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第六章 预应力效应分析
预应力效应主要指结构在预应力荷载作用下的变形和内力。一般教科书中,预应力效应的计算采用等效荷载法，即把预应力钢索和混凝土视为相互独立的脱离体，把预应力对混凝土的作用以等效荷载的形式代替。把等效荷载输入到程序中就可以得到预应力效应。但实际上，扣除预应力损失后，预应力钢索沿程的应力值是不相等的，因此所谓的等效荷载也是近似的。因此须在程序中添加预应力效应分析功能，实现预应力效应的自动分析。
本章阐述的预应力效应计算的基本思路是：首先将难以用函数式表达的空间预应力索曲线转化为若干连续的空间折线段，这样可方便求得预应力索与结构某截面的交点,进而将扣除预应力损失后的有效预应力等效为单元若干等分点上的集中荷载。为此须解决以下问题:空间预应力索线形的描述方法及转化为空间折线的方法、预应力损失的计算、预应力索张拉伸长量的计算、预应力等效荷载的计算、预应力索与混凝土组合截面的形成以及截面内力分配等。本章将对这些问题分别加以阐述。
6.1 空间预应力索分析
具有平弯和竖弯特性的空间预应力索的线形是难以用函数式表达的，所以无法直接计算预应力损失和等效荷载，在数值计算中可以考虑用若干连续的空间折线段代替实际光滑平顺的空间曲线。当折线的分段数足够多时，由线形偏差引起的误差是工程容许的。
6。1。1预应力索线形描述
桥梁中的预应力索可能是平面曲线或空间曲线。描述平面曲线时一般采用导线法，可根据导线点的坐标及曲线半径等信息确定曲线的线形。但在描述空间曲线时，复杂程度大大增加，而且由于缺乏成熟的空间曲线插值算法，所以一般采用近似处理方法，主要有以下几种：
（1） 将空间曲线投影到相互垂直的两个平面内(其中一个可能为结构纵轴线展开面）得到两条平面曲线，分别描述两条投影曲线的形状。在每个平面内分别用插值函数计算预应力钢束上点的坐标，进而合成空间点的坐标。计算得到足够多空间点的坐标后，空间曲线就可以转化为容易处理的空间折线。这种方法比较符合工程习惯，并且计算方便，因此得到广泛应用。
（2） 将空间曲线投影到结构的纵轴线展开面内，用平面投影曲线代替实际的空间曲线。这种方法忽略了预应力钢索相对于纵轴线的平弯，计算比较简单,但对于平弯较大的索误差也较大。
（3） 模仿用导线法描述平面曲线的方法,用空间导线点坐标、导线点处的平弯和竖弯半径等信息直接描述空间曲线。这种方法从概念上来说是最精确的，但在计算导线点坐标及程序内部处理同时具有平弯和竖弯的曲线段时有较大的困难。
本章以第一种方法为例阐述程序中与预应力钢索有关的计算,其他方法的计算过程与此类同。程序中的一些约定及输入的数据包括：
（1） 结构坐标系约定：轴为桥梁的纵轴线（对曲线桥指主桥端点的连线）,轴为竖直轴，轴由右手法则确定。坐标系原点位于桥梁左端点；
（2） 根据工程习惯，将结构沿桥梁纵轴线展开成平面（对于直桥就是平面)，并将预应力钢索投影到此平面内，投影曲线一般由直线段和圆弧段组成，也就是预应力钢索的竖弯曲线。在坐标系内采用导线法描述竖弯曲线,沿曲线依次输入导线点的信息，包括导线点的坐标和导线点处的弯曲半径。圆弧段开口向坐标轴正向时弯曲半径为正值，否则为负值；对竖弯曲线的两个端点和中间折点，令其弯曲半径为0；
（3） 将预应力钢索投影到平面内，投影曲线一般也由直线段和圆弧段组成，是预应力钢索的平弯曲线。在坐标系内采用导线法描述平弯曲线的形状，沿曲线依次输入导线点的信息,包括导线点的坐标和导线点处的弯曲半径。圆弧段开口向坐标轴正向时弯曲半径为正值，否则为负值；对平弯曲线的两个端点和中间折点,令其弯曲半径为0；
（4） 输入曲线桥端点的水平距离和平弯半径,时为直线桥。
6。1.2预应力钢索几何参数计算
（1）竖弯曲线几何参数计算
将预应力钢索投影到桥梁纵轴线剖面内,如图6—1所示。已知各导线点的坐标和竖弯半径，可以得到:
(6—1)
(6-2）
(6—3）
（6—4)
（6-5）
（6-6）
式中： —-导线点和的距离
——导线点和的距离
——导线点和的连线与轴的夹角
-—导线点和的连线与轴的夹角
——导线点处圆弧对应的圆心角
——导线点处的切线长度
—-导线点处的竖弯半径

