无穷级数习题及答案.doc

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第十一章 无穷级数
(A)
用定义判断下列级数的敛散性
1． ；2．;3．。
判断下列正项级数的敛散性
4．;5．；6．；7．；8．；
9．；10．。
求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛
11．；12．；13．；
14．；
求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
15．;16．；17．;18．;
19．；20．；
求下列级数的和函数
21．；22．；
将下列函数展开成的幂的级数
23．，；24．，；
25．，；26．，；
将下列函数在区间上展开为付里叶级数
27．，。28．,
29．将函数展开成付里叶级数。
30．将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。

(B）
用定义判断下列级数的敛散性
1．；2．；3．；
判断下列正项级数的敛散性
4．；5．；6．，（)；
7．，其中(),，，均为正数；
8．,（)；9．；
判断下列任意项级数的敛散性,收敛时要说明条件收敛或绝对收敛
10．；11．；12．；
求下列幂级数的收敛半径和收敛域
13．；14．，(,)；
15．；16．；
求下列级数的和函数
17．；18．；19．;
20．求证：；
将下列函数展开成的幂的级数
21．，；22．，;23．，；
24．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；
25．写出函数的付里叶级数，并讨论收敛情况.
26．设是周期为的周期函数，它在上的表达式为,将展开成付里叶级数。
27．将函数，（)分别展开成正弦级数和余弦级数。

（C)
1．用定义判断下列级数的敛散性

2．设,，判断级数
的敛散性.
判断下列正项级数的敛散性
3．；4．；5．；
6．判断级数的敛散性。
求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
7．；8．；
求下列级数的和
9．
10．展开为幂级数,并推出。
11．求级数的收敛区间及和函数.
12．设函数，试分别将展成为以为周期的区弦级数和余弦级数。
13．将周期函数，展为付氏级数，并据此求周期函数，，的付氏级数，求下面级数。
第十一章 无穷级数
(A)
1．解:∵，（)，∴原级数发散.
2．解：∵，（），∴原级数收敛且和为.
3．解：∵ ,（）,∴原级数收敛且和为.
4．解：∵，∴由比值判别法知原级数发散。
5．解：∵,∴由比值判别法知，原级数收敛.
6．解：∵，∴原级数发散.
7．解:∵,而发散，∴由比较判别法知原级数发散.
8．解:∵，∴由比值判别法知,原级数收敛。
9．解：∵，∴由比值判别法知，原级数收敛.
10．解：∵，而,故，∴由比值判别法知,原级数收敛。
11．解:，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛,故原级数绝对收敛。
12．解:，而发散，故发散.因此原级数非绝对收敛，又，显然，,且，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。
13．解：∵，∴原级数发散.
14．解：此为交错级数，∵，（)而级数发散,故发散，即原级数非绝对收敛，显然单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。
15．解：∵,∴，当时,级数为发散,当时，级数为收敛。故原级数的收敛区间为。
16．解：∵，，∴，收敛区间为。
17．解：∵,，∴。
18．解:∵，∴.故当，即时收敛，当或时发散，当时，级数为，收敛；当时，级数为，发散.故收敛区间为。
19．解：∵，,当时，即时收敛,当，即或时发散，∴。当时原级数为，发散，故收敛区间为。
20．解：∵，，∴，当时,原级数，发散。故收敛区间为.
21．解：设，，

∴,。
22．解:设,，则

，
即，
∴,.
23．解：，。
24．解：
,。
25．解:，
。
26．解：
，即
27．解:∵为偶函数,∴，

，
令，得，且在上连续
∴,.
28．解：由于是奇函数，故，

∴。
29．解：

，时,。
时，

，所以

除上均成立。
30．解:1）正弦级数，注意到,作奇延拓，使在上恒有。再将周期延拓得，，是一个以为周期的连续函数，,,计算付氏系数如下：
，（)

，
∴,。
2)余弦函数
作偶延拓设，使在上恒有。再将周期延拓得，,是一个以为周期的连续函数，，，计算付氏系数如下：

,

∴,.
(B)
1．解：∵, ，∴原级数收敛且和为.
2．解：∵

,，∴原级数收敛且和为.
3．解：∵
，，∴原级数收敛且和为。
4．解：∵，∴由比值判别法知原级数收敛。
5．解:∵，∴由根值判别法知原级数收敛。
6．解:∵当充分大时有，而，故，∴由根值判别法知原级数收敛。
7．解：∵,，∴当，即 时，原级数收敛；，即 ,原级数发散，当时不定。
8．解：当时，∵，∴级数发散.
当时，∵，(），而收敛,∴级数发散。
9．解：∵，∵收敛，∴由比较判别法知级数收敛.
10．解：∵，,故也发散，故也非条件收敛.
11．解：∵，而发散,故级数发散,即原级数非绝对收敛，原级数为交错级数,显然数列单调递减且收敛于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。
12．解：∵,而发散,∴发散，即原级数非绝对收敛。
记原级数为为交错级数，∵
又，即，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛,故原级数条件收敛。
13．解：∵，，故对，原级数收敛,所以收敛半径为，收敛区间为.
14．∵，∴,当时，原级数发散,故收敛区间为，其中。
15．解:∵,，
∴当,即时，原级数收敛,当，即或时,原级数发散,当，原级数收敛，当时原级数也收敛。故原级数收敛半径为2,收敛区间为。
16．解：∵，,∴，当，即，原级数收敛。当时,原级数收敛,当时，原级数发散。故原级数的收敛区间为。
17．解:，但 ,故有,.
18．解：∵，,而 ，
∴，。
19．解：∵，
∵
，故
,。
20．证明:考虑级数,,逐项微分得：，.
,取，得.
21．解：，，，， .
∴
22．解：
，（)。
23．解：∵
，
∴,。
25．解：
，
∴。
由于对,有，所以。因此 以周期的周期函数，并且显然只有当，时是及 第一类间断点，所以符合狄利克雷收敛定理的条件,故付氏级数在处处收敛， ，有。
26．解：∵奇函数，所以。

所以,除均成立，()。
27．解:

又∵函数展成正弦级数为
，
又∵

∴展开成余弦级数为，。
（C)

1．解:

,
故原级数收敛，且和为。
2．证:，由比较判别法知原正项级数收敛。
3．解：∵，，∴由比值判别法知,原级数发散.
4．解:考虑函数，,,由得，易知时的最大值，所以当地，，∴，但为收敛的几何级数，∴原级数也收敛。
5．解：，∵有；而当时，有，∴当时，，而级九可判别其是收敛的，∴原级数收敛。
6．解：因为已知级数 条件收敛的级数.设其部分和数极限为，则有，而级数，取其前项，其和与的部分和相等且为，当时，，故原级数收敛且和为。
7．解：,，当，即时，收敛；当时发散。故，当时，级数为发散,故原级数收敛域为。
8．解：,由于，而当,故；当时，原级数为,由于通项不以零为极限，故发散。所以原级数的收敛域为。
9．解:当时，级数收敛。设，，则,，,，两边积分得:
,(∵）；
再积分一次
，（∵）；
∴，即原级数的和。
10．解：∵,∴

因为当时，
又当时,
故展开式对所有的均成立,在展开式中令，得
。
11．解：，(），故当，即当时级数收敛，当时级数发散，因此原级数收敛区间为，且

,。
12．解：先求正弦级，将在作奇延拓，有，

由狄里赫勒收敛定理知

∴，
再求余弦级数，将在作偶延拓，有

，
,
∴
，
13．解：

所以
∵
∴

时，代入上式有,,即求得和式，且
，。

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