专题训练蚂蚁爬行的最短路径(附含答案解析).doc

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蚂蚁爬行的最短路径

1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．

回答下列问题：
（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；
（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．
解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；
（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒

第6题
2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 .

解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
AB= ．

3．（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm
4
．
解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．

4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（ ）
A．A⇒P⇒B B．A⇒Q⇒B C．A⇒R⇒B D．A⇒S⇒B

解：根据两点之间线段最短可知选A．
故选A．

5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（　　）

解：如图，AB= ．故选C．

6． 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（　　）

解：展开正方体的点M所在的面，
∵BC的中点为M，
所以MC= BC=1，
在直角三角形中AM= = ．

7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是 cm。

解：将盒子展开，如图所示：
AB=CD=DF+FC= EF+ GF=×20+×20=20cm．
故选C．

第7题
8. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 .

解：将正方体展开，连接M、D1，
根据两点之间线段最短，
MD=MC+CD=1+2=3，
MD1= ．

9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.52.5秒钟．

解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm；
（2）展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm；
所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．
10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 。

解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB= =25．

11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .

解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ABC1是直角三角形，
∴AC1=

12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。

解：由题意得，
路径一：AB= = ；
路径二：AB= =5；
路径三：AB= = ；
∵ ＞5，
∴5米为最短路径．

13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．

解：（1）AB的长就为最短路线．
然后根据　若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 （cm）；
若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 （cm），
或 （cm）
所以蚂蚁经过的最短路程是 cm．
（2）　5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，
最长路程是30cm．

14．如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？

解：图1中， cm．
图2中， cm．
图3中， cm．
∴采用图3的爬法路程最短，为 cm

15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。

解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，
则所走的最短线段是 =6 cm；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，
所以走的最短线段是 = cm；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，
所以走的最短线段是 =2 cm；
三种情况比较而言，第二种情况最短．

16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 cm

解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故答案为25．

17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是 cm。

解：将台阶展开，如下图，
因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，
所以AB2=AC2+BC2=169，
所以AB=13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．

18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 13cm．

解：
∵PA=2×（4+2）=12，QA=5
∴PQ=13．
故答案为：13．

19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？

解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB，
则AB的长即为A处到B处的最短路程．

解：在Rt△ABD中，
因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，
所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．
所以AB=17cm．
故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．

20．（2009•佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）求点B1到最短路径的距离．

解：（1）如图，
木柜的表面展开图是两个矩形ABC'1D1和ACC1A1．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A1C'1和AC1．（2分）
（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，
爬过的路径的长是 ．（3分）
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是 ．（4分）
l1＞l2，故最短路径的长是 ．（5分）
（3）作B1E⊥AC1于E，
则 • • 为所求．（8分）

21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 .
第2题

解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C，D分别是BE，AF的中点．
AF=2π•5=10π．AD=5π．
AC= ≈16cm．
故答案为：16cm．

22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 .
第3题

解：AB=m

23．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为
13
．
解：因为圆柱底面圆的周长为2π×=12，高为5，
所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，
根据勾股定理，对角线长为 =13．
故蚂蚁爬行的最短距离为13．

24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是

解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24cm，
则AD=24×=12cm．
又因为CD=AB=9cm，
所以AC= =15cm．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm．
故答案为：15．

25．（2006•荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是 cm．（结果用带π和根号的式子表示）

解：QA=3，PB1=2，
即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中，
根据勾股定理得：
QP=

26．同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．

问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．

解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图．

如图，将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位置，连接AM，即是这条最短路线图．

第5题
27．如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是 .

解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π= ，
∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，
∴在圆锥侧面展开图中AP=2，AB=4，∠BAP=90°，
∴在圆锥侧面展开图中BP= ，
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm．
故答案是： cm．

28．如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB=150°，D为VB上一点，VD= ．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　）

解： = = ，
∴设弧BC所对的圆心角的度数为n，
∴ =
解得n=90，
∴∠CVD=90°，
∴CD= =4 ，

29．已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程长为 。

解：连接AA′，作OC⊥AA′于C，
∵圆锥的母线长为5cm，∠AOA1=120°，
∴AA′=2AC=5．

30． 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 .
第4题

解：由题意知，底面圆的直径为2，
故底面周长等于2π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，，
解得n=90°，
所以展开图中圆心角为90°，
根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：．

31．（2006•南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 。

解：由题意知底面圆的直径=2，
故底面周长等于2π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=，
解得n=90°，
所以展开图中的圆心角为90°，
根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为．

32．（2009•乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为 。

解：由题意知，底面圆的直径AB=4，
故底面周长等于4π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π= ，
解得n=120°，
所以展开图中∠APD=120°÷2=60°，
根据勾股定理求得AD= ，
所以蚂蚁爬行的最短距离为．
33．如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．

解：把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形，
则蚂蚁运动的最短路程为AA′（线段）．

由此知：OA=OA′=3r， 的长为2πr．
∴2πr= ，n=120°，
即∠AOA′=120°，∠OAC=30°．
∴OC=OA=
∴AC=
∴AA′=2AC=r，
即蚂蚁运动的最短路程是r．

34．如图①，一只蚂蚁从圆锥底面的A点出发，沿侧面绕行一周后到达母线SA的中点M．蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究．
（1）善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r=10cm，母线SA长为40cm，就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；
（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于60°（如图②），请问：蚂蚁如何行走最合算？
（3）通过（1）、（2）的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周，
①请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？
②结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法．

解：（1）2π•10=nπ•40÷180°
n=90°，
AM= =20 ．
（2）∵锥角为60°，
∴底面半径的长和母线的长相等，
但缺少母线的长．（3）①因为银银的数据不合理，因为慧慧缺少条件．
②（1）展成平面图形．
（2）知道母线的长，知道扇形的圆心角度数，以及M是SA的中点，根据三角函数或者构造直角三角形来求解

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