图6—1　竖弯曲线的几何特性计算
由此可以得到坐标系内每个中间导线点对应圆弧段的两个定位点、的坐标：
（6-7)
（6—8）
经过这样计算以后，竖弯曲线的描述就由导线点描述方式转化为圆弧段端点等定位点的描述方式，并且得到了每一分段对应的曲线长度和圆心角以及定位点处切点的坐标。
(2）平弯曲线几何参数计算
平弯曲线几何参数的计算与竖弯曲线的计算方法相同，只须注意计算平弯曲线时的坐标系不是,而是就可以了.
(3）坐标系与坐标系的坐标转换
为得到预应力索的空间实际线形,必须得到坐标系与坐标系的坐标转换关系.显然只需求坐标与的转换关系就可以了.
参见图6-2,将坐标转换到时，容易得到：
（6—9)
(6—10）
进而可以得到：
（6—11）
与之相对应，有：
(6-12）

图6—2　坐标到坐标的转换
（4）投影曲线上插入中间点的方法
为计算需要，须讨论在投影曲线上插入的中间点坐标及其他几何信息的计算方法.若插入点位于直线段上,由两侧定位点的坐标内插即可得到插入点的坐标，这里不再给出计算式;下面以竖弯曲线为例重点讨论在曲线段上插入点的方法.
插入分两种：一种是按曲线长度插入，另外一种是按水平坐标差插入。
按曲线长度插入时，如图6—3所示，若点与之间是圆弧段,为一个插入点,到点的曲线距离为.则点的切线方位角为:
(6-13）
点的坐标为：
(6—14)

