定积分典型例题20例答案.doc

(完整word)定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案

例1 求．
分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．
解 将区间等分，则每个小区间长为,然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
==．
例2 =_________．
解法1 由定积分的几何意义知，等于上半圆周 （）
与轴所围成的图形的面积．故=．
解法2 本题也可直接用换元法求解．令=（），则
====
例3 (1)若,则=___；（2）若，求=___．
分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可
．
解 （1）=；
（2） 由于在被积函数中不是积分变量,故可提到积分号外即，则可得
=．
例4 设连续,且，则=_________．
解 对等式两边关于求导得
，
故，令得，所以．
例5 函数的单调递减开区间为_________．
解 ，令得，解之得，即为所求．
例6 求的极值点．
解 由题意先求驻点．于是=．令=，得，．列表如下:

—

＋

－

故为的极大值点，为极小值点．
例7 已知两曲线与在点处的切线相同,其中
，,
试求该切线的方程并求极限．
分析 两曲线与在点处的切线相同，隐含条件，．
解 由已知条件得
，
且由两曲线在处切线斜率相同知
．
故所求切线方程为．而
．
例8 求 ；
分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则．
解 ===
==．
注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．
例9 试求正数与，使等式成立．
分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．
解 ==
，
由此可知必有，得．又由
，
得．即，为所求．
例10 设，，则当时,是的（ ）．
A．等价无穷小． B．同阶但非等价的无穷小． C．高阶无穷小． D．低阶无穷小．
解法1 由于

．
故是同阶但非等价的无穷小．选B．
解法2 将展成的幂级数,再逐项积分，得到
，
则
．
例11 计算．
分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
解 ＝＝＝．
注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如
,则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.
例12 设是连续函数，且,则．
分析 本题只需要注意到定积分是常数(为常数）．
解 因连续，必可积，从而是常数,记,则
，且．
所以
，即，
从而,所以 ．
例13 计算．
分析 由于积分区间关于原点对称,因此首先应考虑被积函数的奇偶性．
解 =．由于是偶函数，而是奇函数，有, 于是
===
由定积分的几何意义可知, 故
．
例14 计算,其中连续．
分析 要求积分上限函数的导数,但被积函数中含有,因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含，然后再求导．
解 由于
=．
故令,当时；当时，而,所以
==,
故
===．
错误解答 ．
错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式,公式

中要求被积函数中不含有变限函数的自变量，而含有，因此不能直接求导，而应先换元．
例15 计算．
分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．
解
．
例16 计算．
分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．
解 ==
=
．
例17 计算．
分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．
解 由于
， 　　　　　　　　　 （1）
而

， (2)
将（2)式代入（1)式可得
,
故
．
例18　计算．
分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．
解
．　　　　　　　　　　　　　　（1）
令，则

． （2）
将（2)式代入（1）式中得
．
例19设上具有二阶连续导数，且,求．
分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．
解 由于

．
故 ．
例20 计算．
分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．
解 ==
==
=．