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第六章 数理统计的基本概念
§6。1基本概念
§6.2样本数字特征
一、填空题
1. 若为来自总体的容量为的样本,则样本均值= ，样本方差= ；
解：抽样分布定义:= ，样本方差= ;
2．设总体, 是的简单随机样本，则的概率密度 ；
解：因为,所以。
3．某种灯泡的寿命服从参数为的指数分布，是取自总体的简单随机样本，则的联合密度函数为 ;
解： 因为服从参数为的指数分布，其密度函数为，，
所以的联合密度函数为

4．设总体，为取自总体的一个样本,为样本均值，要使成立，则样本容量至少应取多大 ；
解：由题设：,利用公式：，
。
5．设是来自总体的随机样本,为常数,且，则随机区间的长度的数学期望为 。
解：长度为，
所以 .

二、选择题
1. 设，为的样本，则（C）
（A）； （B)； (C)； （D)。
2．设是总体的样本,则有(D)
（A）; （B）; （C）; （D)以上三种都不对.
3．设总体， 是的样本，则（B）
（A）； （B）； （C）; (D）.
4．设总体, 其中已知, 是的样本，则不是统计量的是（C）
（A）; （B）; (C）； （D）。
5．设随机变量服从正态分布，对给定的,数满足，若，则等于（C）
（A）； （B)； （C）； （D)。
解:考查正态分布百分位点概念。由题设 ，可得
。
故答案取C.
6．设是来自正态总体的简单随机样本,与分别是样本均值与样本方差,则（C）
（A）; （B）；
（C）；　 （D）。
解：考查样本数字特征。因为 ，
可得 ，故答案取C。

三、 计算题
1． 设有下列样本值：0。497，0.506，0。518，0。524，0.488,0.510，0.510，0.515，0。512求和.
解: ；
。
2．设是的样本均值,是的样本均值,求证。
证明：由于 ， 所以。
3．从一批零件中随机地抽取10件，记录其抗压强度数据为：48，70，51，51,70,68，73,68，51,73，求出关于该样本的样本分布函数。
解； 由题意列表：
子样
48
51
68
70
73
频率

3/10

2/10

因此可得样本分布函数
4．设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：
日售出台数
2
3
4
5
6
合计
天数
20
30
10
25
15
100
求样本容量，样本均值，样本方差,经验分布函数。
解:设是第天售出的台数，，所以样本容量；
样本均值 ；
样本方差
;
经验分布函数
5。 设是取自正态总体中的一个大小为4的样本，其中已知，但未知，指出下面随机变量中哪些是统计量?
（1）；(2）; (3）；
（4)； （5)； (6） 。 其中。
解： 由定义知：(1），(3），（4),（5）是统计量;而(2)，(6）中的随机变量因含有未知的，故不是统计量。
6. 是取自正态总体中的一个样本，
。求的联合密度函数。
解： 因为 都服从正态分布，所以都是正态随机变量的线性组合，故都是正态随机变量，且互相独立.
又 .
所以，，
所以,的联合密度为。故我们得到的联合密度函数如下：

.
7．从正态总体中抽取容量为的一个样本， 如果要求样本均值位于区间内的概率不小于0。95, 问样本容量至少应取多大?
解:由于 ， 所以有：

，
所以样本容量至少应取35。
8．设有一枚均匀的硬币，以表示抛一次硬币正面向上的次数，试问要抛多少次才能使样本均值落在［0.4，0.6]内的概率不小于0.9？
解：，，在较大时,可以近似认为，
则按要求：，
即要求：，查正态分布表，即至少应抛68次。
9．当随机变量独立同分布且为正时, 试证：
。
证明：考察随机变量
,
由题设同分布，所以也同分布，因之具有相同的数学期望.
故 , 又 ，
所以 ， 即 ，
可知有 ，即 .
10．设，其中均为未知，从总体中抽取简单随机样本，样本均值为,求统计量的数学期望。
解：易知相互独立，且都服从正态分布，因此可将其视为取自总体的容量为的简单随机样本，其样本方差为