图6-3　圆弧段插入点几何特性计算
按水平坐标插入时，即已知插入点的水平坐标时，只须对式（6-13)、（6—14）做变换就可以了，直接得到:
(6-15）
(6-16）
（6-17)
(5）空间曲线的合成
平弯和竖弯曲线的定位点坐标中都有坐标，可按上面第四小节的方法求出一条曲线上的定位点在另一条曲线上的对应位置。将两个坐标组合，可得到实际的空间点坐标。再综合各曲线的弧长和方位角信息，就得到了实际的空间曲线。
合成后的空间曲线的分段有四种类型：
① 对应的平弯和竖弯曲线段都是直线；
② 平弯曲线为直线，竖弯曲线是曲线;
③ 平弯曲线为曲线，竖弯曲线是直线；
④ 对应的平弯和竖弯曲线段都是曲线。
(6）空间曲线转化为空间折线
为了计算预应力损失及预应力等效荷载的方便，可以用空间折线近似替代预应力钢索空间曲线.当折线的数量不断增加时,折线的形状也逼近空间曲线。
为增加折线数量,首先将平弯和竖弯曲线的定位点加密.
对分段类型①,将该分段用等分点分成适当的长度（例如大致取整个结构中的最小单元长度），空间等分点的坐标由直线内插得到；
对分段类型②和③，可将圆弧段按曲线长度等分,等分后每一区段对应的圆心角≤5°，并且不足三个区段的分为三等份。由按曲线长度内插的公式（6—13）、(6—14）计算插入点的坐标,并求出等分点对应的空间定位点的坐标;
对分段类型④，可将平弯或竖弯曲线按曲线长度等分,等分后每一区段对应的圆心角≤5°，并且不足三个区段的分为三等份。先按曲线长度内插的公式计算被平分的曲线上的插入点的坐标,再按水平坐标内插的公式计算对应的另一曲线上点的坐标，最后合成空间点的坐标。
通过上述过程可将空间曲线转化为空间折线，折线上的定位点可依次编号为。
6.2 预应力损失的计算
预应力混凝土构件中引起预应力损失的原因很多.按规范，应考虑由下列因素引起的预应力损失：
6。2。1预应力钢索与孔道壁之间的摩擦引起的预应力损失
(1)基本公式
预应力钢索与管道壁之间的摩擦损失出现在后张法构件中。在张拉预应力钢索时，由于预留管道的位置可能有偏差或管道壁不光滑，使预应力钢索与管道壁接触引起摩擦力,因此离开张拉端后预应力钢索的预拉应力逐渐减小。从张拉端至计算截面的摩擦损失值以表示。摩擦损失由两部分组成：一是管道偏差损失,主要取决于预应力钢索的长度、接触材料之间的摩阻系数及管道施工质量；二是弯曲影响的摩擦损失，主要是由于管道弯曲，预应力钢索对孔道内壁的径向正压力引起摩阻损失.
预应力钢索与管道之间摩擦引起的应力损失计算公式为：
（6-18)
式中： ——张拉钢索时锚下的控制应力；
—-预应力钢索与管道壁的摩擦系数,按表6—1采用；
-—从张拉端至计算截面曲线管道部分切线的夹角之和，以弧度计；
-—管道每米局部偏差对摩擦的影响系数,按表6—1采用；
——从张拉端至计算截面的管道长度，以米计，也可近似取为该段管道在纵轴线上的投影长度。
系数及值表 表6—1
管道成型方式

钢丝束、钢绞线、光面钢筋
螺纹钢筋
预埋铁皮管
0。003
0.35
0.40
钢管抽芯成型
0
0。55
0.60
橡胶管抽芯成型
0。0015
0。55
0。60
预埋波纹管
0。0015
0。15～0。25
—
注:电热后张法不计摩擦引起的损失.
式(6-18）也适用于空间预应力索，只是角的含义应该是曲线的空间包角。有关研究成果表明，这样处理后与试验结果吻合得比较好。
（2)预应力损失的计算
假定预应力钢索在左端张拉，将空间曲线用空间折线近似替代后,就可以计算出从预应力钢索左端点算起的预应力累计长度和累计空间包角，进而计算出预应力损失，步骤如下:
① 令左端点（1号点)处的预应力钢索累计长度与累计空间包角为0，相应的预应力损失也为0；
② 点1到2之间为直线，因此：
(6—19）
（6-20)
③ 按式（6—18）计算点2处的预应力损失；
④ 计算直线12与23的空间夹角：
令: （6—21) （6—22）
则： (6-23)
⑤ 计算点3处的累计长度与累计空间包角：
(6—24）
(6—25）
⑥ 按式（6-18)计算点3处的预应力损失；
⑦ 对4至号定位点重复④至⑥步进行计算。
上述过程中，点处计算得到的和即为预应力钢索的总长及总空间包角。
左端张拉的情况计算结束后，可按下述方法计算右端张拉的情况：
（） （6-26)
(） （6—27)
（3）扣除预应力损失后应力曲线的计算
根据实际的张拉情况，可取用前述假设左端张拉或右端张拉计算得到的预应力损失的结果，进而得到扣除后的有效预应力。如图6—4所示，曲线与分别为假定在左、右端张拉得出的扣除预应力损失后的有效预应力曲线。显然：。

