解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式.doc

解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有
1）对恒成立; 2）对恒成立
例1．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。
所以实数的取值范围为。
若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：设，则当时，恒成立
O
x
yx
-1
当时，显然成立；
当时，如图，恒成立的充要条件为：
解得。综上可得实数的取值范围为。
二、最值法（分类讨论）
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）恒成立2）恒成立
例3 已知，若恒成立，求a的取值范围.
解析 本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立
或或，即a的取值范围为.
点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本题也可以用零点分布策略求解.
练习、若时，不等式恒成立，求的取值范围。
解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。
（1） 当即：时， 又所以不存在；
（2） 当即：时， 又
（3） 当 即：时， 又
综上所得：
例4．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。
解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，
考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得
而抛物线在的最小值得
注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。
三、确定主元（变换主元）
在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
例5、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。
解：设，对满足的，恒成立，
解得：
例6．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。
解：令，则原问题转化为恒成立（）。
当时，可得，不合题意。
当时，应有解之得。故的取值范围为。
注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）恒成立
2）恒成立
实际上，上题就可利用此法解决。
略解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。
例7．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。
解： 将问题转化为对恒成立。令，则
由可知在上为减函数，故
∴即的取值范围为。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。
例5、当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：
（1） 当时，，则问题转化为
（2） 当时，，则问题转化为
综上所得：或
五、数形结合
数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。
例6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。
解：由题意知：在内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数和
观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；
当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，
综上得：
上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。
指数不等式的解法
是利用指数函数的性质化为同解的代数不等式

例1：解不等式：解  (1)原不等式
所以原不等式的解集为
例2：
解：
所以原不等式的解集为：
对数不等式的解法a>1时

对数不等式的解法（0<a<1）时

例3：
解：原不等式
所以原不等式的解集为
例4 解不等式
解:原不等式可化为：
∴原不等式的解集为

解：要使此函数有意义：只须
∴原不等式的解集为