弹性与塑性力学第2-3章习题答案.doc

第二章
2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij为σij=（应力单位）
求出：
（a）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n=（1/2，1/2，1/）；
（b）应力主轴的方位；
（c）主应力的大小；
（d）八面体应力的大小；
（e）最大剪应力的大小。

解答：
(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量i，得
1=σ1jnj=σ11n1+σ12n2 +σ13n3 = 0 ;同样 2= jnj =272.47 3=σ3jnj =157.31
所以，应力矢量的大小为
[(1 )2 +(2 )2+(3)2]1/2=314.62

(b)(c)特征方程：σ3—I1σ2 + I2σ—I3=0
其中I1 =σij 的对角项之和、I2 =σij 的对角项余子式之和、I3 =σij的行列式。
从一个三次方程的根的特征性可证明：
I1 =σ1+σ2+σ3
I2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1
I3=σ1σ2σ3
其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。
将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n12+ n22 + n32=1
可决定对应于主应力每个值的单位法线ni的分量（n1 、n2 、n3）：
ni（1）=（0， ±0.866，±0.5）
ni（2）=（0， 0.5，±0.866）
ni（3）=（±1， 0，0）
注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。
(d）由式（2.96），可算
σotc=1/3（0+100+300）=133.3
τotc=1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56

(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax=200
2.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij，求出主应力以及它们相应的主方向。
σij=（应力单位）
（a）从给定的σij和从主应力值σ1，σ2和σ3中确定应力不变量I1，I2和I3；
（b）求出偏应力张量Sij；
（c）确定偏应力不变量J1，J2和J3；
（d）求出八面体正应力与剪应力。
解答：同上题2.1（a）（b）（c）方法得到σ1=4、σ2= 2 、σ3=1
对应于主应力每个值的单位法线ni的分量（n1 、n2 、n3）：
ni（1）=（0， ，±）
ni（2）=（±， 0.5，0.5）
ni（3）=（±， ±0.5，±0.5）
（a）特征方程：σ3—I1σ2 + I2σ—I3=0
中I1 =σij 的对角项之和、I2 =σij 的对角项余子式之和、I3 =σij的行列式。
代入数据的：I1 =7；I2 =14；I3 =8

（b）偏应力张量由式子（2.119）得出Sij=σ12-pδij ，其中p=7/3
Sij=-

(c)J1= Sii=0，J2=1/6[4+1+9]=2.333, J3=1/27(2*49+9*7*14+27*8)=0.741

(d) σotc=1/3*7=2.333
τotc= /3(I12-3 I2) 1/2=1.247

2.3（李云雷）（a）解释：如果
（b）解释：可以为负值吗？
（c）解释： 可以为正值吗？
解：
（a）不能，因为所以不能等于0.
（b）因为，所以不可能为负值。
（c）可以，当中有一个正数，两个负数时为正值。

2.7 （金晶）证明以下关系
（a）
证明：

（b）

证明：

（c）
证明：

(d)

证明：

2.9（梁健伟）证明：从一个给定的应力状态中加上静水应力，其主方向不改变。
证明：设静水应力为，从主方向的定义有，从给定的应力状态中减去静水应力得，即：

把等式右边的移项到左边得

所以从一个给定的应力状态中减去一个静水应力，其主方向不变。

2.10（张东升） 证明：通过在应力原始状态中加上静水拉力或压力，不改变作用于过某定点任何平面的剪应力分量。
证明：关于主应力轴，任意平面上是用，， 由式给出。
现假设静水应力状态（）是被叠加上去，得一组主应力。对于这一新的应力状态，在任意斜截面上的剪应力分量由下式得出：
由恒等式，将上式展开化简得。
这表明，原结论成立。

2.11 （黄耀洪）画出例2.6中式（2.135）和式（2.136）中所给出的在主应力空间上的两个应力状态，并画出它们在偏平面上的投影。
求的主应力，

代入
解得
同理，解得的主应力
在主应力空间上的两个应力状态如下图所示：

求的 、

同理，求得的 、
在偏平面上的投影如下图所示：

2.12 （李松） 如果σijtjk=tijσjk, σij和tij为两点的两个应力状态，证明两个应力状态的主轴重合。注意不必将tij作为另一个应力张量——如第三章的应变张量一样，且主轴重合保持不变条件。（提示：将其中一种应力状态换到主坐标系上）
证明：由题意得：σijtjk=tijσjk 对i、j取1至3展开关系式得：
σ11t1k+σ12t2k+σ13t3k= t11σ1k+ t12σ2k+ t13σ3k （1）
σ21t1k+σ22t2k+σ23t3k= t21σ1k+ t22σ2k+ t23σ3k （2）
σ31t1k+σ32t2k+σ33t3k= t31σ1k+ t32σ2k+ t33σ3k （3）
参照σij的主轴，即i≠j时，σij=0. 所以，对于（1）式
K分别取2、3.由于i≠j时，σij=0. 则有：
K=2时，σ1t12=t12σ2 ；k=3时，σ1t13=t13σ3
对于σ1＞σ2＞σ3，t12=0和t13=0. 同理由（2）（3）式可得：
t21=0和t23=0，t31=0和t32=0.一般地，i≠j时，tij=0.
所以tij的主方向与σij的主方向重合

