微分中值定理及应用MicrosoftWord文档.doc

微分学中值定理一 费马引理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，若是在内的最大值或最小值，则.二 罗尔定理 若函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）；则至少存在一点，使得【例1】证明方程在内至少有一个实根.【例2】设函数在闭区间上可微，对于，函数，且，证明：在内有且仅有一个，使.三 拉格朗日中值定理 若函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则至少存在一点，使得.【例】 设在上连续，在内可导，且不恒为常数，求证：在内存在一点，使【例】 设函数定义在上，在内存在且单调下降，又.证明：对于，恒有拉格朗日中值定理推论 若函数在区间上连续，在内导数恒为零，则在区间上恒为常数.【例】证明：当时，证明 设，则对，当时，所以当时，为常数.又，所以当时，三 柯西中值定理 若函数和满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则至少存在一点，使得.【例】设函数在上连续，在内可导，证明：，使【例】设函数在上连续，在内可导，证明：，使得.四 泰勒公式1（拉格朗日型余项）泰勒公式如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有 （*）其中 ， ，介于与之间.注： 1）（*）称为函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式.2）称为函数按的幂展开的次近似多项式.3）称为拉格朗日型余项.4）当时，（*）称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式.5）麦克劳林公式中的可表示为.泰勒公式中的可表示为.2（皮亚诺型余项）泰勒公式在具有阶导数，则，对任一，有-（*）注： 1）（*）称为函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式.2）称为皮亚诺型余项.3）当时，（*）称为按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林公式.4）拉格朗日型余项泰勒公式与皮亚诺型余项的泰勒公式区别：拉格朗日型余项泰勒公式可估计误差，皮亚诺型余项的泰勒公式不能估计误差.常用函数麦克劳林展开式 （展开成阶泰勒公式）（展开成阶泰勒公式），【例1】设，且，证明【例2】设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且， ，证明：，使 【例3】求 导数应用一 未定式求极限未定式分类1）或（基本型） 2）， 3），未定式求极限方法1基本型 洛必达法则 在自变量同一变化过程中，若函数满足（1）是或型（2）当时，在某内可导，且；当时，存在某，可导，且（3）存在或则存在，且.注 1） 必须是或未定式才可以使用洛比达法则；因而在每一次使用洛比达法则前一定要检查是否是或未定式. 2） 存在或，才有成立.3） 是或型，但不满足洛比达法则的条件（3），即不存在且，此种情况下不能得出不存在.例 2 ， 化为或型.3 ， 化指数函数求极限法或取对数求极限法注 幂指函数，若，则典型例题【例1】求下列极限（1） （2） （3） （4）【例2】设在上可导，且，求的值.二 函数的单调性1 函数单调性定义2 判定函数单调性定理 设在区间上连续，在内可导，（1）若内，则在上单调增加；（2）若内，则在上单调减少.注：若在上连续，在内有有限个驻点或不可导点，而在其他点处导数保持同一符号，则在上保持同一单调性.3 可能的单调区间分界点：驻点或不可导点.4 连续函数讨论单调性方法1） 求出全体可能的单调区间分界点：驻点和不可导点2） 1）求出的点将给定的定义域分成个小区间，在每一个分得的小区间内讨论导数符号.若，则在包含该小区间的连续端点的小区间上单调增加；若，则在包含该小区间的连续端点的小区间上单调减少.【例】已知函数，求函数的单调区间.5 利用单调性证明不等式【例】 证明 证明 设，对于，又在上连续，所以在上单调减少.即对于，有成立.【例】证明：当时， 【例】设，证明 6 利用单调性+零点定理判定方程根的个数【例】讨论方程（其中）有几个实根？解 设，则，令得驻点讨论函数的单调区间又；（因为）当，即时，方程无实根当，即时，方程有唯一实根当，即时，方程有两个实根.三 连续曲线的凹凸性1 连续曲线凹凸定义（1）设函数在区间上连续，若对区间上任意两点，恒有称函数在区间上是上凹函数（或下凸函数）.（2）设函数在区间上连续，若对区间上任意两点，恒有称函数在区间上是上凸函数（或下凹函数）.2 判定连续曲线凹凸性定理若函数在区间上连续，在内二阶可导，（1）若内，则曲线在上是凹的.（2）若内，则曲线在上是凸的.3拐点定义 连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点叫拐点.注 拐点是平面上的点，所以拐点的坐标为.4二阶可导函数拐点必要条件：设存在，且是拐点，则.5 连续曲线可能的拐点横坐标：使的或使不存在的6 求连续曲线弧拐点方法或不存在，且在及内函数值异号，则是拐点.7连续曲线讨论凹凸性方法1） 求出全体可能的凹凸区间的分界点：的和不存在的.2） 1）中所求出的点将给定的定义域分成个小区间，在每一个分得的小区间内讨论二阶导符号.若，则在包含该小区间的连续端点的小区间上曲线是凹的若，则在包含该小区间的连续端点的小区间上曲线是凸的.【例】讨论函数的凹凸性.8利用函数凹凸性证明不等式【例】证明不等式 四 函数的极值1极值定义注 1）极值是邻域性概念；2）若是极大值，意味着，在内是最大函数值，其它函数值都比小；若是极小值，意味着，在内是最小函数值，其它函数值都比大.2可导函数取极值的必要条件 在可导，且取极值，则必有3可能的取极值点（驻点，有定义的不可导点）4判定极值点的方法1）极值定义2）取极值的第一充分条件：设函数在处连续，且在内可导.若，（或），（或），则函数在处取得极大值（或极小值）.若，的符号不变，则函数在处不存在极值.3）取极值的第二充分条件：设函数在处有二阶连续导数，且,当，是极小值；当，是极大值；【例】设，则在处（A）的导数存在且 （B）的导数不存在 （C）取得极小值 （D）取得极大值 【 】 【例】设函数满足方程，求函数的极小值与极大值.解 首先求 ，令得驻点，无有定义的不可导点.又，所以函数的极小值为，极大值为.五 求函数的最值1闭区间上连续函数求最值方法1） 求出函数所有可能的取最值的点：闭区间的端点，区间内部的驻点及不可导点2） 求出3） 比较2）中函数值的大小，其中最大的值为所求函数的最大值，最小的值为所求函数的最小值.注意： 所求的驻点和不可导点一定是给定区间内部的点.若不是，舍去.【例】求函数在上的最大值与最小值.解 令，得驻点（舍），且不可导点为计算比出最大值与最小值.2开区间内可导函数求最值设在开区间内可导，是在内唯一驻点，若是极小值，则是在内的最小值；若是极大值，则是在内的最大值. 【例】要设计一个容积为常量的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的一半，问如何设计，才能使水池的造价最低.3利用最值证明不等式【例】设函数在上可导，且，又.证明：，其中 六 渐近线1水平渐近线若，则是函数的左侧水平渐近线 ，则是函数的右侧水平渐近线，则是函数的水平渐近线2铅直渐近线，或，或，则是函数的铅直渐近线函数在间断点及定义区间的有限端点处才有可能有铅直渐近线.3斜渐近线设函数，直线，若，叫函数的右斜渐近线.若，叫函数的左斜渐近线.若，则叫函数的斜渐近线.求斜渐近线方法（1）左斜渐近线，（2）右斜渐近线，（3）斜渐近线，注 在同一侧，水平渐近线与斜渐近线不能同时存在.【例】设曲线，求该曲线的渐近线七 弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径1弧函数定义2弧微分3曲率定义4曲率计算公式：5曲率圆与曲率半径定义6曲率半径计算公式：【例】设是抛物线上任一点处的曲率半径，是点到原点的距离，求.11 / 11