分层抽样与系统抽样.doc

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分层抽样与系统抽样
［读教材·填要点］
1．分层抽样的概念
将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样,有时也称为类型抽样．
2．系统抽样的概念
系统抽样是将总体的个体进行编号，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔(称为抽样距）抽取其他样本．
系统抽样又叫等距抽样或机械抽样．
[小问题·大思维］
1．分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？
提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理，更具有代表性，所以将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取一定数量的个体．
2．系统抽样的第二步中，当不是整数时,从总体中剔除一些个体采用的方法是什么？影响系统抽样的公平性吗？
提示：剔除一些个体可以用简单随机抽样抽取，不影响系统抽样的公平性．

[例1］　某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3∶5∶2。若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗?
[自主解答］　因为总体由差异明显的三部分（青、中、老年）组成,所以采用分层抽样的方法更合理．
因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2，所以应分别抽取：
青年职工400×＝120（人);中年职工400×＝200(人);
老年职工400×＝80(人)．
由样本容量为400，总体容量为3 200可知，抽样比是＝,所以每人被抽到的可能性相同，均为。
［悟一法]
分层抽样的步骤:
（1）根据已经掌握的信息,将总体分成互不重叠的层；
(2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比 k＝；
（3)确定第i层应该抽取的个体数目ni＝Ni×k(Ni为第i层所包含的个体数）,使得各ni之和为n；
（4)在各层中，按步骤（3)中确定的数目在各层中随机地抽取个体，合在一起得到容量为n的样本．
1．某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本,按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．
解：第一步:样本容量与总体容量的比为＝；第二步：确定各种商店要抽取的数目：大型商店：20×＝2(家），中型商店：40×＝4（家）,小型商店:150×＝15（家）；第三步：采用简单随机抽样在各层中分别抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，综合每层抽样即得样本.

[例2]　相关部门对某食品厂生产的303盒月饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样法完成对此样本的抽取．
[自主解答］　第一步　将303盒月饼用随机的方式编号．
第二步　从总体中剔除3盒月饼，将剩下的300盒月饼重新编号（分别为000，001，…，299),并分成10段．
第三步　在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码l。
第四步　将编号为l，l＋30，l＋2×30，…,l＋9×30的个体取出，组成样本．
［悟一法]
1．当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝;当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号(s＋k）,再加k得到第3个个体编号(s＋2k)，依次进行下去,直到获得整个样本．
2．当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体能被样本容量整除,然后再按系统抽样方法抽取样本．
2．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．
解析：(1）对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000.
（2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．
（3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56。
（4）以56作为起始数，然后依次抽取156,256, 356，…，14 956,这样就得到容量为150的一个样本。

