无穷级数习题及答案.doc

(完整word)无穷级数习题及答案第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1 ；2;3。判断下列正项级数的敛散性4;5；6；7；8；9；10。求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛11；12；13；14；求下列幂级数的收敛半径和收敛区间15;16；17;18;19；20；求下列级数的和函数21；22；将下列函数展开成的幂的级数23，；24，；25，；26，；将下列函数在区间上展开为付里叶级数27，。28,29将函数展开成付里叶级数。30将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。(B）用定义判断下列级数的敛散性1；2；3；判断下列正项级数的敛散性4；5；6，（)；7，其中(),，均为正数；8,（)；9；判断下列任意项级数的敛散性,收敛时要说明条件收敛或绝对收敛10；11；12；求下列幂级数的收敛半径和收敛域13；14，(,)；15；16；求下列级数的和函数17；18；19;20求证：；将下列函数展开成的幂的级数21，；22，;23，；24证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25写出函数，的付里叶级数，并讨论收敛情况.26设是周期为的周期函数，它在上的表达式为,将展开成付里叶级数。27将函数，（)分别展开成正弦级数和余弦级数。（C)1用定义判断下列级数的敛散性2设,，判断级数的敛散性.判断下列正项级数的敛散性3；4；5；6判断级数的敛散性。求下列幂级数的收敛半径和收敛区间7；8；求下列级数的和910展开为幂级数,并推出。11求级数的收敛区间及和函数.12设函数，试分别将展成为以为周期的区弦级数和余弦级数。13将周期函数，展为付氏级数，并据此求周期函数，的付氏级数，求下面级数。第十一章 无穷级数(A)1解:，（)，原级数发散.2解：，（），原级数收敛且和为.3解： ,（）,原级数收敛且和为.4解：，由比值判别法知原级数发散。5解：,由比值判别法知，原级数收敛.6解：，原级数发散.7解:,而发散，由比较判别法知原级数发散.8解:，由比值判别法知,原级数收敛。9解：，由比值判别法知，原级数收敛.10解：，而,故，由比值判别法知,原级数收敛。11解:，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛,故原级数绝对收敛。12解:，而发散，故发散.因此原级数非绝对收敛，又，显然，,且，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。13解：，原级数发散.14解：此为交错级数，（)而级数发散,故发散，即原级数非绝对收敛，显然单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。15解：,，当时,级数为发散,当时，级数为收敛。故原级数的收敛区间为。16解：，收敛区间为。17解：,，。18解:，.故当，即时收敛，当或时发散，当时，级数为，收敛；当时，级数为，发散.故收敛区间为。19解：，,当时，即时收敛,当，即或时发散，。当时原级数为，发散，故收敛区间为。20解：，当时,原级数，发散。故收敛区间为.21解：设，,。22解:设,，则 ，即，,.23解：，。24解： ,。25解:， 。26解：，即27解:为偶函数,， ，令，得，且在上连续,.28解：由于是奇函数，故， 。29解： ，时,。 时， ，所以除上均成立。30解:1）正弦级数，注意到,作奇延拓，使在上恒有。再将周期延拓得，是一个以为周期的连续函数，,计算付氏系数如下：，（) ，,。2)余弦函数作偶延拓设，使在上恒有。再将周期延拓得，,是一个以为周期的连续函数，计算付氏系数如下： ,.(B)1解：, ，原级数收敛且和为.2解：,，原级数收敛且和为.3解：，原级数收敛且和为。4解：，由比值判别法知原级数收敛。5解:，由根值判别法知原级数收敛。6解:当充分大时有，而，故，由根值判别法知原级数收敛。7解：,，当，即 时，原级数收敛；，即 ,原级数发散，当时不定。8解：当时，级数发散. 当时，(），而收敛,级数发散。9解：，收敛，由比较判别法知级数收敛.10解：，,故也发散，故也非条件收敛.11解：，而发散,故级数发散,即原级数非绝对收敛，原级数为交错级数,显然数列单调递减且收敛于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。12解：,而发散,发散，即原级数非绝对收敛。记原级数为为交错级数，又，即，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛,故原级数条件收敛。13解：，故对，原级数收敛,所以收敛半径为，收敛区间为.14，,当时，原级数发散,故收敛区间为，其中。15解:,，当,即时，原级数收敛,当，即或时,原级数发散,当，原级数收敛，当时原级数也收敛。故原级数收敛半径为2,收敛区间为。16解：，,，当，即，原级数收敛。当时,原级数收敛,当时，原级数发散。故原级数的收敛区间为。17解:，但 ,故有,.18解：，,而 ，。19解：， ，故,。20证明:考虑级数,逐项微分得：，.,取，得.21解：， .，。22解： ，（)。23解： ，,。25解： ，。由于对,有，所以。因此 以周期的周期函数，并且显然只有当，时是及 第一类间断点，所以符合狄利克雷收敛定理的条件,故付氏级数在处处收敛， ，有。26解：奇函数，所以。 所以,除均成立，()。27解: 又函数展成正弦级数为，又 展开成余弦级数为，。（C)1解: ,故原级数收敛，且和为。2证:，由比较判别法知原正项级数收敛。3解：，由比值判别法知,原级数发散.4解:考虑函数，,由得，易知时的最大值，所以当地，但为收敛的几何级数，原级数也收敛。5解：，有；而当时，有，当时，而级九可判别其是收敛的，原级数收敛。6解：因为已知级数 条件收敛的级数.设其部分和数极限为，则有，而级数，取其前项，其和与的部分和相等且为，当时，故原级数收敛且和为。7解：,，当，即时，收敛；当时发散。故，当时，级数为发散,故原级数收敛域为。8解：,由于，而当,故；当时，原级数为,由于通项不以零为极限，故发散。所以原级数的收敛域为。9解:当时，级数收敛。设，则,，,，两边积分得:,(）；再积分一次 ，（）；，即原级数的和。10解：, 因为当时，又当时,故展开式对所有的均成立,在展开式中令，得。11解：，(），故当，即当时级数收敛，当时级数发散，因此原级数收敛区间为，且 ,。12解：先求正弦级，将在作奇延拓，有， 由狄里赫勒收敛定理知，再求余弦级数，将在作偶延拓，有 ，, ，13解： 所以 时，代入上式有,即求得和式，且，。19