图6—4　扣除损失后的有效预应力曲线
当预应力钢索采用两端张拉方式时,还须求出图6—4中所示的交点，最终扣除预应力损失后的有效预应力曲线取用.
下面求交点的位置和损失值。
① 比较曲线与，得出交点在点与之间;
② 计算点与处两条应力曲线之间的差值分别为：
(6—28）
③ 交点到点、的距离可近似求得为：
(6-29）
（6-30）
式中:——点到点的距离。
点到点的空间包角为：
(6—31）
④ 点坐标为：
(6-32)
⑤ 从左端开始累计的点累计长度与累计空间包角为:
(6—33）
（6-34）
进而可计算从右端开始累计的点累计长度与累计空间包角；
⑥ 点预应力损失的应力比例可由式（6-18)计算,进而可计算点扣除预应力损失后的应力比例；也可直接内插得出:
(6—35)
⑦ 在定位点信息中插入两个点，分别保存左端和右端张拉的点信息。
（4)预应力钢索张拉时的伸长量的计算
预应力索伸长量的计算是预应力结构设计、施工过程中一项重要任务。按先张法和后张法施工的不同,预应力索伸长量的计算公式分别为：
先张法：
（6—36）
式中： ——预应力钢索的张拉力；
-—预应力钢索的长度；
—-预应力钢索的弹性模量；
—-预应力钢索截面面积.
后张法：
（6—37）
实用计算中，可按下式分段计算：
（6-38)
式中： —-预应力钢索分段起点处的张拉力,为扣除摩阻损失后的有效张拉力；
——预应力钢索分段的长度；
-—预应力钢索分段对应的空间包角;
—-预应力钢索分段数.
可见,预应力索的伸长量只与其张拉力和摩阻损失有关，因此程序中伸长量的计算可穿插在预应力钢索损失的计算过程中。只须暂时令张拉力为1，在张拉该预应力钢索的施工阶段中再将结果按实际张拉力修正。若是两端张拉，从张拉端累计至损失后的应力最低点,可分别得到两端的伸长量.
6。2。2考虑反摩阻的锚具变形、钢索回缩、接缝压缩引起的预应力损失
（1）基本公式
由锚具变形、钢索回缩和接缝压缩引起的应力损失，可按下式计算:
(6-39)
式中： ——锚具变形、钢索回缩和接缝压缩值，一般应根据实验数据确定，无可靠资料时，可按表6-2采用；国内常用的钢铰线夹片式锚具的有关数值见表6—3;
--预应力钢索的有效长度;
——预应力钢索的弹性模量。

一个锚具变形、钢索回缩和一个接缝压密值 表6-2
锚具、接缝类型
变　形　形　式
变形值（mm）
带螺帽的锚具：
螺帽缝隙
每块后加垫板的缝隙
缝隙压密

1
1
钢丝束的墩头锚具
锚具变形
1
环销式锚具
叉型垫板压密及锚具变形
2
钢制锥形锚具
钢索回缩及锚具变形
6
JM12锚具：
用于预应力粗钢筋时
用于预应力钢绞线时
钢索回缩、锚具变形
及垫板压密

2
3
分块拼装构件的接缝：
灌注接缝或干接缝
薄胶接缝
接缝压密

1
0.05
单根冷拔低碳钢丝的锥形锚具
锚具变形
5
钢绞线夹片式锚具
钢绞线回缩及锚具变形
5～6（自锚）
4~5（顶压)
一个钢铰线夹片式锚具变形、钢索回缩值 表6-3
张拉锚具
类型
钢索回缩、锚具
变形值(mm）
张拉锚具
类型
钢索回缩、锚具
变形值（mm）
XM型
4～5（采用液压顶压器顶压）
6～8（采用弹性顶压器顶压)
TM型
4（采用液压顶压器顶压）
6（自锚）
QM型
6
XYM型
6
OVM型
6
B&S型
5
YM型
6

