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第六章 抽样和抽样分布
基本要求 了解随机抽样的作用和意义，了解简单随机样本应具有的条件，深刻理解总体、个体、样本、样本容量、统计量等基本概念，了解常用统计量的三个分布，牢记在正态总体下四个常用统计量的分布。
重点 正态总体下四个常用统计量的分布 难点 常用统计量的分布.

第一节 随机抽样

随机现象通过随机变量及其概率分布和数字特征来描述,实际中，要准确知道概率分布和数字特征是比较困难的.例如，胶卷的合格率，自然界某一物种的重量，某地人群的消费等。
研究的整体未知，但可以通过研究对象的一部分信息来推断研究对象的整体信息,即由已知推断未知、用具体推断抽象。
数理统计就是研究如何有效地收集数据,利用统计模型对数据进行分析，提取数据中的有用信息，形成统计结论，主要是对未知参数进行估计和假设检验。
抽样 从全部对象中按一定方式抽取其中的一部分对象。
抽样的目的就是对总体的统计规律进行推断。
一般情况下不能了解研究对象的全部情况，这就是抽样的必要性。抽样的必要性还体现在：
（1）产品质检是破坏性的；
（2)客观上对全部对象测、检根本不可能；
（3）全部测、检成本太高；
（4)虽然抽样会有误差，但误差可以容忍；
总体X 所考虑对象的全体。
总体是一个随机变量，具有概率分布.
个体 组成总体的每一个基本元素。
有时关心某个指标值，则该指标的全体集合就是总体。
子样(样本）从总体中随机抽取的个体,…，，记作(,…，），称为样本容量。
由于样本,…，是随机抽取的，因而它们都是随机变量。
样本值 在一次抽取后它们都是具体的数值,即对每个个体,…，进行一次观测，得到的观测值
总体和样本都具有二重性,在一次具体的观测或试验中，它是一些已知的数，即具有数的属性；由于试验或观测受到随机因素的影响，具体试验前并不知道样本的具体取值，即具有随机变量的属性.
简单随机样本,…， 独立的且与总体同分布的样本。即具有：
（1）独立性。即,…，相互独立，，……;
（2)代表性。即每一个都与总体同分布，…;…。
统计量 不含有未知参数的样本，…,的函数…。即不能用未知的东西作为推断的依据。
抽样后要对样本进行统计分析，即对样本进行加工整理，提取有用信息,这就需要统计量。
常用统计量
1、样本矩
阶原点矩 （），一阶原点矩称为样本均值。记作；阶中心矩 （)，二阶中心矩称为样本方差。记作,即
在后面的讨论中，样本方差常用
若,则，
容易推得
2、标准误、样本变异系数
样本均值的标准差。,总体方差未知时用样本方差代替，即。
样本变异系数
3、顺序统计量
设（,…,）为容量是的样本，是样本值，样本值大小可排成，相应得到（,…,)的大小顺序，其中，（,…,）， (,…，）
顺序统计量 （，…,) （）
4、极差
的分布函数
的分布函数

第二节 抽样分布

简单随机抽样是统计推断的基础，为了对总体的了解，要构造不同的统计量，从而对所构造统计量的概率分布有所了解，任何一个统计量都是样本的函数,用的观测值来对总体进行推断，必须知道的概率分布.
小样本问题：样本容量比较小时所研究的各种统计问题；
大样本问题：样本容量比较大时所研究的各种统计问题。

一、常用统计量分布
1、若，，则
若,…，独立，且，则
2、若，…，独立且均服从标准正态分布，则服从分布。
其中,分布的密度函数为，称其为自由度为的分布，记作
(即若，…，相互独立且均服从标准正态分布，则）
自由度：是个独立的随机变量的平方和,每一个均可自由变动，它们之间没有约束。
可加性：
，
3、若,，且X与Y相互独立，则，即自由度为的分布，密度函数为，，图形类似于正态密度函数。

注意不同的教材可能所给的表不同。
4、若X和Y相互独立,、，则,称为分布的自由度.
密度函数为
若,则
（注 ）

二、正态总体场合
性质1 若，样本，…,，则
(1)，，，；
(2)；
（3）；
(4）与独立。
注：，,
性质2若，…，,，…,相互独立，,…,服从，，…,服从，则

特别地，若,…，,，…，相互独立，且均服从，则

性质3（非正态总体场合（大样本）） 若，…,独立同分布，,，记…+,则
即只要足够大时，随机变量.一般情况只要时可作为大样本来处理。

例1 设总体，已知常数，,…，为其样本，，，则服从分布的统计量是（ ）
（A） （B） (C） （D）
例2设，…，为总体的一个样本, 和分别为样本均值和样本方差,则服从参数为的t分布的统计量是(    )
（A）  (B）  （C)  (D)