微分中值定理习题参考解答.doc

习题3-1 微分中值定理
1、 不用求出函数的导数，说明方程有几个实
根，并指出它们所在的区间.
解 由于f(x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1Î(1, 2), 使f ¢(x1)=0. 同理存在x2Î(2, 3), 使f ¢(x2)=0; 存在x3Î(3, 4), 使f ¢(x3)=0. 显然x1、x2、x 3都是方程f ¢(x)=0的根. 注意到方程f ¢(x)=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f ¢(x)=0的全部根.
2、证明恒等式：
证明 设f(x)= arcsin x+arccos x. 因为
,
所以f (x)ºC, 其中C是一常数.
因此, 即.
3、 若方程有一个正根，证明方程

必有一个小于的正根.
证明 设F(x)=a0xn+a1xn-1+ × × × + an-1x, 由于F(x)在[0, x0]上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点xÎ(0, x0), 使F ¢(x)=0, 即方程
a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + × × × +an-1 =0 必有一个小于x0的正根.
4、 若函数在内具有二阶导数，且其中，
证明在内至少有一点使得
证明 由于f(x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f(x1)=f(x2), 根据罗尔定理, 至少存在一点x1Î(x1, x2), 使f ¢(x1)=0. 同理存在一点x2Î(x2, x3), 使f ¢(x2)=0. 又由于f ¢(x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f ¢(x1)=f ¢(x2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x Î(x1, x2)Ì(x1, x3), 使f ¢¢(x )=0.
5、证明下列不等式：
证明 设f(x)=arctan x, 则f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在xÎ(a, b), 使
f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a), 即,
所以, 即|arctan a-arctan b|£|a-b|.
习题3—2 洛必达法则
1、用洛必达法则求下列极限：
（1）； （2）（）；
解 (1).
(2)
（3）； （4）；
解 (3).

(4)
另解 (说明:灵活使用等价替换定理，常会比只用罗比达法则更方便）
（5）； （6）；
解 (5) .
(6) 因为,
而,
所以.
另解 ：中间过程用等价替换定理更方便
中间过程也可用重要极限计算.上述两种计算方法显然都比洛比达法则更方便,所以,具体计算中应使用哪种方法,应具体问题具体分析.
（7）； （8）.
解 (7) 因为, 而
,
所以.
注意:中间过程用等价替换定理更好！如下述解答过程

(8) 因为, 而
,
所以.
习题3—3 泰勒公式
1、按的幂展开多项式.
解 设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因为
f(4)=-56,
f ¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21,
f ¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74,
f ¢¢¢(4)=(24x-30)|x=4=66,
f (4)(4)=24,
所以
=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4.
2、求函数按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式
解 因为
f ¢(x)=x-1, f ¢¢(x)=(-1)x-2， f ¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × ,
;
(k=1, 2, × × ×, n+1),
所以
.
另解
由144页公式 得
.
习题3—4 函数的单调性与曲线的凹凸性
1、确定下列函数的单调区间：
（1）；
解 (1) y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y¢=0得驻点x1=-1, x2=3. 列表得
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 3)
3
(3, +¥)
y¢
+
0
-
0
+
y
↗

↘

↗
可见函数在(-¥, -1]和[3, +¥)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.
(2) ().
解 (2), 驻点为, 不可导点为, x3=a . 列表得
x

a
(a, +¥)
y¢
+
不存在
+
0
-
不存在
+
y
↗

↗

↘

↗
可见函数在, , (a, +¥)内单调增加, 在内单调减少.
2、证明下列不等式：
（1）当时，；
证明 (1)设, 则f (x)在[0, +¥)内是连续的. 因为
,
所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f (x)>f (0)=0, 即,
也就是 .
（2）当时，.
证明 设f(x)=sin x+tan x-2x, 则f(x)在内连续,
f ¢(x)=cos x+sec2x-2.
因为在内cos x-1<0, cos2x-1<0, -cos x<0, 所以f ¢(x)>0, 从而f(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)>f(0)=0, 即sin x+tan x-2x>0, 也就是 sin x+tan x>2x.
3、求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：
（1）； （2）；
解 (1) y¢=3x2-10x+3, y¢¢=6x-10. 令y¢¢=0, 得.
因为当时, y¢¢<0; 当时, y¢¢>0, 所以曲线在内是凸的, 在内是凹的, 拐点为.
(2), . 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1.
列表得
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 1)
1
(1, +¥)
y¢¢
-
0
+
0
-
y
Ç
ln2
拐点
È
ln2
拐点
Ç
可见曲线在(-¥, -1]和[1, +¥)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).
（3）.
解 (3),. 令y¢¢=0得, .
因为当时, y¢¢>0; 当时, y¢¢<0, 所以曲线y=earctg x在内是凹的, 在内是凸的, 拐点是.
4、利用函数图形的凹凸性，证明： （）
证明 设f(t)=et, 则f ¢(t)=et, f ¢¢(t)=et . 因为f ¢¢(t)>0, 所以曲线f(t)=et在(-¥, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x, yÎ(-¥, +¥), x¹y有
,
即 .
5、问、为何值时，点(1，3)为曲线的拐点？
解 y¢=3ax2+2bx, y¢¢=6ax+2b. 要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点, 必须y(1)=3且y¢¢(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程组得, .
习题3—5 函数的极值与最大最小值
1、 求下列函数的极值：
（1）； （2）.
解 (1) 函数的定义为(-¥, +¥),
y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1), y¢¢=-12x2+4,
令y¢=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1.
因为y¢¢(0)=4>0, y¢¢(-1)=-8<0, y¢¢(1)=-8<0, 所以y(0)=0是函数的极小值, y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.
(2) 函数的定义域为(-¥, 1],
,
令y¢=0, 得驻点.
因为当时, y¢>0; 当时, y¢<0, 所以为函数的极大值.
2、问函数（）在何处取得最大值？并求出它的最大值.解 y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1), 函数f(x)在1£x£4内的驻点为x=3.
比较函数值: f(1)=-29, f(3)=-61, f(4)=-47,
函数f(x)在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.
3、要造一圆柱形油罐，体积为，问底半径和高各等于多少时，才能使表面积最小？
这时底直径与高的比是多少？
解 由V=p r2h, 得. 于是油罐表面积为
S=2p r2+2p rh(0<x<+¥),
.
令S ¢=0, 得驻点.
因为, 所以S在驻点处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为. 底直径与高的比为2r : h=1 : 1.
习题3—6 函数图形的描绘
1、描绘函数的图形
解 (1)定义域为(-¥, +¥);
(2),
令y¢=0, 得x=1; 令y¢¢=0, 得, .
(3)列表
x