式(6-39）假定此项损失在预应力钢索全长范围内都相等，这一点对于先张法是成立的。但对于后张法，应考虑预应力钢索与管道壁之间的反摩阻作用,以便更好地反映由锚具变形等引起的应力损失沿纵梁轴线逐渐变化的实际情况。假定反摩阻作用与预应力钢索张拉时的摩阻作用相同,则可以求出预应力钢索回缩的影响长度，并求出应力损失值。
扣除预应力损失后预应力钢索沿程应力分布如图6-5中曲线所示.扣除反向摩阻力，就可求出预应力钢索中的预应力变化曲线。
影响长度为、点对应的预应力钢索上点的曲线距离，曲线与之间的纵距表示预应力损失，点处损失为0，此处预应力钢索中的预应力值最大。由于假定正、反摩阻力相等，因此曲线与以点处的水平线对称。根据变形协调条件，影响长度内总回缩量应等于该长度内各微段回缩应变的积分值，即
（6—40）
则 (6—41）
式中：—-图形的面积。

图6-5　考虑反摩阻的损失的计算
根据已知的值,可用试算法确定影响长度(具体过程详后），并得到影响长度内任意点的预应力损失大小为：
（6—42）
式中：、——扣除预应力损失后T、E点的有效预应力。
于是，扣除预应力损失后预应力钢索在影响长度内的应力为:
(6—43)
式中：-—各定位点扣除预应力损失后的有效预应力。
（2）回缩终点的计算
现在的问题归结为求回缩终点。根据式（6—41）进行试算时,需要计算图形的面积。实际计算时，将它按定位点划分为如图6—6中虚线所示的小区域，分别计算后累加,步骤如下：
① 计算第一个小区域的面积：
（6-44)
② 计算下一个小区域的面积：
(6-45)
③ 由于，式(6-44)与式(6—45)可统一为:
（6—46）

图6-6　预应力钢索回缩量计算示意
④ 每计算一个小区域后计算总面积，直至点，使，得到回缩终点在点和之间；
⑤ 在点和之间寻找回缩终点，令其为点，则：
(6—47)
(6—48)
可以得到：
(6-49）
（6-50)
⑥ 在点和之间按照长度内插得到点坐标；
6。2。3预应力钢索与养护台座之间温度差引起的预应力损失
这项损失仅发生在先张法预应力混凝土构件中。为缩短先张法构件的生产周期，常采用蒸汽或其它方法加热养护混凝土。在升温时，混凝土与预应力钢索之间尚未建立粘结力，预应力钢索因受热而伸长，而张拉台座仍维持原相对距离,造成预应力钢索被放松而发生应力下降；降温时，预应力钢索已与混凝土结成整体共同变形,无法恢复到原来的应力状态，于是产生了应力损失，记为.设预应力钢索张拉时制造场地的自然温度为，养护时的最高温度为，温差为，则应力损失的计算公式为：
(6—51)
式中:为钢索的线膨胀系数，一般可取。
6。2.4混凝土弹性压缩引起的预应力损失
张拉预应力后,混凝土将产生弹性应变，此时已与混凝土粘结的或已经张拉并锚固的预应力钢索也会产生与相应位置处混凝土相同的应变，因而引起预应力损失。这部分预应力损失称为混凝土弹性压缩损失，以表示。
对于先张法预应力混凝土构件，此项损失按下式计算:
（6—52）
式中： ——预应力钢索与混凝土弹性模量比；
——在计算截面钢索重心处由预应力产生的混凝土法向应力。
在后张法构件中,混凝土的弹性压缩发生在张拉过程中,张拉完毕后弹性压缩也完成.所以对于一次张拉完成的后张法构件不产生此项损失；当采用多次张拉时，已张拉完毕并锚固的预应力钢索会在后续分批张拉时发生弹性压缩变形，进而产生应力损失.所以此项损失通常被称为分批张拉预应力损失。理论上讲,后张法构件中的应力损失也可按照式（6—52)计算，只是应为后张拉预应力钢索在先张拉的预应力钢索处产生的混凝土法向应力。
采用计算机程序计算时，程序内部只须在预应力张拉锚固后自动形成组合截面，使混凝土部分和预应力钢索部分共同承受荷载，就能自动计算分批张拉预应力损失。形成组合截面的算法详见6。4节，计算组合截面中混凝土部分承受的内力的算法见6。5节。
6.2.5钢索松弛引起的预应力损失
预应力钢索在持久不变的荷载作用下，会产生随时间延长而增加的应变，称为预应力钢索材料的蠕变，应力也相应降低，这种现象称为松弛.
由于松弛应力损失与加载时间有关，因此计算时应根据构件不同受力阶段的加载时间采用不同的松弛损失值。对先张法构件，可考虑预加应力阶段发生松弛损失终极值的一半，其余部分在使用阶段完成;对后张法构件,可考虑按照下述方法计算：自建立预应力开始两天时完成松弛损失终极值的一半，40天时全部完成。根据上述原则就可以方便地在程序内部进行处理。
由钢索松弛引起的应力损失终极值，可按表6—4取用。
应力损失的终极值与张拉控制应力的比值表 表6—4
预应力钢索品种
张拉方式
冷拉粗钢筋
钢丝、钢绞线
低松弛钢丝、钢绞线
一次张拉
0。05
0。07
0.045
超张拉
0。035
0。045

