第讲数形结合思想.doc

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第 1 讲 数形结合思想（高中版）
（第2课时）
考点热点
一定掌握！

常用的数与形的转化策略有下面一些：
1．实数数轴上的点
例．已知集合A=｛x｜5–x≥｝,B={x｜x2–ax≤x–a}，当AB时，则a的取值范围是 。
解：解得A=｛x｜x≥9或x≤3}，B={x|（x–a）(x–1）≤0},画数轴可得 a＞3 。

2．绝对值距离
例．解不等式 ⑴,⑵，⑶。（高二)
解：
⑴x的绝对值小于5,就是点x到原点的距离小于5的意思。
⑵x的绝对值大于5，就是点x到原点的距离大于5的意思。
⑶x-3的绝对值小于5，就是点x到点3的距离小于5的意思.

—5 0 5 -5 0 5 -2 0 3 8

3．集合的运算韦恩图

例．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
解：如图，赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生为集合A；赞成事件B的学生为集合B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为+1，赞成A而不赞成B的人数为30－x,赞成B而不赞成A的人数为33－x ,
依题意 (30－x）+(33－x）+x+（+1）=50 ，解得x=21 ，
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。

4．集合点集（即曲线）
例。 设a、b是两个实数,A＝{（x，y)|x＝n ，y＝na＋b} （n∈Z），B＝｛(x，y）｜x＝m，y＝3m＋15｝ （m∈Z）,C＝｛(x，y)|x＋y≤144}，能否使得A∩B≠φ与(a，b)∈C同时成立.
分析:集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ"的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n＋15（n∈Z）有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a，b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，但原点到直线L的距离不小于12。
解法一:由A∩B≠φ得 na＋b＝3n＋15 ，
设动点（a,b)在直线L:nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点,
所以圆心到直线距离d＝＝3(＋）≥12
∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。
点评： 集合转化为点集(即曲线），而用几何方法进行研究。
解法二：本题直接运用代数方法进行解答的思路如下：
由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ，即b＝3n＋15－an （①式)，
由（a,b）∈C得,a＋b≤144 （②式)，
把①式代入②式，得关于a的不等式：(1＋n)a－2n（3n＋15）a＋（3n＋15)－144≤0 （③式），
它的判别式 △＝4n（3n＋15）－4（1＋n）[(3n＋15）－144］＝－36（n－3） ,
因为n是整数，所以 n－3≠0 ，因而 △<0 ,又因为 1＋n>0 ，故③式不可能有实数解，
所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b）∈C同时成立。

5．函数图象
例．若log2〈log2<0，则 ( ）
A。 0<a〈b〈1 ; B. 0<b<a〈1 ； C. a〉b〉1 ; D. b>a>1 。
简解：画出对数曲线,由已知应选B。

例．如果｜x｜≤，那么函数f（x）＝cosx＋sinx的最小值是 ( ）
A。 ； B。 － ; C。 －1 ； D. 。
简解：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f（x)的最小值，故应选D。

6．一元多项式的根曲线与x轴的交点的横坐标

7．方程的根曲线交点的坐标
例．设f(x)=x2–2ax+2，当x∈［–1，+∞］时，f(x)＞a恒成立,求a的取值范围。

解法一:由f（x）＞a，在［–1,+∞]上恒成立x2–2ax+2–a＞0在[–1，+∞］上恒成立。函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在区间[–1，+∞]上位于x轴上方，如图两种情况：
不等式的成立条件是：（1)Δ=4a2–4（2–a)＜0a∈(–2,1）

(2）a∈(–3，–2，综上所述a∈（–3,1)。
解法二：由f（x）＞ax2+2＞a(2x+1)
令y1=x2+2，y2=a(2x+1）,在同一坐标系中作出两个函数的图象。
如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值(即直线的斜率)分别为1，–3，
故直线l对应的a∈(–3,1）。

8．一元二次不等式的解函数的图像
例．解不等式 。（高二） y
解：
原等式化为
抛物线 与x轴有两个交点,
横坐标分别为—1和1.5。
由图可见，要y>0，必要x<-1，或x〉1.5。 —1 0 1.5 x
所以原不等式的解为 x〈—1或x>1。5。
例．解不等式组 。（高二）
解:
原不等式组化为
如图，可知 -1 2。75 4

9．二元一次不等式组的解平面区域
例．某运输公司有7辆载重量为6t的A型卡车和4辆载重量为10t的B型卡车，有9名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为:A型卡车8次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为：A型车160元,B型车252元。每天派出A型车与B型车各多少辆公司所花成本费用最低?
解：设每天出动A型车x辆，B型车y辆，公司所花成本为z元，

