第章z变换离散时间系统的z域分析.doc

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章 节
第八章 z变换、离散时间系统的z域分析 1—3节
日期

教学目的
理解z变换及其收敛域，掌握典型序列z变换
教学重点
典型序列z变换；z变换的收敛域
教学难点
z变换的收敛域
教学方法
讲授
教学内容
第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
8.1 引言
变换方法的原理可以追溯到18世纪。棣莫弗（De Moivre）、拉普拉斯（P.S.Lapalce）相继作出过杰出的贡献.
在离散信号与系统的理论中，变换成为一种重要的数学工具.它把离散系统的数学模型—-差分方程转化为简单的代数方程，使其求解过程得以简化。因此，其地位类似于连续系统中的拉氏变换。
下面借助抽样信号的拉氏变换引出其定义。
若连续因果信号经均匀冲激抽样,则抽样信号为:

取拉氏变换：

令：或写作，且一般令则：
（8-1)

上式即为单边变换。记为：
(8—2)
8.2 z变换定义、典型序列z变换
与拉氏变换类似，变换也有单边和双边之分，对于一切只都有定义的序列,定义双边变换为：

显然,如果为因果序列，则双边和单边是等同的.
上面两式表明，序列的变换是复变量的幂级数（亦称洛朗级数)，其系数是序列值。有些文献当中也把称为序列的生成函数。由于离散时间系统非因果序列也有一定的应用范围，因此在着重介绍单边变换的同时兼顾双边变换分析。
下面介绍一些典型序列的变换.
图8-1 单位样值函数

（一）单位样值函数
定义为：

如图8—1所示.
取变换,得到：

图8-2 单位阶越序列
可见，与连续系统单位冲激函数的拉氏变换类似，单位样值函数的变换等于1.
（二）单位阶越序列
定义为:

如图8-2所示。
取变换，得到：

若，该几何级数收敛，它等于

（三）斜变序列
图8-3 斜变序列
斜变序列为：

如图8—3所示。
取变换,得到：

该变换可以用下面的方法间接求得。
已知，当时有：
将上式两边分别对求导,得到：

两边各乘，就可得到斜变序列的变换：

同样，若对上式再对求导，可以得到：

(四）指数序列
图8-4 单边指数序列
单边指数序列：

如图8-4。
取变换，得到：

若满足：，则可收敛为：

若令，当时,则：

同样，对单边指数序列变换式两边对求导，可以求得：

（五）正余弦序列
单边余弦序列如图8-5所示.因为：
图8-5 单边余弦序列

令，则当时,得：

同样，令，则得：

将上两式相加，得：

由变换的定义可知：两序列之和的变换等于各序列变换的和。根据欧拉公式，从上式可以直接得到余弦序列的变换：

同理可得正弦序列变换：

以上两式得收敛域都为:。
在指数序列的变换式中，令,则有：

同理：

借助欧拉公式，有上面两式可以得到：

上面两式就是单边指数衰减及增幅的余弦、正弦的变换。收敛域为：。一些典型的单边变换列于附录五。
8。3 z变换的收敛域
只有当级数收敛时，变换才有意义.对于任意给定的有界序列，使变换定义式级数收敛之所有值的集合，称为变换的收敛域(region of convergence，简写为ROC）。
对于单边变换，序列与变换式一一对应，同时也有唯一的收敛域.而在双边变换时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同一个变换式.也即：两个不同的序列由于收敛域不同，可能对应于相同的变换。因此,为了单值的确定变换所对应的序列，不仅要给出序列的变换式，而且必须同时说明它的收敛域。在收敛域内，变换及它的导数是的连续函数，即变换函数是收敛域内每一点上的解析函数.
双边变换的表达式满足收敛的充分条件是绝对可积:

上式左边构成正项级数,有两种方法判定收敛性：比值判定法和根值判定法。
若一个正项级数为,判定其收敛的方法为:
比值判定:；根植判定：
当时级数收敛，当时级数发散，当时无法判定。
利用上述判定方法讨论几类序列的收敛域。
（1)有限长序列
这类序列只在有限区间（）内有非零的有限值，此时变换为:

时，若，则；
时,若，则.
当都大于0时，收敛域包括；
当都小于0时，收敛域包括0。
上式是一个有限项级数.
当时，收敛域为且，即:;
当时，收敛域为，即：；
当时，收敛域为，即：。
（2）右边序列
这类序列是有始无终的序列，即当时，,此时变换为：

