微分中值定理及应用MicrosoftWord文档.doc

微分学中值定理
一 费马引理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，若
是在内的最大值或最小值，则.
二 罗尔定理 若函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）；则至少存在一点，使得
【例1】证明方程在内至少有一个实根.
【例2】设函数在闭区间上可微，对于，函数，且
，证明：在内有且仅有一个，使.
三 拉格朗日中值定理 若函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则至少存在一点，使得.
【例】 设在上连续，在内可导，，且不恒为常数，求证：在内存在一点，使
【例】 设函数定义在上，在内存在且单调下降，又.
证明：对于，恒有
拉格朗日中值定理推论 若函数在区间上连续，在内导数恒为零，则在区间上恒为常数.
【例】证明：当时，
证明 设，则对，当时，

所以当时，，为常数.
又，所以当时，
三 柯西中值定理 若函数和满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则至少存在一点，使得.
【例】设函数在上连续，在内可导，证明：，使

【例】设函数在上连续，在内可导，证明：，使得.
四 泰勒公式
1（拉格朗日型余项）泰勒公式
如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有 （*）
其中 ，
，介于与之间.
注： 1）（*）称为函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式.
2）称为函数按的幂展开的次近似多项式.
3）称为拉格朗日型余项.
4）当时，（*））称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式.
5）麦克劳林公式中的可表示为.
泰勒公式中的可表示为.
2（皮亚诺型余项）泰勒公式
在具有阶导数，则，对任一，有

-----------------------（**）
注： 1）（**）称为函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式.
2）称为皮亚诺型余项.
3）当时，（**）称为按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林公式.
4）拉格朗日型余项泰勒公式与皮亚诺型余项的泰勒公式区别：
拉格朗日型余项泰勒公式可估计误差，皮亚诺型余项的泰勒公式不能估计误差.
常用函数麦克劳林展开式

（展开成阶泰勒公式）

（展开成阶泰勒公式）
，

【例1】设，且，证明
【例2】设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且，， ，证明：，使
【例3】求
导数应用
一 未定式求极限
未定式分类
1）或（基本型） 2）， 3），，
未定式求极限方法
1基本型
洛必达法则 在自变量同一变化过程中，若函数满足
（1）是或型
（2）当时，在某内可导，且；
当时，存在某，，可导，且
（3）存在或
则存在，且.
注 1） 必须是或未定式才可以使用洛比达法则；因而在每一次使用洛比达法则前一定要检查是否是或未定式.
2） 存在或，才有成立.
3） 是或型，但不满足洛比达法则的条件（3），即不存在且，此种情况下不能得出不存在.例
2 ， 化为或型.
3 ，， 化指数函数求极限法或取对数求极限法
注 幂指函数，若，，则

典型例题
【例1】求下列极限
（1） （2）
（3） （4）
【例2】设在上可导，且，，求的值.
二 函数的单调性
1 函数单调性定义
2 判定函数单调性定理 设在区间上连续，在内可导，
（1）若内，，则在上单调增加；
（2）若内，，则在上单调减少.
注：若在上连续，在内有有限个驻点或不可导点，而在其他点处导数保持同一符号，则在上保持同一单调性.
3 可能的单调区间分界点：驻点或不可导点.
4 连续函数讨论单调性方法
1） 求出全体可能的单调区间分界点：驻点和不可导点
2） 1）求出的点将给定的定义域分成个小区间，在每一个分得的小区间内讨论导数符号.
若，则在包含该小区间的连续端点的小区间上单调增加；
若，则在包含该小区间的连续端点的小区间上单调减少.
【例】已知函数，求函数的单调区间.
5 利用单调性证明不等式
【例】 证明
证明 设，对于，
，
又在上连续，所以在上单调减少.
即对于，有成立.
【例】证明：当时，
【例】设，证明
6 利用单调性+零点定理判定方程根的个数
【例】讨论方程（其中）有几个实根？
解 设，则，令得驻点
讨论函数的单调区间

又；
（因为）
当，即时，方程无实根
当，即时，方程有唯一实根
当，即时，方程有两个实根.
三 连续曲线的凹凸性
1 连续曲线凹凸定义
（1）设函数在区间上连续，若对区间上任意两点，恒有

