大地测量坐标系统及其转换.doc

(完整版)大地测量坐标系统及其转换

大地测量坐标系统
及其转换

雷伟伟
河南理工大学测绘学院
wwlei@

基本坐标系
1、大地坐标系
坐标表示形式：
大地经度：地面一点的大地子午面与起始大地子午面所构成的二面角；
大地纬度：点对椭球面的法线与赤道面所夹的锐角；
大地高：点沿法线到椭球面的距离.

2、空间直角坐标系
坐标表示形式：
以椭球中心为坐标原点，起始子午面与赤道面的交线为轴，椭球的短轴为轴（向北为正），在赤道面上与轴正交的方向为轴，构成右手直角坐标系。

3、子午平面坐标系
坐标表示形式：
设点的大地经度为，在过点的子午面上，以椭圆的中心为原点，建立、平面直角坐标系.则点的位置用表示.

4、归化纬度坐标系
坐标表示形式：
设椭球面上的点的大地经度为。在此子午面，以椭球中心 为圆心,以椭球长半径为半径，做一个辅助圆。过点做一纵轴的平行线，交横轴于点，交辅助圆于点,连结、点,则称为点的归化纬度，用来表示。点的位置用表示.
当点不在椭球面上时，则应将沿法线投影到椭球面上，得到点，即为点的大地高,点的归化纬度，就是点的归化纬度。点的位置用表示。

5、球心纬度坐标系
坐标表示形式：
设点的大地经度为,连结，则，称为球心纬度，，称为点的向径。点的位置用表示。

6、大地极坐标系
坐标表示形式:
以椭球面上某点为极点，以的子午线为极轴,从出发，作一族＝常数的大地线和＝常数的大地圆。它们构成相互正交的坐标系曲线，即椭球面上的大地极坐标系，简称地极坐标系.在大地极坐标系中,点的位置用来表示。

7、站心赤道直角坐标系
坐标表示形式：
以地面测站为原点,建立坐标系,它的三个坐标轴与空间大地直角坐标系的三个坐标轴平行。两个坐标系之间是一种简单的平移关系。

8、站心赤道极坐标系
坐标表示形式：
：距离;
:经方向角；
：纬方向角；

9、站心地平直角坐标系
坐标表示形式：
站心地平直角坐标系是以测站法线和子午线方向为依据的坐标系。
通常有三种不同的定义形式:
1、站心左手地平直角坐标系
以测站为坐标原点，以点的法线方向为轴（指向天顶为正）,以子午线方向为轴（向北为正)，轴与、轴垂直构成左手系(东向为正）。
2、站心右手地平直角坐标系（轴向上）
3、站心右手地平直角坐标系（轴向下）
10、站心地平极坐标系
坐标表示形式:
在站心地平直角坐标系（左手系）中,任意点的位置可以用距离、大地方位角（从测站北方向顺时针量取）、大地天顶距来表示.则就构成了站心地平极坐标系.

坐标系基本转换
一、坐标系转换的基本形式：
平移变换

缩放变换

尺度比例因子

旋转变换
二维坐标系

当旋转方向相反时（逆时针旋转时）

三维坐标系

旋转矩阵：对右手系逆时针旋转，对左手系顺时针旋转，否则需要改变旋转角度的符号。

当均为小角度时，将、分别展开成泰勒级数,仅保留其一阶项，则有:，舍弃二阶小量，则有：

当不是小角度时，三个旋转矩阵的次序不能交换。当均为小角度时，不论三个旋转矩阵的次序如何交换，都能够得到上面的结果。

反向矩阵：
为了使用上的方便，有一些坐标系统定义为左手空间直角坐标系.为此，在右手空间直角坐标系和左手空间直角坐标系的变换中，需要改变坐标轴的指向，这个可以通过反向矩阵来完成.

利用三个反向矩阵，可以分别改变轴的指向.

