高数计算题答案.doc

二 计算题（每小题7分，共70分）1。设的全微分 解：两边取对数-（1），再对（1）两边取全微分： 所以，2计算由方程确定的函数的全微分。解：原方程化为-（1） （1）式两边全微分，得：，整理，得： 3设，由方程确定，且F为可微函数，求。解：方程两边求全微分，并注意到一阶全微分形式的不变性，有：即： ，整理，得： ，故： 4设函数，其中具有二阶连续偏导数，求解：（一）（二），所以 5。求曲线在点的切线。解：方程组两边关于求导，得：，-（1）将点代入（1），得：解之，有：所以，切线向量为： 故曲线在点的切线为：6 计算其中是。解： 7计算解：交换积分次序，三试证明：点是函数的极值点。（10分）分数评卷人解：因为 所以点是函数的驻点。 记 所以，点是函数的极大值点。分数评卷人四设是由曲面和所围成的区域，试分别写出在直角坐标；柱坐标；球面坐标系下的三次积分（14分）解：向xoy平面上的投影区域为，。 （一）在直角坐标系下 （二）在柱坐标下（三）在球坐标下五。选作题（每题10分，共40分）1在曲面上求点的坐标使此点处的切平面平行于坐标面。解：设所求之点为记，则曲面在处的切平面的法向量为因为，所以，有：，解之，因此，所求之点。2设，其中为连续函数，是由曲面和所围成的区域，将I化为柱坐标及球坐标下的三次积分。解：联立消去z，得向xoy平面上的投影区域为，。 （一）在柱坐标下（二）在球坐标下 3求解：如图所示。宜采用球坐标计算之。 4已知某一物体由及所围成且每一点处的面密度函数为，试求该物体的质量。解：记：由三重积分的物理意义，知：。宜才采用直角坐标系下的“切片法”。设为过点处的截面。5试证明在原点处连续且偏导数存在，但在原点处不可微。证明：（一）因为，所以，故函数在原点处连续。 （二）因为 所以，类似地，故函数在原点处可偏导。 （三）下面考察，即考察 。我们说，不存在，故在原点处不可微 。