则　　　
即:
作出可行域如图，要使取最小值，在可行域内对某个确定的整数,取最小的整数（也可以先定,再定的值），这样，在可行域内可能成为最优解的可行解有,分别代入目标函数,点使取最小值,最小值为1304元。即每天派A型车7辆,B型车1辆时,公司所花成本费用最低。
点评:如果目标函数可以不受线性方程的限制,则可进一步降低成本。事实上，公司要获取最大利润，应使每吨的成本费最低。若将运输每吨沥清支付的费用最少作为优化目标，那么目标函数应为，设目标函数为,则，当取最小值时为最优解.这样目标函数就是非线性的，虽然是非线性的,但其求解却反而简单了,我们可以作如下变形：
，令,则，当取最大值时，目标函数取最小值。由可行域显然可知,当取最大整数值7,取最小整数值1时，的最大值为7，此目标函数取最小值，即：（元），而当时,,因此每天派A型车7辆，B型车1辆时，每吨的成本费最低。

10．数列通项及求和公式的函数特征函数图象
数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或解决数列问题。也可以建立方程来解决问题.
例.(高三）已知不等式对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围。
分析：构造函数，易证为增函数,
∵ n是大于1的 正整数，∴ ，
要使 对一切大于1的正整数恒成立，必须 ，
即 ，解之得 。
点评：本题以形助数。
例（1992年高考理科题)。（高三)设等差数列｛a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0,S〈0 。
⑴ 求公差d的取值范围； ⑵ 指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。
分析：对于⑴可以利用公式a与S建立不等式,容易求解d的范围;对于⑵可以利用S是n的二次函数,将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题.
解：⑴ 由 a＝a＋2d＝12 ，得到 a＝12－2d ，
∴ S＝12a＋66d＝12（12－2d)＋66d＝144＋42d〉0 ,
S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0 ，
解之得 －〈d<－3 ；
⑵ S＝na＋n（n1－1）d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝[n－（5－）]－［(5－）］ ，
∵ d〈0 ,∴ ［n－（5－)］最小时，S最大。
由 －〈d<－3 得 6<(5－）<6。5 ，故正整数n＝6时 ，[n－(5－）］最小，所以S最大。
点评:本题以形助数。

11．复数平面上的点,复数的加减乘除向量的加减乘除
O
A()
B()
例．已知 和复平面上的三个点，若以这三点为顶点可以构成以为直角顶点的等要直角三角形,求复数z。（高三）
分析：两个互相垂直的矢量之间有什么关系吗？如果有,则此题易解。
设 ，且 ⊥,
因为这两个矢量的复角相差90º,故联想到复数的商正好是幅角相减，故试算：
，
利用这一点即可解题。
解:∵ OA=OB，OA⊥OB
∴
∴ 。

12．三角函数三角函数线与单位圆
例．求函数 的定义域。（高一）
解：

由图可见 适合上式的x为图中阴影部分所示.
即
例．设 ，求证 （高一)
证明：作单位圆O，在第一象限内考虑。
设 AOB=x
∵ OA=R=1 ∴ AB=x
过A作圆O的切线交OB的延长线于T，则AT=tgx。 Y
显然 ⑴ T
又

O 1 A x
∴
即
点评:：在证明过程中,关键是⑴式的成立，而⑴式的成立由几何图形的直观性是显而易见的.此题如果用三角或代数方法来证明都不方便。

13．数量图形边长
例. 已知均为正实数，满足关系式，又为不小于的自然数，求证： 。
分析：由条件 类似联想到勾股定理，可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明：设所对的角分别为、、，则是直角,为锐角，
则 , ，且 , ，
当 时,有 ， ，
于是有 ，即 ，
∴ 。
点评：由于这是一个关于自然数的命题，一般学生都会想到用数学归纳法来证明，本题以形助数,简单明了。

14．方程曲线
例. 直线L的方程为：x＝－ (p〉0)，椭圆中心D(2＋，0），焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A.问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离。
分析：由抛物线定义，可将问题转化成“p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点”,再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
解: 由已知得 a＝2，b＝1 ，A(，0），
设椭圆与双曲线方程并联立得 ，
消去y得 x－(4－7p）x＋（2p＋)＝0 ，
所以△＝16－64p＋48p〉0，即6p－8p＋2〉0，解之得 p〈 或 p>1 ，
结合范围(，4+）内两根，设f（x)＝x－（4－7p)x＋(2p＋)，
所以 〈〈4+ 即 p〈，且 f（)>0 、f（4+）〉0 即 p>－4＋3 ，
综上所述，所以 －4＋3<p< 。
点评: 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题，其中特别要注意解的范围。