2.14 （卢俊坤）在偏平面上画出下列函数：
（a）
（b）
（c）
其中，为常数。
解：（a）依题意得：将 代入 得
所以，在偏平面上的图像为以三轴交点为圆心，半径为的圆。
函数图象如图a所示（利用Matlab绘制，图线与最外围的黑线圆重合，绘图时常数暂不考虑）。

图a
（b）依题意得：由 及
得： 和
再代入 得：
函数图象如图b所示（利用Excel和Matlab绘制，以为x轴，绘图时常数暂不考虑）。

图b
（c）依题意得：由 得：
再得：
令 得
函数图象如图c所示（利用Excel和Matlab绘制，以为x轴，绘图时常数暂不考虑）。

图c

2.15 （兰成）如果由两个应力状态叠加得出一个应力状态，证明：
（a）其最大主应力不大于单独的最大主应力之和；
（b）其最大剪应力不大于单独的最大剪应力之和；
（c）静水压力分量的合成是两个单独状态简单的代数相加，但剪力分量合成是两个单独状态的矢量相加。
证明：假设两个应力状态为：
和
叠加之后得到：
正应力为，剪应力为。
（a） 应力状态的叠加是矢量的叠加，当这两个应力状态的方向相同时，叠加之后得到的应力状态方向也相同，其最大主应力等于两个单独的最大主应力之和；当方向相反时，最大主应力为两个单独的最大主应力之差；当两个应力状态的方向不同时，叠加之后得到的应力状态的方向沿两个应力状态方向所夹的平行四边形的对角线方向，根据平行四边形法则，其最大主应力小于单独的最大主应力之和。所以，叠加之后其最大主应力不大于单独的最大主应力之和。
（b） 同（a）的分析方法，两个应力状态方向相同时，叠加后最大剪应力等于单独的最大剪应力之和；方向相反时，叠加后最大剪应力等于单独的最大剪应力之差；方向不同时，根据平行四边形法则，叠加后最大剪应力小于单独的最大剪应力之和。所以，叠加之后其最大剪应力不大于单独的最大剪应力之和。
（c） 因为静水压力张量相当于常数正应力张量，两个常数正应力张量方向一致，其合成不改变其主方向。因此，静水压力分量的合成是两个单独状态简单的代数相加。因为在所有方向上加减一个常数正应力不会改变其主方向，偏应力张量与原应力张量的方向一致。所以剪力分量合成相当于原应力张量合成，即矢量相加。

2.16 （黄莉根）从式（2.172）出发，其中s1=[(2σ1-σ2-σ3)/3]，并利用式（2.104）~式（2.113）给出的关系（对于σ1≥σ2≥σ3）：
(a) 证明
(b) 证明对于0≤ξ≤1，θ在0≤θ≤π/3的范围内变化；
(c) 定义称作Lode的应力参数μ为

证明以下关系：
( i ) μ=2ξ-1；
(ii )
(iii)
证明：(a) 由式（2.172）知

s1=[(2σ1-σ2-σ3)/3]=[(σ1-σ2)+(σ1-σ3)]/3=[2τ12+2τ13]/3
∵ σ1≥σ2≥σ3，则有 τ12=τmin
τ13=τmax
∴ s1=2[τmin+τmax]/3
又由式（2.134）

其中用到式（2.110），证毕。
(b) 令：，其中：
，
分子分母除以，配方可得下式：
，其中：
可以解得：
即：，则，证毕。
(c) ( i )

(i i)

