将军饮马系列---最值问题.doc

(完整word)将军饮马系列---最值问题

“将军饮马"系列最值问题

知识回顾

1.两点之间，线段最短．
2。点到直线的距离，垂线段最短．
3。三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．
4.分别为同一圆心半径不等的两个圆上的一点，
当且仅当三点共线时能取等号．

知识讲解

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．
有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从出发到河边饮马，然后再到地军营视察,显然有许多走法．问怎样走路线最短呢?精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．
下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．
根据公理:连接两点的所有线中，线段最短．
若在河流的异侧，直接连接,与的交点即为所求．
若在河流的同侧,根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理,即轴对称思想

轴对称及其性质：
把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴）对称．如等腰是轴对称图形．

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
如下图，与关于直线对称，叫做对称轴．和,和，和是对称点．

轴对称的两个图形有如下性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形；
②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;
③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

线段垂直平分线：
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高,或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形,集中条件。
所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马"问题。
考察知识点：“两点之间线段最短"，“垂线段最短”，“点关于线对称",“线段的平移".
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.

构建“对称模型”实现转化

常见模型：
（1）最小

（2）①最小

②最大

【变形】异侧时，也可以问：在直线上是否存在一点使的直线为的角平分线
(3）周长最短
类型一 类型二 类型三

（4）“过河”最短距离
类型一 类型二

（5）线段和最小

（6）在直角坐标系里的运用

同步练习

【例1】 尺规作图,作线段的垂直平分线，作的角平分线．

【变式练习】已知：如图，及两点、．求作：点,使得，且点到两边所在的直线的距离相等．

【例2】 已知点在直线外，点为直线上的一个动点,探究是否存在一个定点,当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等,如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由．

【例3】 如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站,要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？

【变式练习】如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短．

【例4】 如图，，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点），求作、，使得的周长的最小．

【例5】 如图，在内部有点和点,同时能使，这时在直线上再取点，使从点到点及点的距离和为最小；在直线上也取点,使从点到点和点的距离和也最小．证明:．

【例6】 已知如图,点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小．

【例7】 已知:、两点在直线的同侧， 在上求作一点,使得最小值和最大值．

【变式练习】（07年三帆中学期中试题)如图，正方形中，,是上的一点，且，是上的一动点．
求（1）的最小值与最大值．
（2）的最小值与最大值．

【例8】 如图，分别是边上的点（均不与点重合)，记的周长为，请作出周长最小的．

课后练习

【习题1】 如图，在等腰中，,的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小．

【习题2】 如图，菱形的两条对角线分别长和,点、分别是变、的中点，在对角线求作一点使得的值最小．

【习题3】 如图，在锐角中,，°,的平分线交于点，、
分别是和上的动点，则的最小值是____．

【习题4】 已知⊙的直径为,的度数为°，点是的中点,在直径上找一点，使 的值最小，并求的最小值．

【习题5】 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形
内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）
． ． ． ．

【习题6】 如图,在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．
实验与探究:
(1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请在图中分别标关于直线的对称点的位置，并写出它们的坐标：_________；
归纳与发现：
(2）结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为_____ (不必证明）;
运用与拓广：
（3）已知两点，试在直线上找一点，使点到两点的距离之和最小．

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