6.2.6混凝土收缩和徐变引起的预应力损失
收缩徐变是混凝土固有的特性，由于混凝土的收缩徐变，使预应力混凝土构件缩短，预应力钢索也随之回缩,造成预应力损失。现行规范中的混凝土收缩徐变引起预应力损失的计算方法建立在分别分析混凝土与预应力钢索、非预应力钢筋受力的基础上,但实际上在预应力混凝土构件中，各部分材料共同受力，徐变的作用只是引起结构中各构件以及同一构件混凝土与钢索之间的内力重分配.因此,目前规范中的计算方法是为进行手算而建立的简化计算方法。
合理的方法是在程序中形成组合截面，并且在每一施工阶段中都根据当时混凝土与钢索两种材料的弹性模量比值重新计算组合截面特性。在同一施工阶段，由于各构件中混凝土的龄期及初载龄期可能不同,因此弹性模量的变化也不尽相同，这样就导致形成组合截面后,结构各构件组合截面之间的刚度对比发生了变化,内力分配也随之变化；得到每一构件组合截面重新分配到的内力后，再分配到混凝土和钢索两种材料中。具体的分析过程详见以后章节.
6。2。7有效预应力计算
预应力钢索的有效预应力为锚下张拉控制应力扣除相应的预应力损失后预应力钢索内存在的预拉应力.预应力损失出现的组合，应根据预应力钢索的张拉方式、方法以及机具设备等具体情况决定。
预应力损失的组合，一般应根据应力损失出现的先后与全部完成所需要的时间,分先张法、后张法，按预加应力阶段和使用荷载作用阶段来划分.各阶段预应力损失值的组合可按表6-5计算.
预应力损失组合 表6-5
预加应力方法
阶段
先张法
后张法
第I阶段(预加应力阶段)