由根植判定法,该级数收敛应满足

即：

其中，是级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为的圆外部分。
若,则收敛域包括，即;
若，则收敛域不包括,即。
显然，当时,右边序列变成因果序列，也就是说,因果序列是右边序列的一种特殊情况。
(3）左边序列
这类序列是无始有终的序列，即当时,，此时变换为：

进行变量代换可得：

由根植判定法，该级数收敛应满足

即:

其中，是级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为的圆内部分。
若，则收敛域不包括，即；
若，则收敛域包括，即。
（4）双边序列
一般写作：

该式可以看作是右边序列（第一项）和左边序列（第二项）的叠加。收敛域为两部分收敛域的重叠部分：

其中。所以,双边序列的收敛域通常是环形.若，则该序列不收敛。
以上可以看到，收敛域取决于序列的形式。P52表8—1列出了几类双边变换的收敛域。
［例8—1] 求序列的变换，并确定它的收敛域（其中）.
解:这是一个双边序列。
先求单边变换:

如果，则该级数收敛,可得到：

其零点位于，极点位于,收敛域为。
再求双边变换：

若且,则该级数收敛,可得到：

其零点位于及，极点位于及，收敛域为。
注：变换在收敛域内是解析的，因此收敛域内不应该包含任何极点。通常，收敛域以极点为边界。对于多个极点的情况，右边序列的收敛域是从最外面（最大值）有限极点向外延伸至（可能包括）；左边序列的收敛域是从最里面(最小值）非零极点向内延伸至（可能包括）。

备注

章 节
第八章 z变换、离散时间系统的z域分析 4-5节
日期

教学目的
掌握z变换基本性质以及逆变换的求法
教学重点
z变换基本性质以及逆变换的求法
教学难点
逆变换的求法
教学方法
讲授
教学内容
8.4 逆z变换
若，则的逆变换记作，它由以下围线积分给出:

是包围所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选择平面收敛域内以原点为中心的圆。证明略。
求逆变换的计算方法有三种。
(一）留数法（围线积分法）
借助于复变函数的留数定理，可以把逆变换的积分表示为围线内所包含的各极点留数之和.即：

或简写为:

式中，Res表示极点的留数,为的极点.
若为一阶极点，则

若为阶极点，则

［例8—2] 已知,求。
解：因为

（1）当时，围线内只有这个极点。所以

(2）当时，均为围线内的极点.所以

本题中围线内有两个极点，围线外有一个极点。根据留数的性质：

因此可以求得：

综合（1)(2）可以得到：

这道题说明,在应用留数法求逆变换时，应当注意收敛域内围线所包围的极点情况，特别应关注对不同的值,在处的极点可能具有不同的阶次。另外,收敛域的不同也会得到不同的结果，如书上P56,例8-2。
（二）长除法（幂级数展开法)
因为的变换定义为的幂级数

所以，只要在给定的收敛域内把展开成幂级数，级数的系数就是序列。
一般情况下，是有理数，令分子、分母多项式分别为。若收敛域为，则按的降幂（或的升幂）次序排列，进行长除法;若收敛域为,则按的升幂（或的降幂）次序排列，进行长除法。
［例8-3] 求的逆变换。
解:根据收敛域可将展开成按的降幂排列的形式：

进行长除法可得:
所以：
[例8-4] 求收敛域分别为两种情况下，的逆变换。
解：对于，相应的序列是因果序列（右边序列），这时写成按的降幂排列:

进行长除法可得：
得到：
对于，相应的序列是左边序列，这时写成按的升幂排列：

进行长除法可得:
得到:
（三)部分分式展开法
这里，部分分式展开法类似于拉氏变换中的部分分式展开法,不再细述，需要说明的是，变换的基本形式是，所以在使用变换部分分式展开法时，通常是将用部分分式法展开,然后每个分式乘以，这样对于一阶极点，便可以展开成的形式。
[例8—5] 已知,求。
解：

式中:

因此

由于收敛域,所以是因果序列(右边序列）,因此

[例8—6] 已知,求。
解：

所以

容易求得：

部分逆变换列于表8-2，3，4（P60）.
8。5 z变换的基本性质
（一)线性
表现在叠加性与均匀性，若：
，
,
则：
，
其中，，。相加后序列收敛域一般为两个收敛域的重叠部分，然而，如果在这些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。
［例8-7］ 求序列的Z变换。
解：设
,
已知：

