圆)知识点习题及答案.doc

圆
一、本章知识框架

二、本章重点
1．圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2．判定一个点P是否在⊙O上．
设⊙O的半径为R，OP＝d，则有
d>r点P在⊙O 外；
d＝r点P在⊙O 上；
d<r点P在⊙O 内．
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．
弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．
4．圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．
垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
5．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．
(4)垂心：是三角形三边高线的交点．
6．切线的判定、性质：
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径．
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．
③经过切点作切线的垂线经过圆心．
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
7．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．
8．直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．
(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．
9．圆和圆的位置关系：
设的半径为R、r(R>r)，圆心距．
(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．
(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r
(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．
(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．
(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．
10．两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．
11．圆中有关计算：
圆的面积公式：，周长C＝2πR．
圆心角为n°、半径为R的弧长．
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．
一、知识点
1、与圆有关的角——圆心角、圆周角
（1）图中的圆心角 ；圆周角 ；
（2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB= 度；
（3）在上图中，若AB是圆O的直径，则∠AOB= 度；

3、点和圆的位置关系有三种：点在圆 ，点在圆 ，点在圆 ；
例：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，
（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆 （2）当d=7厘米时，有d r，点在圆
（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆
4、直线和圆的位置关系有三种：相 、相 、相 ．
例：已知圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的距离为d，
（1）当d=10厘米时，有d r，直线l与圆 （2）当d=12厘米时，有d r，直线l与圆
（3）当d=15厘米时，有d r，直线l与圆
5、圆与圆的位置关系：
例：已知⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为8厘米，圆心距为 d，
则：R+r= ， R－r= ；
（1）当d=14厘米时，因为d R+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：
（2）当d=2厘米时， 因为d R－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：
（3）当d=15厘米时，因为 ，则⊙O1和⊙O2位置关系是：
（4）当d=7厘米时， 因为 ，则⊙O1和⊙O2位置关系是：
（5）当d=1厘米时， 因为 ，则⊙O1和⊙O2位置关系是：
6、切线性质：
例：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO= 度
（2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点，
则 = ，∠ =∠ ；

7、圆中的有关计算
（1）弧长的计算公式：
例：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？
解：因为扇形的弧长=
所以== (答案保留π)
（2）扇形的面积：
例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？
（3）圆锥：
例：圆锥的母线长为5cm，半径为4cm，则圆锥的侧面积是多少？
解：∵圆锥的侧面展开图是 形，展开图的弧长等于
∴圆锥的侧面积=
8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的 交点；
三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的 交点；

基础练习一。
1．⊙O的半径为6，线段OP的长度为8，则点P与圆的位置关系是（ ）.
A.点在圆上 B.点在圆外 C.点在圆内 D.无法确定
2.如图，DE是⊙O直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则CD＝________，OC＝_________．

图2 图3
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝，则∠BCD＝ （  ）
A.B.C.D.
4.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（　　）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°

图4
5.如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（　　）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不能确定
6. 下列命题正确的是( )
　　A. 经过半径外端的直线是圆的切线
　　B. 直线和圆有公共点，则直线和圆相交
　　C. 过圆上一点有且只有一条圆的切线
　　D. 圆的切线垂直于半径
7. 如图，PA切⊙O于点A，若∠APO=30°，OP=2，则⊙O半径是( )

　　A. 　　　B. 1 　　　C. 2　　　 D. 4
8. 圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为（　　）
A．1
B．3
C．1或2
D．1或3
1. 答案：B 知识点:点与圆的位置关系 中考中占的分值 3
2. 答案：3，1 知识点:垂径定理及其推论 中考中占的分值 3
3. 答案：B 知识点:与圆有关的角 中考中占的分值 3
4. 答案：B 知识点: 圆心角、弧、弦、弦心距的关系
中考中占的分值 3
5. 答案：C 知识点:直线和圆的位置关系 中考中占的分值 3
6. 答案：C 知识点: 切线的判定方法 中考中占的分值 3
7. 答案：B 知识点: 圆的切线的性质 中考中占的分值 3
8. 答案：D 知识点:两圆的五种位置关系