称函数在区间上是上凹函数（或下凸函数）.
（2）设函数在区间上连续，若对区间上任意两点，恒有

称函数在区间上是上凸函数（或下凹函数）.
2 判定连续曲线凹凸性定理
若函数在区间上连续，在内二阶可导，
（1）若内，，则曲线在上是凹的.
（2）若内，，则曲线在上是凸的.
3拐点定义 连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点叫拐点.
注 拐点是平面上的点，所以拐点的坐标为.
4二阶可导函数拐点必要条件：设存在，且是拐点，则.
5 连续曲线可能的拐点横坐标：使的或使不存在的
6 求连续曲线弧拐点方法
或不存在，且在及内函数值异号，则是拐点.
7连续曲线讨论凹凸性方法
1） 求出全体可能的凹凸区间的分界点：的和不存在的.
2） 1）中所求出的点将给定的定义域分成个小区间，在每一个分得的小区间内讨论二阶导符号.若，则在包含该小区间的连续端点的小区间上曲线是凹的
若，则在包含该小区间的连续端点的小区间上曲线是凸的.
【例】讨论函数的凹凸性.
8利用函数凹凸性证明不等式
【例】证明不等式
四 函数的极值
1极值定义
注 1）极值是邻域性概念；
2）若是极大值，意味着，在内是最大函数值，其它函数值都比小；若是极小值，意味着，在内是最小函数值，其它函数值都比大.
2可导函数取极值的必要条件 在可导，且取极值，则必有
3可能的取极值点（驻点，有定义的不可导点）
4判定极值点的方法
1）极值定义
2）取极值的第一充分条件：设函数在处连续，且在内可导.若，（或），，（或），则函数在处取得极大值（或极小值）.若，的符号不变，则函数在处不存在极值.
3）取极值的第二充分条件：设函数在处有二阶连续导数，且,
当，是极小值；当，是极大值；
【例】设，则在处
（A）的导数存在且 （B）的导数不存在
（C）取得极小值 （D）取得极大值 【 】
【例】设函数满足方程，求函数的极小值与极大值.
解 首先求
，令得驻点，无有定义的不可导点.
又，，
所以函数的极小值为，极大值为.
五 求函数的最值
1闭区间上连续函数求最值方法
1） 求出函数所有可能的取最值的点：闭区间的端点，区间内部的驻点及不可导点
2） 求出
3） 比较2）中函数值的大小，其中最大的值为所求函数的最大值，最小的值为所求函数的最小值.
注意： 所求的驻点和不可导点一定是给定区间内部的点.若不是，舍去.
【例】求函数在上的最大值与最小值.
解

令，得驻点（舍），，且不可导点为
计算比出最大值与最小值.
2开区间内可导函数求最值
设在开区间内可导，是在内唯一驻点，若是极小值，则是在内的最小值；若是极大值，则是在内的最大值.
【例】要设计一个容积为常量的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的一半，问如何设计，才能使水池的造价最低.
3利用最值证明不等式
【例】设函数在上可导，且，又.证明：，其中
六 渐近线
1水平渐近线
若，则是函数的左侧水平渐近线
，则是函数的右侧水平渐近线
，则是函数的水平渐近线
2铅直渐近线
，或，或，则是函数的铅直渐近线
函数在间断点及定义区间的有限端点处才有可能有铅直渐近线.
3斜渐近线
设函数，直线，
若，叫函数的右斜渐近线.
若，叫函数的左斜渐近线.
若，则叫函数的斜渐近线.
求斜渐近线方法
（1）左斜渐近线，
（2）右斜渐近线，
（3）斜渐近线，
注 在同一侧，水平渐近线与斜渐近线不能同时存在.
【例】设曲线，求该曲线的渐近线
七 弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径
1弧函数定义
2弧微分
3曲率定义
4曲率计算公式：
5曲率圆与曲率半径定义
6曲率半径计算公式：
【例】设是抛物线上任一点处的曲率半径，是点到原点的距离，求.
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