而：

所以：

收敛域变大,扩展到整个平面。
［例8—8］ 求序列和的Z变换。
解：已知

因此：

(二)位移性
位移性表示序列位移后的Z变化与原序列Z变换的关系。实际中可能遇到序列的左移（超前）或右移（延迟）两种情况，所取的变换形式又可能有单边与双边变换，他们的位移性基本相同，又各具特点,分以下情况讨论.
(1）双边Z变换
设序列的双边Z变换为，则

证明：根据定义

同理可得到:

由以上特性可以看出,序列位移只会使Z变换在或处的零极点发生变化。如果为双边序列,则收敛域为环形区域，在这种情况下序列位移并不会使Z变换收敛域发生变化。
（2）单边Z变换
若是双边序列,其单边Z变换为.则

证明：根据单边Z变换的定义，可得

同样可以证明右移序列：

对于因果序列，由于为零，于是对于右移序列有

而左移序列的Z变换不变。
［例8—9] 已知,边界条件，用Z变换法求系统响应。
解：对方程式两端分别取Z变换,注意使用到位移定理。

为求逆变换,令

容易求得：

（三）时间反转特性
若，则
证明:

（四）序列线性加权（z域微分）
若已知，则：

证明：对Z变换式两边求导

因此有：

利用上式可以得到：

同样道理可以得到：

符号共求导次。
[例8—10］ 求斜变序列的Z变换.
解：

(五）序列指数加权（z域尺度变换）
若已知，为非零实数，则:

证明:

同样可以得到：

（六）初值定理
若是因果序列，已知，则：

证明：因为

当，上式中除了第一项外，都趋于零。所以结论得证。
（七）终值定理
若是因果序列，已知，则：

证明：因为

取极限得到：

所以

可以看出，终值定理只有当时收敛才可应用。也就是说，要求的极点必须处在单位圆内（在单位圆上只能位于点且是一阶极点）。
例如，则,而不存在,因为有极点.
以上两个定理的应用类似于拉氏变换,如果已知序列的Z变换，在不求逆变换的情况下，可以利用这两个定理方便的求出序列的初值和终值。
(八）时域卷积定理
已知两序列，其变换为

则：

或写作：

一般情况下，其收敛域是两收敛域的重叠部分，即。若位于某一变换的极点被另一变换的零点抵消，则收敛域将会扩大。
证明：

可见两序列在时域中的卷积等效于在域中两序列变换的乘积.
[例8-11] 求下列两单边指数序列的卷积：。
解：因为

显然，其收敛域为两收敛域的重叠部分。
用部分分式法求逆变换

［例8-12] 求下列两序列的卷积：。
解：已知

显然,零极点相消了，若,则收敛域比两收敛域重叠部分要大。
（九）序列相乘（z域卷积定理）
已知两序列，其变换为

则:

或写作:

式中，分别为或收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线。
这里对收敛域和积分围线的选取限制较严，从而限制了它的应用。这里不再细讲。变换一些主要性质列于表8-5（P73）。

备注

章 节
第八章 z变换、离散时间系统的z域分析 6-8节
日期

教学目的
使用z变换分析系统
教学重点
z变换解差分方程；离散系统的系统函数
教学难点
z变换解差分方程
教学方法
讲授
教学内容
8。6 z变换与拉普拉斯变换的关系
三种变换域方法之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转化。第四章讨论过拉氏变换与傅氏变换的关系，现在研究变换与拉氏变换的关系。
（一）z平面与s平面的映射关系
变换定义的时候有与的关系：
或
式中，是序列的时间间隔.为了说明的映射关系,将表示成直角坐标形式，而把表示成极坐标的形式，即：

因此有：

于是得到：

上式表明平面上任一点映射为平面上一点。特殊情况下，平面有如下应设关系：
（1）平面上的虚轴（）映射到平面是单位圆，其右半平面(）映射到平面是单位圆的圆外，而左半平面（）是单位圆的圆内。
（2）平面上的实轴（）映射到平面是正实轴，平行于实轴的直线（为常数）映射到平面是始于原点的辐射线,通过而平行于实轴的直线映射到平面是负实轴。
平面映射关系如表8-6（P75）。
(3)由于是以为周期的周期函数，因此在平面上沿虚轴移动对应于平面上沿单位圆周期性旋转，每平移，则沿单位圆转一圈.所以映射并不是单值的。
P76图8-11说明了上述映射关系。
掌握上述映射关系，容易利用域中零极点分布与系统性能的类似方法研究离散时间系统函数平面特性与系统时域特性、频响特性以及稳定性的关系。
（二）z变换与拉氏变换表达式之对应
此部分内容讨论能否借助写出.以下分析中,必须注意对于连续时间信号的突变点函数值与对应序列样值的区别.
若连续时间信号由项指数信号相加组合而成，即：

