极限四则运算法则.doc

极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若，则存在，且。证明： 只证，过程为，对，当 时，有，对此，当时，有，取，当时，有 所以。 其它情况类似可证。注：本定理可推广到有限个函数的情形。 定理2：若，则存在，且。证明：因为，（均为无穷小），记， 为无穷小， 。推论1：（为常数）。推论2：（为正整数）。定理3：设，则。证明：设（为无穷小），考虑差： 其分子为无穷小，分母，我们不难证明有界（详细过程见书上）为无穷小，记为，所以， 。注：以上定理对数列亦成立。定理4：如果，且，则。【例1】。【例2】。推论1：设为一多项式，当。推论2：设均为多项式，且，则。【例3】。【例4】（因为）。注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。【例5】求。解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，所以 。【例6】求。解：当全没有极限，故不能直接用定理3，但当时，所以。【例7】求。解：当时，故不能直接用定理5，又，考虑：， 。【例8】若，求a,b的值。当时，且【例9】设为自然数，则 。证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用1.6定理5，先变形： 【例10】求。解：当时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形： 原式。【例11】证明为的整数部分。证明：先考虑，因为是有界函数，且当时，所以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得。