［例3]　选择恰当的抽样方法，并写出抽样过程．
（1）有30个篮球，其中，甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个,现抽取10个作样品；
（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个,现取出3个作样品；
（3）有甲厂生产的300个篮球，抽取10个作样品;
(4)有甲厂生产的300个篮球，从中抽取30个作样品．
［自主解答]　(1)因总体是由差异明显的几部分构成，可采用分层抽样的方法抽取．
第一步　确定抽取个数．因为＝，所以甲厂生产的应抽取21×＝7（个)，乙厂生产的应抽取9×＝3（个);
第二步　用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．
（2）总体容量较小,用抽签法．
第一步　将30个篮球编号，编号为00，01，…,29；
第二步　将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签；
第三步　把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；
第四步　从袋子中逐个抽取3个号签,并记录上面的号码；
第五步　找出与所得号码对应的篮球．
(3）总体容量较大,样本容量较小，适宜用随机数法．
第一步　将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300；
第二步　在随机数表中随机的确定一个数作为开始,如第3行第5列的数“3”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读;
第三步　从数“3”开始向右读，每次读三位,凡不在001～300中的数跳过去不读,遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到241，242，232,283，039，101，158,272，266，166这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．
（4)总体容量较大，样本容量也较大，适宜用系统抽样法．
第一步　将300个篮球用随机方式编号，编号为000，001,002，…，299，并分成30段；
第二步　在第一段000,001,002，…,009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个（如002）作为起始号码；
第三步　将编号为002,012，022，…，292的个体抽出,组成样本．
1．三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．
2．三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．
3．某社区有700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户,低收入家庭75户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本,记作①；某中学高二年级有12名篮球运动员,要从中选出3人调查投篮命中率情况,记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③。为完成上述三项抽样，则应采取的抽样方法是(　　)
A．①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B．①分层抽样,②简单随机抽样,③系统抽样 C．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 D．①分层抽样，②系统抽样,③简单随机抽样
解析：对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关,所以应采用分层抽样；对于②,总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应采用简单随机抽样；对于③，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显,样本中个体数也较多，应采用系统抽样．答案:B
一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定业务人员、管理人员、后勤服务人员各抽取的人数是多少？
[解］　法一：三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x,则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取的个体数分别为14，2和4.
法二：由160÷20＝8，所以可在各层人员中按8∶1的比例抽取，又因为112÷8＝14,16÷8＝2,32÷8＝4，所以业务人员14人，管理人员2人，后勤服务人员4人．
法三：因为共有职工160人,所抽取的人数为20，所以样本容量与总体容量之比为＝，
则业务人员应抽取112×＝14人，管理人员应抽16×＝2人，后勤服务人员应抽32×＝4人．
课堂训练：
1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是(　　)
A．都是从总体中逐个抽取 B．将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取
C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同 D．将总体分成几层，分层进行抽取
解析:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的．答案：C
2．某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额．采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号,然后按顺序往后将65号, 115号，165号,…抽出，发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（　　)
A．抽签法　　　 B．随机数法 C．系统抽样法 D．其他的抽样方法
解析:上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张．从第一组中抽取15号,以后各组抽取15＋50n（n∈N＊)号，符合系统抽样的特点．答案：C
3．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
解析:样本由差异明显的几部分组成,抽取的比例由每层个体占总体的比例确定，即为分层抽样法．答案:D
4．将一个总体分为A、B、C三层,其个体数之比为5∶3∶2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取的个体数为________．
解析:×100＝20.答案：20
5．将参加数学夏令营的100名同学编号为001，002，…，100。现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046至078号中，被抽中的人数为________．
解析:抽样距为4，第一个号码为004，故001~100中是4的整数倍的数被抽出,在046至078号中有048,052,056，060,064，068,072，076,共8个．答案：8
6．某中学有教职工300人,分为教学人员、管理人员、后勤服务人员三部分，其组成比例为8∶1∶1。现用分层抽样从中抽取容量为20的样本，请写出抽样的过程．
解:抽样过程如下：(1）确定抽样比＝；(2）确定各层抽样数目为＝16，
＝2，＝2；（3）用系统抽样法从教学人员中抽取16人，用简单随机抽样法分别从管理人员和后勤服务人员中各抽取2人;(4）将上述各层所抽的个体合在一起即为所要抽取的样本．
形成性测试：
一、选择题
1．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①;从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②。那么（　　）
A．①是系统抽样，②是简单随机抽样 B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样
C．①是简单随机抽样，②是系统抽样 D．①是系统抽样，②是系统抽样
解析：对于①,因为每隔30分钟抽取一袋,是等间距抽样，故①为系统抽样；对于②，总体数量少，样本容量也小，故②为简单随机抽样．答案：A
2．(2012·四川高考)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21，25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　)
A．101 B．808 C．1 212 D．2 012
解析：依题意得知，甲社区驾驶员的人数占总人数的＝，因此有＝，解得N＝808.答案：B
3．一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（　　）
A．12，24,15，9 B．9,12，12，7
C．8，15,12，5 D．8，16，10,6
解析：由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3,所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×＝8，40×＝16，40×＝10,40×＝6。答案:D
4．下列抽样中不是系统抽样的是(　　)
A．从标有1～15号的15个球中，任选3个作为样本．将15个球按从小号到大号排序，随机选i0号作为起始号码，以后选i0＋5,i0＋10（超过15则从1再数起）号入样
B．工厂生产的产品，在用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽取一件产品进行检验
C．进行某一市场调查时,规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止
D．在报告厅对与会听众进行调查，通知每排（每排人数相等)座位号为14的听众留下来座谈
解析：分析各选项中抽样的特点，与系统抽样的概念、特点进行比较．A、D显然是系统抽样．B项中,传送带的速度是恒定的，实际上是将某一段时间内生产的产品分成一组，且可以认为这些产品已经排好，又总在某一位置抽取样品,这正好符合系统抽样的概念．选项C因事先不知道总体的个数，而且抽样时不能保证每个个体等可能入样,因此它不是系统抽样．答案：C
5．某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人．为了了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为20的样本．以下的抽样方法中,依次为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是(　　)
方法1：将140人从1～140编号,然后制作出编号1～140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里均匀搅拌，然后从中抽取20个号签，编号与号签相同的20个人被选出；
方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1～7编号，在第一组采用抽签法抽出k号(1≤k≤7），其余各组k号也被抽出，20个人被选出；
方法3：按20∶140＝1∶7的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽出3人．从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数法，可抽到20人．
A．方法2,方法1，方法3 B．方法2，方法3，方法1
C．方法1，方法2,方法3 D．方法3，方法1,方法2
解析:结合简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义判断．答案：C
二、填空题
6．(2012·浙江高考）某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×＝160.答案：160
7．（2013·日照高一检测)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍,高二学生数比高一学生数多300人,现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取高一学生数为________．
解析：若设高三学生数为x，则高一学生数为,高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600。故高一学生数为800,因此应抽取高一学生数为＝8.答案：8
8．（2013·中山高一检测）一个总体中有100个个体，随机编号为0、1、2、…、99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1、2、3、…、10。现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
解析:第k组的号码为（k－1）10，（k－1)10＋1，…，(k－1)·10＋9，当m＝6、k＝7时，第k组抽取的号码m＋k的个位数字为3，所以（7－1）×10＋3＝63.答案：63
三、解答题
9．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7,从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题?应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？
解:交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论,只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．
改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号,再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．
如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.
10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47。5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2）游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解：（1）设登山组人数为x,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b,c，则有＝47。5％，＝10%.解得b＝50％，c＝10%。故a＝1－50％－10%＝40％.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50％、10％。（2）游泳组中，抽取的青年人人数为200××40％＝60;抽取的中年人人数为200××50％＝75;
抽取的老年人人数为200××10％＝15.