第II阶段（使用荷载阶段）

在预加应力阶段，预应力钢索中的有效预应力为:
（6-53）
式中：-—预应力钢索张拉完毕、传力锚固为止所出现的应力损失之和。
在使用荷载作用阶段，预应力钢索中的有效预应力，即永存预应力为:
(6—54）
式中：——预应力钢索传力锚固结束以后出现的应力损失之和。
由于损失与张拉控制应力的比值与无关,因此可在所有施工阶段计算前计算；在各施工阶段的计算中，计算被张拉锚固的预应力钢索的损失、、，直接从中扣除;损失应根据张拉锚固后的时间分施工阶段逐步扣除；损失、是包含在其他计算步骤之内的,不须独立计算。
6。3 预应力等效荷载计算
将预应力钢索的线形转化为空间折线并求得有效预应力后，可以将有效预应力对结构的作用等效为单元若干等分点（比如五等分点）上的集中荷载，每个等分点上的等效荷载包括三个集中力和三个集中力矩；最后将等效荷载作用在结构上就可求出预应力效应。由于等效荷载是直接施加在超静定结构上的，所以得出的结构反应是初内力和次内力的总和。下面详细讨论程序内部的处理过程：
（1）单元五等分后，可以求出等分点横截面及端点截面与预应力钢索折线的交点,编号为，如图6-7所示。

图6-7　单元等分点与预应力钢索的交点
求交点的方法为:
假定一空间平面过点，法线向量为;另有一空间直线过点，方向向量为，则它们的方程分别为:
(6-55）
(6—56)
若，即直线与平面不平行时，直线与平面的交点坐标为:
（6—57)
式中： (6—58）
在实际计算中，取点为单元等分点，为单元左右端点、确定的向量，点为钢索折线段左端点，为钢索分段左右端点、确定的向量,由式（6—57)可以得到等分点截面与预应力钢索的交点.另外由式（6—57)可以看出：是交点到点的距离与钢索折线段长度的比值.由于事先不知道截面与预应力钢索的交点在哪一段折线范围内，因此须对预应力钢索逐段试算，直到为止.
（2）交点处的预应力大小近似为:
（6-59）
(3)取单元的一个等分段进行分析,认为预应力的大小为其两端预应力的平均值，并且沿等分段两端截面与预应力钢索折线交点的连线方向.
（4）计算分段左端的集中荷载，如图6—8所示。将沿单元局部坐标轴方向分解,得到集中力荷载、、。

图6—8　预应力等效荷载的计算
（5)计算点到截面形心的距离并转换到局部坐标系，可计算出集中力矩荷载:
(6-60）
（6）仿照③～⑤计算单元等分段右端的集中荷载，注意右端集中力的方向与左端相反。
（7）将左右端的集中荷载作用在结构上,求出单元的等效节点荷载。此过程中须注意：图6-7中，、点的集中荷载为单元坐标系中的节点荷载,可转换到结构坐标系后直接叠加到荷载列阵；其余点的集中荷载为单元荷载，须按照第四章4。5节的方法处理。
6.4 预应力张拉锚固后组合截面的形成
预应力钢索张拉并锚固后与混凝土截面形成组合截面，应考虑单元截面特性的变化及形心位置的变化.在每根预应力钢索锚固后进行下面的处理:
（1）预应力钢索的面积按钢与混凝土的弹性模量比转换为混凝土材料面积，直接叠加到单元的截面面积中：
（6—61）
式中: —-组合截面的面积；
——混凝土部分的面积；
—-预应力钢索的面积;
——预应力钢索与混凝土的弹性模量比。
(2）组合截面的抗弯惯矩和抗扭惯矩近似按下式计算：
(6-62）
（6-63）
式中：、、 ——组合截面的抗弯惯矩、抗扭惯矩；
、、 ——混凝土部分的抗弯惯矩、抗扭惯矩；
、 -—单元等分点处预应力钢索偏心距离平方的平均值.
（3）形心位置的变化靠单元两端刚臂长度的变化来引入.程序中须将有预应力钢索穿过的单元自动转化为带刚臂单元，刚臂的长度由下式确定：
(6—64）
式中:、 —-单元坐标系中预应力钢束锚固后组合单元的刚臂长度;
、 ——单元坐标系中原组合单元的刚臂长度;
——组合截面的面积；
——预应力钢索的面积；
-—预应力钢索与混凝土的弹性模量比;
、 —-单元等分点处预应力钢索偏心距离的平均值。
6。5 组合截面内力及混凝土截面内力
在预应力钢索张拉锚固后,程序内部自动形成组合截面，因此，按照一般有限元步骤计算出的单元内力是由混凝土与预应力钢索共同承受的,即组合截面的内力。要得到混凝土截面的内力,须在组合截面总内力中扣除预应力钢索承受的部分。
当单元划分足够多时，可用预应力钢索与单元两端截面的交点之间的连线近似代替预应力钢索的实际空间曲线，用交点沿其连线方向的相对位移近似代替钢索的伸长量。仿照4.4节中带刚臂单元的处理过程可以计算单元内预应力钢索的伸长量，进而得到预应力钢索承受的内力。
图6-9为一个有预应力钢索穿过的单元，单元左右节点分别为、，预应力钢索与杆端截面的交点为、。可将视为一个带刚臂单元，单元坐标系中两端的刚臂长度为。
另设立坐标系,由点、及另取的一点确定。由于最终只须求点、沿其连线方向的相对位移，因此点可取直线外的任意点。实际操作时可在单元的三个定位点、、中选取，因为这三个点不共线，其中至少有一个不在直线上。

