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第五章 方差分析

方差分析是通过实验数据对影响产品的质量、产量的多个可控因素作统计分析，以分清因素的主次及水平组合形式并求出最优组合形式，以提高产品质量、产量的一种数学分析方法.
1单因素方差分析
设影响指标的因素仅有一个,设为A因素,该因素有个水平（状态），在每个水平下，分别作次实验，其样本值,或。
(1） 方差分析主要解决：
(在各水平下的均值相等）
（至少有一对不相等）
其方法是若组间（各水平间）平方和大，组内(随机误差）平方和小,即值大可拒绝，表明因素影响显著，否则接受，表明因素影响不显著。
估计均值和方差。
(2)方法:
对样本值，，，,共有个样本值,
设，表所有样本值之和,总平均值
又表示第个的水平下样本值之和，
表示第个的水平下样本均值，
或且有

平方和
称为总的离差平方和，其计算公式为

称为因素A的组间平方和，其计算公式为
（）
称为第个水平下的组内平方和，其计算公式为

++

统计分析
由，得
令，则
由分布的可加性,及
所以
对 拒绝域为：
又由，有
得方差的估计量为。
例1、 设有三台机器生产规范相同的铝合金薄板，现从中任各取5块，测得厚度值分别为,单位：。各测量值同方差正态分布，分析不同机器对加工薄板有无显著差异.

解：，

对查表得

拒绝，加工有显著差异，。
2无交互作用的双因素方差分析
方差分析的基本原理是对影响产品指标的多个因素在各水平下的
实验数据，检查其组间平方和,如等，若组间平方和大，说明该因素在各水平下对产品指标影响显著，即该因素较重要，其次要考
虑组内平方和或误差平方和，由于平方和相互独立且服从分布，由均方（除以自由度所得）构成—检验法称为方差分析。对显著性水平，查表得，计算值，一般若值是的1~5倍，则
该因素有一定的显著性，若是5～10倍,则显著性明显,10倍以上为高度显著，分别用，表示。
设总体是考查的指标，影响指标的因素有两个，分别是，每个因素有若干水平，对每个组合
做一次试验，，其样本
或。
（1） 令为总体的平均值，
，分别为第个水平，的第个水平的均值,,表因素第个水平的效应，表因素第个水平的效应，。
（2）对实验数据或样本值令表所有样本值的和，表所有样本的均值，，表中按行累加，
表示第个的水平下样本均值,，表中按列累加，表示第个的水平下样本均值。
（3）平方和
称为总的离差平方和，其计算公式为

且
称为因素的组间平方和，其计算公式为

且
称为因素的组间平方和，其计算公式为

且
称为误差平方和，其计算公式为，且
记
对 拒绝域为：
及拒绝域为：
例2：见例10。2。1

3、有交互作用的双因素方差分析
设总体是考查的指标，影响指标的因素有两个,分别是，每个因素有若干水平,对每个组合
做次试验，,考查交互作用
其样本或，实验数据有个。
（1)令表所有样本值的和，表所有样本的均值，，,，
,，
，,
（2）平方和
称为总的离差平方和,其计算公式为

且
称为因素的组间平方和，其计算公式为

且
称为因素的组间平方和，其计算公式为

且
称为平方和
且
称，为误差平方和,且

对 拒绝域为：
及拒绝域为：，
例3：见例10.2.2