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极限四则运算法则

由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若，则存在，且。
证明： 只证，过程为，对，当 时，有，对此，，当时，有，取，当时，有

所以。
其它情况类似可证。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理2：若，则存在，且
。
证明：因为，
（均为无穷小），记
， 为无穷小， 。
推论1：（为常数）。
推论2：（为正整数）。

定理3：设，则。
证明：设（为无穷小），考虑差：

其分子为无穷小，分母，我们不难证明有界（详细过程见书上）为无穷小，记为，所以， 。
注：以上定理对数列亦成立。

定理4：如果，且，则。

【例1】。
【例2】。
推论1：设为一多项式，当
。
推论2：设均为多项式，且，则。

【例3】。
【例4】（因为）。

注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。
【例5】求。
解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，
所以 。
【例6】求。
解：当全没有极限，故不能直接用定理3，但当时，
，所以
。
【例7】求。
解：当时，，故不能直接用定理5，又，考虑：，
。
【例8】若，求a,b的值。
当时，，且

【例9】设为自然数，则
。
证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：

【例10】求。
解：当时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形：
原式。
【例11】证明为的整数部分。
证明：先考虑，因为是有界函数，且当时，，所以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得
。