把上面方程中的非状态变量表示为状态变量从把上面方程中的非状态变量表示为状态变量从而消去非状态变量而消去非状态变量,整理得到的标准形式的状态方整理得到的标准形式的状态方程程.3 3状态方程的矢量表示状态方程的矢量表示3 3输出方程输出方程写出下图所示电路的状态方程和输出方程。写出下图所示电路的状态方程和输出方程。选电感电流选电感电流 和电容两端电压和电容两端电压 作为状态变量作为状态变量对连接电容的节点对连接电容的节点A列节点电流方程列节点电流方程对包含电容的回路对包含电容的回路 列回路电压方程列回路电压方程整理整理写成矩阵形式写成矩阵形式输出方程为输出方程为9.39.3 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解1 1连续时间系统状态方程的连续时间系统状态方程的S S域解法域解法由矩阵代数知由矩阵代数知伴随矩阵伴随矩阵行列式行列式已知系统的状态方程和起始条件为已知系统的状态方程和起始条件为试求系统的状态变量。试求系统的状态变量。(1)求特征矩阵求特征矩阵其行列式和伴随矩阵分别为其行列式和伴随矩阵分别为所以预解矩阵为所以预解矩阵为则状态变量矩阵为则状态变量矩阵为已建立状态方程和输出方程为已建立状态方程和输出方程为起始状态为起始状态为输入矩阵为输入矩阵为用拉氏变换法求响应用拉氏变换法求响应 和转移函数矩阵和转移函数矩阵 。所以预解矩阵所以预解矩阵 为为(1)(1)求特征矩阵求特征矩阵其行列式和伴随矩阵分别为其行列式和伴随矩阵分别为（2 2）求转移函数矩阵）求转移函数矩阵（3 3）求输出矩阵）求输出矩阵2 2连续时间系统状态方程的时域解法连续时间系统状态方程的时域解法式中式中 为为 方阵方阵,也是一个也是一个 方阵方阵主要性质主要性质若已知若已知并给定起始状态矢量并给定起始状态矢量对式对式(1)两边左乘两边左乘 ，移项有，移项有化简，得化简，得两边取积分，并考虑起始条件，有两边取积分，并考虑起始条件，有 对上式两边左乘对上式两边左乘 ，并考虑到，可得，并考虑到，可得为方程的一般解为方程的一般解求输出方程求输出方程r(t)9.49.4 离散时间系统状态方程的建立离散时间系统状态方程的建立1 1离散时间系统状态方程的一般形式离散时间系统状态方程的一般形式输出方程为输出方程为可见：可见：n+1时刻的状态变量是时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入时刻状态变量和输入信号的函数。信号的函数。在离散系统中，动态元件是延时单元，因而在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常选延时单元的输出。状态变量常常选延时单元的输出。表示为矢量方程表示为矢量方程各矩阵说明各矩阵说明2.2.由系统输入由系统输入-输出差分方程建立状态方程输出差分方程建立状态方程已知离散系统的二阶差分方程为已知离散系统的二阶差分方程为试列出其状态方程和输出方程试列出其状态方程和输出方程.令令 和和 为系统的状态变量为系统的状态变量,即即则由差分方程得到系统的状态方程为则由差分方程得到系统的状态方程为系统的输出方程为系统的输出方程为写成矩阵形式为写成矩阵形式为9.59.5 离散时间系统状态方程的求解离散时间系统状态方程的求解1.1.离散时间系统状态方程的时域解法离散时间系统状态方程的时域解法令令称为离散时间系统的状态过渡矩阵称为离散时间系统的状态过渡矩阵,或基本矩阵或基本矩阵2.2.离散时间系统状态方程的离散时间系统状态方程的Z Z变换解法变换解法对上式两边取对上式两边取Z变换变换整理整理,得到得到取其逆变换即得时域表示式为取其逆变换即得时域表示式为:状态转移矩阵即为状态转移矩阵即为 或或已知矩阵已知矩阵 ，求矩阵函数，求矩阵函数 。矩阵矩阵 的特征方程的特征方程 特征根为特征根为根据关系式根据关系式可得可得联立求解可得联立求解可得所以所以某离散系统的状态方程和输出方程分别为某离散系统的状态方程和输出方程分别为求描述该系统输入、输出关系的差分方程。求描述该系统输入、输出关系的差分方程。由给定的状态方程，可得特征矩阵由给定的状态方程，可得特征矩阵系统函数系统函数考虑到考虑到 ，得，得由由 不难写出，描述该系统的差分方程为不难写出，描述该系统的差分方程为