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(完整word)多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法
公式法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 。
解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有
∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离。∴外接球的半径..
小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式。
多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B。 C. D.
解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有,解得.
∴.∴这个球的表面积是。选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径"这一性质来求解的。
补形法
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 。
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为，则有。∴.
故其外接球的表面积.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径。设其外接球的半径为，则有。

练习1 （2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ）
B. C. D.
2(2006年山东高考题）在等腰梯形中,，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）.
A. B. C. D。
3 (2008年浙江高考题）已知球的面上四点A、B、C、D，，,，则球的体积等于 。
4（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则B、C两点间的球面距离是 。

寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为,外接球的球心为，如图1所示。∴由球的截面的性质，可得。
又,∴球心必在所在的直线上.
∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径。
在中，由，得。
∴.
∴是外接圆的半径,也是外接球的半径.故.
小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习。
确定球心位置法
例5 在矩形中,，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A. B。 C。 D.
解 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知。∴点到四面体的四个顶点的距离相等,即点为四面体的外接球的球心，如图2所示。∴外接球的半径.故。选C。

外接球内切球问题
1。 （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ )
A． B． C． D．
答案　B
2. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若
，，则此球的表面积等于 。
解：在中，,可得，由正弦定理，可得
外接圆半径r=2，设此圆圆心为,球心为，在中,易得球半径,故此球的表面积为。
3．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱
柱的体积为 　　．
答案 8
4。表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A． B． C． D．
答案 A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形,所以由知，
，则此球的直径为,故选A.

5。已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于（ ）
A。2 B。 C。 D.
答案 D

6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 （ )
A. 1∶ B。 1∶3 C. 1∶3 D。 1∶9
答案 C

7。（2008海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边
形,其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．
答案

8。 (2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3,则此球的表面积为　　　　．
答案
9.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为  cm2.
答案

A
B
C
P
D
E
F
10。(2006辽宁)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱
锥的侧面积是________．

答案

11。（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 。
答案

12。（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 ( ）

A． B．
C． D．以上都不对
答案C

13。(吉林省吉林市2008届上期末）设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A． B．2π C．4π D．
答案C