其拉氏变换为：

若序列是对的抽样信号，由指数序列相加组合而成，即：

其变换为：

的样值等于在各点之抽样值。然而在点违反了这一规律，原因是在此点波形发生跳变.具体讲，对于任意值有:

可以看出，按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足，即：

[例8—13] 已知,,求抽样序列的变换。
解：只有一个一阶极点，因此

［例8-14］ 已知，,求抽样序列的变换。
解：显然,极点位于,可展成部分分式

这种对应规律在借助模拟滤波器原理设计数字滤波器是会很有用。P79表8—7列出了常用连续信号的拉氏变换与抽样序列变换的对应关系。
8。7 利用z变换解差分方程
这种方法的原理是基于变换的线性和位移性,把差分方程转化为代数方程,从而使求解过程简化.
线性时不变离散系统的差分方程一般形式是

将等式两边取单边变换,并利用变换的位移公式可以得到:

若系统为零输入响应，则

于是，

对应的响应序列是上式的逆变换，即：

显然这是零输入响应，该响应由系统的起始状态而产生的.
若系统为零起始状态，即，则:

若激励信号为因果序列，上式可变成：

于是,

这里,称为系统函数，是由系统的特性所决定的。此时对应的序列为:

这里得到的是系统的零状态响应，它完全是由激励产生的.综合以上两种情况可以看出，离散系统的总响应等于零输入响应与零状态响应的和。
［例8—15］ 离散系统为，若激励。
（1）起始值，求响应。
（2）起始值，求响应.
解：（1）对差分方程两边取单边变换：

由于，所以

已知，于是

由于该系统处于零状态,所以系统的完全响应就是零状态响应。
（2）此时

于是

8.8 离散系统的系统函数
（一）单位样值响应与系统函数
上节已给出系统函数的形式为

它表示系统的零状态响应与激励的变换的比值.将上式分子与分母多项式经因式分解可写为:

其中是的零极点，它们由差分方程的系数决定。
利用系统函数可以求系统的零状态响应(除了使用卷积方法外）。系统的零状态响应可以用激励与单位样值响应的卷积表示:

由时域卷积定理

则

其中

[例8-16］ 求下列差分方程描述系统的系统函数和单位样值响应：

解：将差分方程两边取变换：

如果系统处于零状态，即，则:

（二）系统函数的零极点分布对系统特性的影响
（1）由系统函数的零极点分布确定单位样值响应
与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，变换函数的形式反映了时间函数的内在性质。由上节求得：

由于系统函数与单位样值响应是一对变换：

所以，完全可以从系统函数零极点的分布情况，确定单位样值响应的性质。
对于具有一阶极点的系统函数，若则单位样值响应可表示为

式中，，这样上式可表示成

这里，极点可以是实数，但一般情况下，它是以成对的共轭复数形式出现。由上式可见，单位样值响应的特性取决于的极点，其幅值由系数决定，而与的零点分布有关。与拉氏变换类似，的极点决定的波形特征，而零点只影响的幅度与相位。此部分研究与拉氏变换基本相同，不再系述。
（2）离散时间系统的稳定性和因果性
前一章已从时域特性研究了离散时间系统的稳定性和因果性,现从域特性考察系统的稳定与因果特性。
离散时间系统稳定的充要条件是单位样值响应绝对可积，即

式中，为有限值，上式可写作：

由变换定义和系统函数定义可知：

当（在单位圆上）

为使系统稳定应满足

这表明,单位圆满足收敛条件，即对于稳定系统收敛域应包含单位圆在内.
对于因果系统,为因果序列，他的变换之收敛域包含点，通常收敛域表示为某圆外区.
在实际问题中经常遇到的稳定因果系统应同时满足以上两方面的条件，也即：

这时，全部极点落在单位圆内.
［例8-17] 表示某离散系统的差分方程为。
（1）求系统函数；
(2）讨论此因果系统的收敛域和稳定性；
（3）求单位样值响应;
（4）当激励为单位阶跃序列时，求零状态响应。
解：（1）将差分方程两边取变换，得

于是

或写作

(2）的两个极点为0。4和-0.6,他们都在单位圆内，此因果系统的收敛域为，是一个稳定的因果系统.
(3）将展成部分分式，得到

取逆变换，得到单位样值响应

（4）若激励，则
于是

用部分分式展开,得到：

取逆变换后得到

备注

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