(iii) 如果σ1≥σ2≥σ3，即0≤ξ≤1则
-1≤μ=1-2ξ≤1

2.17 （周浩超、陈康海） 考虑对于主偏应力的式（2.129）

并代入导出

(a) 考虑后一等式与三角几何恒等式

的相似性，采用
和

证明r和对于是不变量。
解：因为

题目中已知，而式（2.172）
可得
因为的值为与偏应力不变量和有关的不变量。
所以说和与，有关的不变量。即r和对于 是不变量。

（b）利用（a）中得出的结果及式（2.166）和式（2.175）证明：
（i）
解：式（2.166）

式 (2.175)
可知 得
得证

(ii)对于0，，以及范围内变化。
解：已知

而

（c）对于由主应力定义的任意应力状态，并考虑在平面上的投影（如图2.30所示），求解在以下条件中相应的和：
（i） = 或；
解：已知

， ，
由于代入已知式子，得，

（ii）= 或；
解：

（iii） 或，
解： ，
，

2.18 （李树旺、李炜） 对于纤维增强（金属基）复合材料，考虑下面的“屈服函数”：

其中，

第三章
3.1（黄耀洪）给定一点上的相对位移量，试证明对于坐标轴的转换是不变量。
证明：

∴
3.1 （张东升）给定一点上的相对位移张量，试证明对于坐标轴的转换是不变量。
证明：给定一点上的相对位移张量。在无限小变形情况下，其各分量很小，其乘积与其分量一次项相比可忽略不计。
设线元OP=单位矢量n，假设线元在纯刚体运动后所处新位置为，则。因考虑的是无限小变形，的高次项被忽略，由代入上式得：，即。
因为对于任意值上式必须成立，所以张量代表刚体旋转的必要充分条件为：。
所以。

3.2 （梁健伟）给定一点上的相对位移张量为

计算：
（a） 应变张量；
（b） 旋转张量；
（c） 主应变，和及其主方向；
（d） 对具有方向的纤维元，找出应变矢量，转动矢量和相对位移矢量。
解：
（a） 由公式：
由已知条件可得：

（b） 由公式：
由已知条件可得：

（c） 由主应变特征方程：
=0.65
=0.799
=0.074
带入特征方程中可以解得：
由公式，将带入可得到：
主方向： ；
主方向： ；
主方向：
（d） 由得

由得

由得

3.3 （黄莉根、卢俊坤）给定一点上的相对位移张量为

计算：（a）主应变和主方向；（b）最大剪应变；（c）八面体应变；（d）具有方向n=（0.25，0.58，0.775）的纤维元的正应变分量和合剪应变分量；
（e）偏应变张量及其不变量和；（f）单位体积的体积变化（膨胀）
（g）应变不变量和。
解：（a）应变不变量
I1'=0.023+0.009+0.013=0.045
=（0.023）（0.009）-（-0.015）（-0.015）+（0.009）（0.013）-（0.008）（0.008）+（0.023）（0.013）-（0.001）（0.001）=0.000333

特征方程为:
三个主应变为
代入主应变解得各个对应的主方向：
，
，

（b）最大剪应变
（c），
（d）

=0.023*0.25*0.25+0.009*0.58*0.58+0.013*0.775*0.775-0.015*0.25*0.58*2+0.001*0.25*0.775*2+0.008*0.58*0.775*2=0.0155
=0.023*0.25-0.015*0.58+0.001*0.775=-0.002175，
=-0.015*0.25+0.009*0.58+0.008*0.775=0.00767
=0.001*0.25+0.008*0.58+0.013*0.775=0.014965

（e）

（f）
（g）由（a）得=0.000333，

3.4 （周浩超、李松）证明：
（a）γoct=-31/2;
(b) =.
证明： （a）由（3.40）得：
γoct=1/2
展开得：γoct=1/2
其中由于：，所以有：
γoct=1/2 （1）
又由：=
所以：=- 把该式带入（1）式得：
γoct=-31/2
（b） 由公式（3.33）有：

所以：3=
+

=
则：
=-
= （1）
又由于 ，所以（1）式=
又由（3.51）有
所以：=
3.5 （金晶、李云雷）对平面应变分量
计算主应变，主方向，最大剪应变，正应变分量和剪应变分量。
此线元具有方向余弦

解：

3.6（曾海斌）一物体指点的位移分量ui由函数分量给定
u1=10x1+3x2，u2=3x1+2x2，u3=6x3
[证明]若变形假设为小变形，则无转动；假设为大变形，则找出此情况下的拉格朗日转动和应变张量，并计算相应的主应变ε1，ε2和ε3。
解答：（a）将u1，u2，u3代入（3.78）的ωij=，所以无转动。
（b）假设为大变形，则εij=1/2（ui，j+uj,i+ur,iur,j）,ωij=1/2(uij-uj,i-ur,iur,j)
将u1，u2，u3代入得如εx=+1/2[]=64.5
所以得到：εij=，同理得到ωij=
（c）利用例2.4方法计算的ε1=71.5，ε2=24和ε3=1.5

3.7 （李树旺、李炜、兰成）确定常数 、、、、、和之间的关系，使下列应变状态可能成立。

解：根据应变相控方程有：
其中