，
因为样本方差是总体方差的无偏估计，即，故
。
11．设为来自的简单随机样本,为样本均值，记；求 (1） 的方差; （2) 。
解：（1) 因为 ，所以 ，
,
所以 ；
(2） 注意到的独立性,有 所以有

。

§6.3正态总体的抽样分布
一、填空题
1。 设总体，样本容量为,则～ 分布， ～ 分布;
解:抽样分布定义：～， ～。
2．设是来自正态总体的简单随机样本，,则当时,统计量服从分布,其自由度为 ；
解:因为:
所以有： ，
从而 ，
即 ，自由度为2.
3. 设随机变量和相互独立, 且都服从正态分布，而和分别来自和的简单随机样本，则统计量服从 分布,参数为 ;
解：因为 ，而 ，
所以 ，即服从参数为9的t分布。
4. 设总体服从正态分布，是来自总体的简单样本,则统计量服从 分布，参数为 ;
解：因为 ，，,
所以 ,即服从参数为（10，5)的F分布.
5。 是来自总体的简单随机样本, 分别为样本均值及样本方差， ，则 ;
解：因为 ,故对，，
所以由 ，查分布表,可得百分位点
。
6．从正态总体中抽取一容量为16的样本，为样本方差，则 ；
解：因为 ,注意分布的方差：，
所以有 .
7．随机变量服从自由度为的F分布，则随机变量,服从 分布，参数为 .
解： 因为服从自由度为的F分布，
即存在 ,，且独立，；
而 ，故服从自由度为的F分布.
二、选择题
1. 设为来自正态总体的简单随机样本,与分别是样本均值与样本方差，则下列表达式正确的是 ( D )
（A）； （B）;
（C）； （D）.
2．设为来自正态总体容量为的简单随机样本，是样本均值，记，,，，则服从自由度为的分布的随机变量是（B)
（A）； （B）； （C）； 　（D)。
解：注意分布的定义:，看哪一个适合，
,
故答案取（B）。
3．设为来自正态总体的简单随机样本，与分别是样本均值与样本方差，则（D）
(A）; （B)； (C）;　（D）。
解:因为,所以 ，
， ，，
而 ，所以有：。故答案取（D）。
4．样本取自标准正态分布总体, 分别为样本均值及样本标准差， 则(C）
(A）; （B）； (C）； （D）。
解：此题复习各种统计量的形式，注意，所以；
而,所以 ;
； 故正确答案是（C），分布的定义。
5。 设和是分别来自总体和的样本，且相互独立, 则服从的分布是(C）
（A)； （B）; (C)； （D）.
6．设随机变量和都服从标准正态分布，则（C）
（A）服从正态分布； (B）服从分布；
（C)和都服从分布； （D）服从分布。
解：，,同理，所以和都服从分布,(C）成立.　
如果附加和独立的条件，则(A)（B）（C)（D）均成立.
7。 设随机变量, 则(C）
（A）; （B）； （C）； (D）。
解:由分布定义：，且，，
所以 ，其中 ,，
故 ，故答案取(C）.
三、 计算题
1. （1）求等式中的；
(2）求等式 中的.
解：（1)对于，由附表（分布表)可查得：；
(2）对于，应用下面的公式：，
以及(1）的结果可得：。
2．设是来自总体的一个样本，，证明：，.
证明： 因为 ，则 ，
所以 ，
.
3．假设是来自总体的简单随机样本，已知.证明当充分大时,随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数。
证明：依题意，独立同分布，因而也独立同分布且有
，
根据列维-林德伯格中心极限定理,随机变量
，
所以当充分大时,随机变量也近似服从正态分布，
其分布参数分别为：。
4。 设总体，是取自总体的一个样本，求。
解： 因为 ， 则 ,
所以 。
5．设是取自正态总体的简单随机样本,， 。是对的又一独立观测值，试证统计量服从自由度为的分布。
证明：将统计量改写为：

由于与相互独立，，
所以 ,从而 ;
又注意到：与相互独立，也与相互独立,且;
故由(＊)式可得：
。
6．设是取自正态总体的一个样本，为样本方差,试求与.
解:因为 ,则，
利用期望与方差的性质即得：
. 。