旋转矩阵和反向矩阵均为正交矩阵
有下列性质：

基本坐标系间的转换
1、子午平面坐标系与大地坐标系之间的关系：

2、空间直角坐标系与子午平面坐标系的关系：

由图易知：

3、空间直角坐标系与大地坐标系之间的关系:
点位描述参见上述两个图(以子午平面坐标系作为二者之间的过渡坐标系）
当点位于椭球面上的时候，易得:

当点不在椭球面上时，设其大地高为，图示如下

4、子午平面坐标系与归化纬度坐标系的关系：

由上图可以看出：

带入椭圆方程
得到
故而：
归化纬度坐标系也是作为一种过渡坐标系而出现的
5、子午平面坐标系与球心纬度坐标系之间的关系：

易知:,带入椭圆方程，则有：
故而：
6、大地纬度、归化纬度、球心纬度之间的关系:
6。1、与的关系

6。2、与的关系

6。3、与的关系

易知，一般情况下,有:
7、站心地平直角坐标系与站心赤道直角坐标系之间的关系：
7。1、左手系坐标系：
整体旋转示意图

局部旋转示意图一

局部旋转示意图二

首先，将轴反向,得；绕轴旋转，将轴绕至轴处,轴绕至轴处；然后，再绕轴旋转，即可将化为.
带入数值化简后得到下式：

因为A为正交矩阵，故而由化为，则为：

因站心赤道直角坐标系与空间直角坐标系之间仅存在一个简单的平移关系，故而，由站心地平之间坐标系至空间直角坐标系的转换关系为:
7.2、右手系坐标系：

8、站心赤道极坐标系与站心赤道直角坐标系之间的关系：

由图易知：
9、站心地平极坐标系与站心地平直角坐标系之间的关系：

几种坐标系间的转换
1、空间直角坐标系和大地坐标系之间的转换
由前面的讨论可知：
2、不同二维平面直角坐标系之间的转换
不同二维平面直角坐标系之间的变换方式主要有:仿射变换、相似变换、多项式变换
某点在原始坐标系（即源坐标系）中的坐标记为;
某点在转换后坐标系（即目标坐标系）中的坐标记为。

2。1、仿射变换

2.2、相似变换
当两个平面直角坐标系原点不同、坐标轴指向不同、尺度定义不同时，存在四个转换参数：两个平移参数、一个旋转参数、一个尺度参数；
两种转换过程：
Ø 先旋转、再平移、最后统一尺度；
Ø 先平移、再旋转、最后统一尺度;
转换过程不同,四个转换参数也不相同，但是它们最终的转换结果都是一致的。
2.2。1、先旋转、再平移、最后统一尺度

2.2.2、先平移、再旋转、最后统一尺度

同理，可以将上式简化为

当两个坐标轴尺度因子相同时,上式可简化为

Ø 简要综合分析:

l 对比以上三式我们可以发现：当平面直角坐标系横轴和纵轴上的尺度因子不相等时，相似变换完全等价于仿射变换;
l 当二者尺度因子相等时,相似变换就是仿射变换在时的一个特例。
2。3、多项式变换
仿射变换和相似变换实质上都是线性变换，当原有平面坐标系的局部性系统误差或局部形变较为明显时，采用仿射变换或相似变换不可避免的会带有模型误差,降低转换结果的精度,此时，我们可以采用多项式逼近法 。
多项式逼近法核心在于选取多项式逼近待求的新旧坐标系统间的变换函数。由多项式逼近任意连续函数时，从理论上讲,只要选择适当的多项式阶数和系数，就可以逼近到任意的程度,并且保证点与点之间一一对应的可逆连续变换的特性.
多项式逼近法的数学模型如下：

3、不同三维空间直角坐标系之间的转换
定义空间之间坐标的三个要素：原点、尺度、坐标轴指向。故当两个不同空间直角坐标系变换时，则共有七个变换参数（三个平移参数、一个尺度参数、三个旋转参数）。
一般有下面三种转换模型：
3。1、Bursa—Wolf模型：

当：均为小角度时：

3.2、Molodensky-Badekas模型

设

故而
舍去，则得到：

即：

也即为：

3。3、Veis模型

转换过程中涉及到了站心坐标系和参心坐标系之间的转换。
其中：

4、不同大地坐标系之间的转换
4。1：由空间直角坐标系和大地坐标系之间的转换关系可得：

4.2：将上式取全微分可得：
其中：,
利用公式：，，可得:
4。3:利用矩阵求逆，求得大地坐标与直角坐标和椭球长半轴和扁率直角的关系：

4.4：由布尔沙七参数转换模型可得：
如果两坐标系间的旋转角都是小角度，则则有：

转换公式可表示：

写成微分形式：

3.5：将上述公式代入到三中的公式,并考虑到是微小量,简化可得：

又根据：

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