1、二． 计算题（每小题7分，共70分）
1。设的全微分
解：两边取对数
-----（1），
再对（1）两边取全微分：
所以，
2．计算由方程确定的函数的全微分。
解：原方程化为----（1）
（1）式两边全微分，得：
，整理，得：
3．设，由方程确定，且F为可微函数，求。
解：方程两边求全微分，并注意到一阶全微分形式的不变性，有：
即：
，整理，得：
，故：
4．设函数，其中具有二阶连续偏导数，求
解：（一）
（二）
，所以
5。求曲线在点的
2、切线。
解：方程组两边关于求导，得：
，----（1）
将点代入（1），得：
解之，有：
所以，切线向量为：
故曲线在点的切线为：
6． 计算其中是。
解：
7．计算
解：
交换积分次序，
三．试证明：点是函数的极值点。（10分）
分数
评卷人
解：
因为 所以点是函数的驻点。
。
记
所以，点是函数的极大值点。
分数
评卷人
四．设是由曲面和所围成的区域，试分别写出在直角坐标；柱坐标；球面坐标系下的三次积分（14分）
解：
向xoy平面上的投影区域为，。
（一）在直角坐标系下
3、 （二）在柱坐标下
（三）在球坐标下
五。选作题（每题10分，共40分）
1．在曲面上求点的坐标使此点处的切平面平行于坐标面。
解：设所求之点为
记，则曲面在处的切平面的法向量为
因为，所以，有：
，
解之，因此，所求之点。
2．设，其中为连续函数，是由曲面和所围成的区域，将I化为柱坐标及球坐标下的三次积分。
解：联立消去z，得向xoy平面上的投影区域为，。
（一）在柱坐标下
（二）在球坐标下
3．求
解：如图所示。宜采用球坐标计算之。
4．已知某一物体由及所围成且每一点处的面密度函数为，试求该物体的质量。
解：记：
由三重积分的物理意义，知：
。宜才采用直角坐标系下的“切片法”。
设为过点处的截面。
5．试证明在原点处连续且偏导数存在，但在原点处不可微。
证明：（一）因为
，
所以，，故函数在原点处连续。
（二）因为
所以，类似地，故函数在原点处可偏导。
（三）
下面考察，即考察
。
我们说，不存在，故在原点处不可微 。
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