图6-9 带刚臂单元
仿照式(4-15)、（4—16)可写出单元坐标系中、点与、点的位移关系为:
(6—65)
（6-66）
令由单元坐标系到坐标系的转换矩阵为，则在坐标系内，点、的位移为：
（6-67)
点、沿其连线方向的相对位移，也就是预应力钢索的伸长量为：
(6-68)
与预应力钢索的伸长量等效的拉力大小为:
(6—69)
按照6。3节中的方法得到上述拉力等效的单元杆端内力,就是预应力钢索承受的杆端内力。从总杆端内力中扣除此部分内力即得到混凝土截面承受的内力.
在式（6—68)中，若，说明预应力钢索实际是缩短的.与之相对应,预应力钢索实际是受压的。这是由预应力损失引起的。同时也可以看到,若,说明预应力非但没有损失，反而增大了，这是传统计算方法中没有考虑到的。
6。6 预应力分析程序流程
根据上述计算原理可以在程序中增加预应力分析功能，图6—10～6—17为预应力分析主要模块的子程序流程图.其中，图6-10为预应力钢索曲线转化为折线的子程序流程图;图6-11为计算预应力损失及预应力钢索张拉伸长量的子程序流程图;图6—12为处理预应力钢索张拉信息的子程序流程图；图6-13为计算预应力损失的子程序流程图；图6—14为计算预应力损失回缩终点并予以扣除的子程序流程图;图6-15为计算预应力等效荷载的子程序流程图；图6—16为形成组合截面的子程序流程图；图6—17为计算截面中混凝土部分承受的内力的子程序流程图。

图6-10 预应力钢索曲线转化为折线的子程序流程图

图6-11 计算预应力损失及预应力钢索张拉伸长量的子程序流程图

图6—12 处理预应力钢索张拉信息的子程序流程图

图6—13 计算预应力损失的子程序流程图

图6—14 计算预应力损失回缩终点并予以扣除的子程序流程图

图6-16 形成组合截面的子程序流程图

图6—15 计算预应力等效荷载的子程序流程图

图6-17 计算截面中混凝土部分承受的内力的子程序流程图
6.7 小结
本章阐述了空间结构预应力效应的分析方法。介绍了按照工程习惯通过描述两条投影曲线来描述空间预应力钢索曲线的方法，并将空间曲线用空间折线代替,大大方便了后续的数值计算及程序的编制;详细论述了各项预应力损失的计算、预应力钢索张拉伸长量的计算、预应力等效荷载的计算、组合截面的形成以及截面内力分配等问题。本章最后还给出了预应力分析的程序流程图，据此在桥梁结构分析程序中可以添加预应力分析功能。