圆的练习
一、选择题
　　1.下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（　　）
　　A.①② 　　　B. ②③ 　　　C. ①③ 　　　D. ①②③
　　2.下列命题中，正确的个数是（　　）
　　⑴直径是弦，但弦不一定是直径； 　⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；
　　⑶半径相等的两个圆是等圆 ；　　⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.
　　A.1个　　　 B.2个 　　　C.3个　　　 D.4个
　　3.如果两个圆心角相等，那么（　　）
　　A.这两个圆心角所对的弦相等 　　　　　　　B.这两个圆心角所对的弧相等
　　C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 　　　D.以上说法都不对
　　4.⊙O中，∠AOB=∠84°，则弦AB所对的圆周角的度数为（　　）
　　A.42° 　　　B.138°　　　 C.69°　　　 D.42°或138°
　　5.如图，已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠ACB=44°．则∠AOB的度数为（　　）
　　A．44°
　　B．46°
　　C．68°
　　D．88°
　　6.如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（　　）
　　A.CE=DE
　　B.
　　C.∠BAC=∠BAD
　　D.AC＞AD
　　7.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（　　）
　　A.4
　　B.6
　　C.7
　　D.8
　　8.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（　　）
　　A.140°
　　B.110°
　　C.120°
　　D.130°
　　9.如图，⊙O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（　　）
　　A.80°B. 50°C. 40°D. 20°
　　10.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（　　）
　　A．3≤OM≤5
　　B．4≤OM≤5
　　C．3＜OM＜5
　　D．4＜OM＜5
二、填空题
　　1.如图，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____.

　　2.如图，⊙O中，若∠AOB的度数为56°，∠ACB=_________.

　　3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BDC=25°，则∠BOC=________.

　　4.如图，等边ΔABC的三个顶点在⊙O上，BD是直径，则∠BDC=________，∠ACD=________.若CD=10cm，则⊙O的半径长为________.

　　5.如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD=______度．

　　6.（山西）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.

三、解答题
　　1.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由.

　　2.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上.(1)求证：=；
(2)若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？

　　3.如图，已知AB=AC，∠APC=60°
　　(1)求证：△ABC是等边三角形.
　　(2)若BC=4cm，求⊙O的面积

基础达标
一、选择题
　　1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 　　6.D 7.D 8.D 9.D 10.A

二、填空题
　　1.8 2.28° 3.50° 4.60°，30°，10cm 5.45 6.第二

三、解答题
　　1.AN=BM 理由：过点O作OE⊥CD于点E，
　　　则CE=DE，且CN∥OE∥DM.
　　　∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，
　　　∴AN=BM.

　　2.(1)连结OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON，
　　　　 ∵OA=OB，AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN，
　　　　 ∴∠AOM=∠BON，∴
　　　(2)
　　　　 提示：同上，在Rt△OCM中，，同理
　　　　 ，
　　　　 .

　　3.(1)证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
　　　　　　　 又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形.
　　　(2)解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
　　　　　　 在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
　　　　　　 设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=
　　　　　　 ⊙O的面积

圆的基础测试题
一、选择题：
1．有4个命题：
①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；
③圆中最大的弧是过圆心的弧；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．
其中真命题是…………………………………………………………………（ ）
（A）①③ （B）①③④ （C）①④ （D）①

2．如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O＝140°，则∠I为（ ）

（A）140° （B）125° （C）130° （D）110°

3．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为…………………………（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
4．如图，AB是⊙O的弦，点C是弦AB上一点，且BC︰CA＝2︰1，连结OC并延长
交⊙O于D，又DC＝2厘米，OC＝3厘米，则圆心O到AB的距离为…………（ ）
（A）厘米 （B）厘米 （C）2厘米 （D）3厘米

5．等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是………………………………（ ）
（A）6 （B）3 （C） （D）
6．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4厘米，PB＝3厘米，PC＝6厘米，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE＝2厘米，则PE的长为（ ）
（A）4厘米 （B）3厘米 （C）厘米 （D）厘米

7．一个扇形的弧长为20p 厘米，面积是240p 厘米2，则扇形的圆心角是……………（ ）
（A）120° （B）150° （C）210° （D）240°

8．两圆半径之比为2︰3，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为（ ）
（A）5厘米 （B）11厘米 （C）14厘米 （D）20厘米
9．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是……（ ）
（A）60° （B）90° （C）120° （D）180°
10．如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧与以AB
为直径的半圆围成的图形的面积为S2，则S1与S2的关系是………………………（ ）
（A）S1＞S2 （B）S1＜S2 （C）S1＝S2 （D）S1≥S2

二、填空题
11．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3，两圆相交于点A、B，且AB＝2，则
O1O2＝______．

12．已知四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_____．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点，且与BC切于点B，
与AC交于D，连结BD，若BC＝－1，则AC＝______．

14．用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝） 厘米2（不取近似值）．

15、已知两圆的半径分别为3和7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_____条．

16．如图，以AB为直径的⊙O与直线CD相切于点E，且AC⊥CD，BD⊥CD，
AC＝8 cm，BD＝2 cm，则四边形ACDB的面积为______．
17．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6 cm，PO＝10 cm，
则△PDE的周长是_____。

18．一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_______。

19．如图，已知PA与圆相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与圆相交于点D、
E，且PA＝PB＝BC，又PD＝4，DE＝21，则AB＝______．

20．如图，在□ABCD中，AB＝4，AD＝2，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为_____。