能力测试
认真完成！

参考答案
仔细核对！

数学思想方法—数形结合-数与形的转化
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.实数数轴上的点
√

2。绝对值距离

√

3.集合的运算韦恩图

√

4.集合点集(即曲线)

√

5。函数图象

√

6.一元多项式的根曲线与x轴的交点的横坐标

7.方程的根曲线交点的坐标

√

8。一元二次不等式的解函数的图像

√

9。二元一次不等式组的解平面区域

√

10.数列通项及求和公式的函数特征函数图象

√

11。复数平面上的点,复数的加减乘除向量的加减乘除

√

12.三角函数三角函数线与单位圆

√
√

13.数量图形边长

√

14. 方程曲线

√

1．设命题甲:0〈x〈5；命题乙：｜x－2｜<3,那么甲是乙的 （ )
A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C。 充要条件； D。 既不充分也不必要条件。
简解:将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙,故应选A。
2．解不等式 ⑴ ，⑵ 。（高二）
解：
⑴
⑵ 或 或 .

3．某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，即会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？
解:设全集U＝{某班50名学生}，A＝{会讲英语的学生｝,B＝{会讲日语的学生}，＝{既会讲英语又会讲日语的学生}，则由韦恩图知,既不会英语又不会日语的学生有：50－22－14－6＝8（人）。
4. 设全集I＝{（x，y)｜x，y∈R｝，集合M＝｛(x，y)｜ ＝1｝,N＝{(x,y)｜y≠x＋1｝，那么等于 ( ）
A。 φ ； B. {(2,3）｝ ； C。 (2，3） ; D。 ｛(x,y）|y＝x＋1 。
简解：将几个集合的几何意义用图形表示出来，故应选B。
5．如果奇函数f（x）在区间［3，7]上是增函数且最小值是5，那么f（x)的［-7,—3］上是 （ )
A.增函数且最小值为－5 ； B。增函数且最大值为－5 ；
C.减函数且最小值为－5 ； D.减函数且最大值为－5 。
简解：由奇函数图像关于原点对称画出图像，故应选B.
E
D
C
A
B
6. (高一) E是正方形ABCD外接圆AD上异于A、D的任一点， 求证:EA＋EC= EB； .
证明：在△EAB和△EBC中,由余弦定理得：
，
，
由 AB=BC，得 和
，
∴ EA、EC是方程 的两根,由韦达定理,得 EA＋EC= EB ， 。
点评：本题以数解形。

7.曲线y=1+ （–2≤x≤2)与直线y=r（x–2）+4有两个交点时,实数r的取值范围是 。
提示:方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线。

答案：（）
点评：本题利用“方程的根曲线交点的坐标”。
8．解不等式（组）(高二)
⑴ ； ⑵ .
解：⑴ 的根为 .
5
4
1
-1
由图可知：。
⑵ 解：
，由图可知： 。
9。 为了赚大钱，老张最近承包了一家具厂，可老张却闷闷不乐，原来家具厂有方木料900m3，五合板600m2，老张准备加工成书桌和书厨出售，他通过调查了解到:生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0。2m3、五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.请你帮老张安排生产。
解：设生产书桌张,书橱张，利润为元。

约束条件为
即： ，
目标函数 ，
作出可行域，作直线,将直线向上方平行移动至位置时，直线过可行域内的点，与原点距离最大。所以最优解为，即此时。
因此，只生产书橱600张可获得最大利润，最大利润是7200元.
10．已知等差数列的前n项和为S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，则S＝_________.
提示:利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则（,p）、（,q)、（x，p+q）在同一直线上,由两点斜率相等解得x＝0 。
答案：0 .
点评：本题以形助数。
12．设｜z｜＝5，｜z|＝2, |z－｜＝，求的值。
解：如图，设z＝ ,z＝ ,则＝、＝ ，如图所示，
O
D
A
y
x
由图可知，｜|＝，∠AOD＝∠BOC，
由余弦定理可得 cos∠AOD＝＝ ，
∴ ＝(±ｉ）＝2±ｉ .
点评：利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。
13．x在什么范围内，有,且 。（高二)
解：如图，竖线部分是的解,横线部分是的解,
∴ 或 或 。
14．解不等式 (高二)
解：∵
∴
由图可见 的范围是图中阴影部分,
∴ ,∴ 。
16．如果实数x、y满足等式(x－2）＋y＝3，那么的最大值是 （ ）
A. ； B. ; C。 ； D。 。
简解：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题，故应选D。