第六章数理统计的基本概念.doc

第六章 数理统计的基本概念6。1基本概念6.2样本数字特征一、填空题1. 若为来自总体的容量为的样本,则样本均值= ，样本方差= ；解：抽样分布定义:= ，样本方差= ;2设总体, 是的简单随机样本，则的概率密度 ；解：因为,所以。3某种灯泡的寿命服从参数为的指数分布，是取自总体的简单随机样本，则的联合密度函数为 ;解： 因为服从参数为的指数分布，其密度函数为，所以的联合密度函数为4设总体，为取自总体的一个样本,为样本均值，要使成立，则样本容量至少应取多大 ；解：由题设：,利用公式：， 。5设是来自总体的随机样本,为常数,且，则随机区间的长度的数学期望为 。解：长度为，所以 .二、选择题1. 设，为的样本，则（C）（A）； （B)； (C)； （D)。 2设是总体的样本,则有(D)（A）; （B）; （C）; （D)以上三种都不对.3设总体， 是的样本，则（B）（A）； （B）； （C）; (D）.4设总体, 其中已知, 是的样本，则不是统计量的是（C）（A）; （B）; (C）； （D）。5设随机变量服从正态分布，对给定的,数满足，若，则等于（C） （A）； （B)； （C）； （D)。解:考查正态分布百分位点概念。由题设 ，可得 。故答案取C.6设是来自正态总体的简单随机样本,与分别是样本均值与样本方差,则（C）（A）; （B）； （C）； （D）。解：考查样本数字特征。因为 ，可得 ，故答案取C。三、 计算题1 设有下列样本值：0。497，0.506，0。518，0。524，0.488,0.510，0.510，0.515，0。512求和.解: ；。2设是的样本均值,是的样本均值,求证。证明：由于 ， 所以。3从一批零件中随机地抽取10件，记录其抗压强度数据为：48，70，51，51,70,68，73,68，51,73，求出关于该样本的样本分布函数。解； 由题意列表：子样4851687073频率3/102/10因此可得样本分布函数 4设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：日售出台数23456合计天数2030102515100求样本容量，样本均值，样本方差,经验分布函数。解:设是第天售出的台数，所以样本容量；样本均值 ；样本方差 ;经验分布函数 5。 设是取自正态总体中的一个大小为4的样本，其中已知，但未知，指出下面随机变量中哪些是统计量?（1）；(2）; (3）；（4)； （5)； (6） 。 其中。解： 由定义知：(1），(3），（4),（5）是统计量;而(2)，(6）中的随机变量因含有未知的，故不是统计量。6. 是取自正态总体中的一个样本，。求的联合密度函数。解： 因为 都服从正态分布，所以都是正态随机变量的线性组合，故都是正态随机变量，且互相独立.又 .所以，所以,的联合密度为。故我们得到的联合密度函数如下： .7从正态总体中抽取容量为的一个样本， 如果要求样本均值位于区间内的概率不小于0。95, 问样本容量至少应取多大?解:由于 ， 所以有： ，所以样本容量至少应取35。8设有一枚均匀的硬币，以表示抛一次硬币正面向上的次数，试问要抛多少次才能使样本均值落在0.4，0.6内的概率不小于0.9？解：，在较大时,可以近似认为， 则按要求：， 即要求：，查正态分布表，即至少应抛68次。9当随机变量独立同分布且为正时, 试证： 。证明：考察随机变量,由题设同分布，所以也同分布，因之具有相同的数学期望.故 , 又 ，所以 ， 即 ，可知有 ，即 .10设，其中均为未知，从总体中抽取简单随机样本，样本均值为,求统计量的数学期望。解：易知相互独立，且都服从正态分布，因此可将其视为取自总体的容量为的简单随机样本，其样本方差为，因为样本方差是总体方差的无偏估计，即，故。11设为来自的简单随机样本,为样本均值，记；求 (1） 的方差; （2) 。解：（1) 因为 ，所以 ，,所以 ；(2） 注意到的独立性,有 所以有。6.3正态总体的抽样分布一、填空题1。 设总体，样本容量为,则 分布， 分布;解:抽样分布定义：， 。2设是来自正态总体的简单随机样本，,则当时,统计量服从分布,其自由度为 ；解:因为:所以有： ，从而 ，即 ，自由度为2.3. 设随机变量和相互独立, 且都服从正态分布，而和分别来自和的简单随机样本，则统计量服从 分布,参数为 ;解：因为 ，而 ， 所以 ，即服从参数为9的t分布。4. 设总体服从正态分布，是来自总体的简单样本,则统计量服从 分布，参数为 ;解：因为 ，,所以 ,即服从参数为（10，5)的F分布.5。 是来自总体的简单随机样本, 分别为样本均值及样本方差， ，则 ;解：因为 ,故对，所以由 ，查分布表,可得百分位点。6从正态总体中抽取一容量为16的样本，为样本方差，则 ；解：因为 ,注意分布的方差：，所以有 .7随机变量服从自由度为的F分布，则随机变量,服从 分布，参数为 .解： 因为服从自由度为的F分布，即存在 ,，且独立，；而 ，故服从自由度为的F分布.二、选择题1. 设为来自正态总体的简单随机样本,与分别是样本均值与样本方差，则下列表达式正确的是 ( D )（A）； （B）; （C）； （D）.2设为来自正态总体容量为的简单随机样本，是样本均值，记，,，则服从自由度为的分布的随机变量是（B)（A）； （B）； （C）； （D)。解：注意分布的定义:，看哪一个适合，,故答案取（B）。3设为来自正态总体的简单随机样本，与分别是样本均值与样本方差，则（D）(A）; （B)； (C）;（D）。解:因为,所以 ， ，而 ，所以有：。故答案取（D）。4样本取自标准正态分布总体, 分别为样本均值及样本标准差， 则(C）(A）; （B）； (C）； （D）。解：此题复习各种统计量的形式，注意，所以；而,所以 ; ； 故正确答案是（C），分布的定义。5。 设和是分别来自总体和的样本，且相互独立, 则服从的分布是(C）（A)； （B）; (C)； （D）.6设随机变量和都服从标准正态分布，则（C）（A）服从正态分布； (B）服从分布； （C)和都服从分布； （D）服从分布。解：，,同理，所以和都服从分布,(C）成立.如果附加和独立的条件，则(A)（B）（C)（D）均成立.7。 设随机变量, 则(C）（A）; （B）； （C）； (D）。解:由分布定义：，且，所以 ，其中 ,，故 ，故答案取(C）.三、 计算题1. （1）求等式中的；(2）求等式 中的.解：（1)对于，由附表（分布表)可查得：；(2）对于，应用下面的公式：， 以及(1）的结果可得：。2设是来自总体的一个样本，证明：，.证明： 因为 ，则 ，所以 ， .3假设是来自总体的简单随机样本，已知.证明当充分大时,随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数。证明：依题意，独立同分布，因而也独立同分布且有，根据列维-林德伯格中心极限定理,随机变量，所以当充分大时,随机变量也近似服从正态分布，其分布参数分别为：。4。 设总体，是取自总体的一个样本，求。解： 因为 ， 则 ,所以 。5设是取自正态总体的简单随机样本,， 。是对的又一独立观测值，试证统计量服从自由度为的分布。证明：将统计量改写为：由于与相互独立，所以 ,从而 ;又注意到：与相互独立，也与相互独立,且;故由()式可得：。6设是取自正态总体的一个样本，为样本方差,试求与.解:因为 ,则，利用期望与方差的性质即得：. 。