三、判断题
21．点A、B是半径为r的圆O上不同的两点，则有0＜AB≤2 r………………（ ）

22．等腰三角形顶角平分线所在直线必过其外接圆的圆心…………………………（ ）

23．直角梯形的四个顶点不在同一个圆上………………………………………（ ）

24．等边三角形的内心与外心重合………………………………………………（ ）

25．两圆没有公共点时，这两个圆外离……………………………………………（ ）

四、解答题与证明题
26．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，
BE与AC相交于点F，且CB＝CE，
求证：（1）BE∥DG；
（2）CB2－CF2＝BF·FE．

27．（8分）如图，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且MB︰MA＝1︰4，
求工件半径的长

28．（8分）已知：如图（1），⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点（C、D不与B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交⊙O1于点E，连BE．
（1）求证：BE是⊙O2的切线；
（2）如图（2），若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和⊙O2的位置关系（不要求证明）．

图1 图 2

29．（12分）如图，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BD＝2 BP．
求证：（1）PC＝3 PB；
（2）AC＝PC．

30．（14分）如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OA为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB垂线与AD的延长线交于点E，连结CD．若AC＝2，且AC、AD的长是关于x的方程x2－kx＋4＝0的两个根．
（1）证明AE切⊙O于点D；
（2）求线段EB的长；
（3）求tan ∠ADC的值．

九年级 圆的基础测试题 参考答案
1、 2、3、4、5、6、7、8、9、10、
11、2± 12、5 13、2 14、5250p厘米2 15、2 16、40 cm2 17、16 cm 18、4︰9 19、9 20、．
21、正确 22、正确 23、正确 24、正确 25、错误
26、（1）∵ CG为⊙O的切线，
∴ ∠EBC＝∠GCE．
∵ CB＝CE，∴ ．
∴ ∠EBC＝∠E．∴ ∠E＝∠GCE．∴ GC∥EB．
（2）∵ ∠EBC＝∠E＝∠A，∠FCBO为公共角，
∴ △CBF∽△CAB．
∴ CB2＝CF·CA＝CF·（CF＋AF）＝CF2＋CF·AF．
由相交弦定理，得 CF·FA＝BF·FE，
∴ CB2＝CF2＋BF·FE．即 CB2－CF2＝BF·FE．

27、
18

解：把OM向两方延长，分别交⊙O于C、D两点．设⊙O的半径为R．
从图中知，AB＝15 cm．
又 MB︰MA＝1︰4，
∴ MB＝×15＝3（cm），MA＝12 cm．
从图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8，

由相交弦定理，得 AM·BM＝CM·MD．
∴ 12×3＝（R＋8）（R－8）．
解此方程，得 R＝10或R＝－10（舍去）．
故工件的半径长为10 cm．

28、【证明】（1）连结AB，作⊙O2的直径BH，连结AH．
则 ∠ABH＋∠H＝90°，∠H＝∠ADB，∠EBA＝∠ECA．

∵ EC∥BD，
∴ ∠ADB＝∠ACE＝∠EBA．
∴ ∠EBA＋∠ABH＝90°．
即 ∠EBH＝90°．
∴ BE是⊙O2的切线．

（2）同理可知，BE仍是⊙O2的切线．

29证明：
（1）∵ BD是⊙O的切线，BPC是⊙O的割线，

∴ BD2＝BP·BC．
∵ BD＝2 BP，∴ 4 BD2＝BP·BC．
∴ 4 BP＝BC．∵ BC＝BP＋PC，
∴ 4 BP＝BP＋PC．∴ PC＝3 BP．
（2）连结DO．
∵ AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，
∴ ∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵ ∠B＝∠B，∴ △ODB∽△ACB．
∴ ＝＝＝．
∴ AC＝2 DO．∴ PC＝2 DO．∴ AC＝PC．

30、（1）【略证】连结OD．
∵ OA是半圆的直径，∴ ∠ADO＝90°．∴ AE切⊙O于点D．

（2）【略解】∵ AC、AD的长是关于x的方程x2－kx＋4＝0的两个根，且AC＝2，AC·AD＝2，
∴ AD＝4．∵ AD是⊙O的切线，ACB为割线，
∴ AD2＝AC·AB．又 AD＝2，AC＝2，∴ AB＝10．
则　BC＝8，OB＝4．∵ BE⊥AB，
∴ BE切⊙O于B．
又 AE切⊙O于点D，∴ ED＝EB．
在Rt△ABE中，设BE＝x，由勾股定理，得
（x＋2）2＝x2＋102．
解此方程，得 x＝4．
即BE的长为4．
（3）连结BD，有∠CDB＝90°．
∵ AD切⊙O于D，
∴ ∠ADC＝∠ABD，且tan ∠ADC＝tan ∠ABD＝．
在△ADC和△ABD中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABD，
∴ △ADC∽△ABD．
∴ ＝＝＝．
∴ tan ∠ADC＝．