1

y¢
+
+
+
0
-
-
-
y¢¢
+
0
-
-
-
0
+
y=f(x)
↗È

拐点
↗Ç
1
极大值
↘Ç

拐点
↘È
(4)有水平渐近线y=0;
(5)作图:
习题3-7 曲率
1、求曲线在点处的曲率及曲率半径.
解 , .
所求曲率为
,
曲率半径为
.
2、求曲线在相应的点处的曲率.
解 , .
所求曲率为
,
.
3、对数曲线上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.
解 , .
,
,
.
令r¢=0, 得.
因为当时, r<0; 当时, r>0, 所以是r的极小值点, 同时也最小值点. 当时, . 因此在曲线上点处曲率半径最小, 最小曲率半径为.
复习题三
1、 设，证明：
证明 设f(x)=ln x, 则f(x)在区间[b, a]上连续, 在区间(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在xÎ(b, a), 使
f(a)-f(b)=f ¢(x)(a-b), 即.
因为b<x<a, 所以
, 即.
2、 证明方程只有一个正根.
证明 设f(x)=x5+x-1, 则f(x)是[0, +¥)内的连续函数.
因为f(0)=-1, f(1)=1, f(0)f(1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x5+x-1=0至少有一个正根.
假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f ¢(x)存在零点, 但f ¢(x)=5x4+1¹0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.
3、 证明：若函数在内满足关系式，且，则
分析：要证，即是证.也就是要证明是常数函数.
证明 令, 则在(-¥, +¥)内有
,
所以在(-¥, +¥)内j(x)为常数. 又j(x)=j(0)=1, 从而f(x)=ex .
4、 用洛必达法则求下列极限：
（1） （2）
解 (1)
(2)
.
（3） （4）
解 (3).
(4)
.
(注: cosx×ln(1+x2)~x2)
（5）
解 (5) .
(注: 当x®0时, ).
5、 应用麦克劳林公式，按的幂展开函数
解 因为
f ¢(x)=3(x2-3x+1)2(2x-3),
f ¢¢(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2),
f ¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3),
f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2),
f (5)(x)=360(2x-3),
f (6)(x)=720;
f(0)=1, f ¢(0)=-9, f ¢¢(0)=60, f ¢¢¢(0)=-270,
f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720,
所以

=1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6.
另解 由144页公式得

.
6、 确定下列函数的单调区间：
（1） （2）
解 (1) 因为, 所以函数在(-¥, +¥)内单调增加.
(2) y¢=e-xxn-1(n-x), 驻点为x=n. 因为当0<x<n时, y¢>0; 当x>n时, y¢<0, 所以函数在[0, n]上单调增加, 在[n, +¥)内单调减少.
7、 证明下列不等式：
（1） 当时，
证明 设, 则f (x)在[0, +¥)内是连续的. 因为
,
所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f(x)>f(0)=0, 即
,
也就是 .
（2） 当时，
证明 设f(x)=x ln2-2ln x, 则f (x)在[4, +¥)内连续, 因为
,
所以当x>4时, f ¢(x)>0, 即f(x)内单调增加.
因此当x>4时, f(x)>f(4)=0, 即x ln2-2ln x>0, 也就是2x>x2.
8、 求函数的图形的拐点及凹或凸的区间
解 y¢=4x3(12ln x-7)+12x3, y¢¢=144x2×ln x. 令y¢¢=0, 得x=1.
因为当0<x<1时, y¢¢<0; 当x>1时, y¢¢>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +¥)内是凹的, 拐点为(1, -7).
9、 求下列函数的极值：
（1） （2）
解 (1) 函数的定义为(-1, +¥), , 驻点为x=0. 因为当-1<x<0时, y¢<0; 当x>0时, y¢>0, 所以函数在x=0处取得极小值, 极小值为y(0)=0.
(2)函数的定义域为(-¥, +¥).
y¢=e x(cos x-sin x ), y¢¢=-2e xsin x.
令y¢=0, 得驻点, , (k=0, ±1, ±2, × × ×).
因为, 所以是函数的极大值.
因为y¢¢, 所以是函数的极小值.
10、 求抛物线在其顶点处的曲率及曲率半径.
解 y¢=2x-4, y¢¢=2.
令y¢=0, 得顶点的横坐标为x=2.
y¢|x=2=0, y¢¢|x=2=2.
所求曲率为
,
曲率半径为
.
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