分层抽样与系统抽样.doc

个人收集整理 勿做商业用途分层抽样与系统抽样读教材填要点1分层抽样的概念将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本这种抽样方法通常叫作分层抽样,有时也称为类型抽样2系统抽样的概念系统抽样是将总体的个体进行编号，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔(称为抽样距）抽取其他样本系统抽样又叫等距抽样或机械抽样小问题大思维1分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理，更具有代表性，所以将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取一定数量的个体2系统抽样的第二步中，当不是整数时,从总体中剔除一些个体采用的方法是什么？影响系统抽样的公平性吗？提示：剔除一些个体可以用简单随机抽样抽取，不影响系统抽样的公平性例1某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为352。若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗?自主解答因为总体由差异明显的三部分（青、中、老年）组成,所以采用分层抽样的方法更合理因为青、中、老年职工的比例是352，所以应分别抽取：青年职工400120（人);中年职工400200(人);老年职工40080(人)由样本容量为400，总体容量为3 200可知，抽样比是,所以每人被抽到的可能性相同，均为。悟一法分层抽样的步骤:（1）根据已经掌握的信息,将总体分成互不重叠的层；(2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比 k；（3)确定第i层应该抽取的个体数目niNik(Ni为第i层所包含的个体数）,使得各ni之和为n；（4)在各层中，按步骤（3)中确定的数目在各层中随机地抽取个体，合在一起得到容量为n的样本1某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本,按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程解：第一步:样本容量与总体容量的比为；第二步：确定各种商店要抽取的数目：大型商店：202(家），中型商店：404（家）,小型商店:15015（家）；第三步：采用简单随机抽样在各层中分别抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，综合每层抽样即得样本.例2相关部门对某食品厂生产的303盒月饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样法完成对此样本的抽取自主解答第一步将303盒月饼用随机的方式编号第二步从总体中剔除3盒月饼，将剩下的300盒月饼重新编号（分别为000，001，299),并分成10段第三步在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码l。第四步将编号为l，l30，l230，,l930的个体取出，组成样本悟一法1当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k;当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号(sk）,再加k得到第3个个体编号(s2k)，依次进行下去,直到获得整个样本2当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体能被样本容量整除,然后再按系统抽样方法抽取样本2为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本请用系统抽样写出抽取过程解析：(1）对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，15 000.（2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体（3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56。（4）以56作为起始数，然后依次抽取156,256, 356，14 956,这样就得到容量为150的一个样本。例3选择恰当的抽样方法，并写出抽样过程（1）有30个篮球，其中，甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个,现抽取10个作样品；（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个,现取出3个作样品；（3）有甲厂生产的300个篮球，抽取10个作样品;(4)有甲厂生产的300个篮球，从中抽取30个作样品自主解答(1)因总体是由差异明显的几部分构成，可采用分层抽样的方法抽取第一步确定抽取个数因为，所以甲厂生产的应抽取217（个)，乙厂生产的应抽取93（个);第二步用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个这些篮球便组成了我们要抽取的样本（2）总体容量较小,用抽签法第一步将30个篮球编号，编号为00，01，,29；第二步将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签；第三步把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；第四步从袋子中逐个抽取3个号签,并记录上面的号码；第五步找出与所得号码对应的篮球(3）总体容量较大,样本容量较小，适宜用随机数法第一步将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，300；第二步在随机数表中随机的确定一个数作为开始,如第3行第5列的数“3”开始任选一个方向作为读数方向，比如向右读;第三步从数“3”开始向右读，每次读三位,凡不在001300中的数跳过去不读,遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到241，242，232,283，039，101，158,272，266，166这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码（4)总体容量较大，样本容量也较大，适宜用系统抽样法第一步将300个篮球用随机方式编号，编号为000，001,002，299，并分成30段；第二步在第一段000,001,002，,009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个（如002）作为起始号码；第三步将编号为002,012，022，292的个体抽出,组成样本1三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系在应用时要根据实际情况选取合适的方法2三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的3某社区有700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户,低收入家庭75户为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本,记作；某中学高二年级有12名篮球运动员,要从中选出3人调查投篮命中率情况,记作；从某厂生产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作。为完成上述三项抽样，则应采取的抽样方法是()A简单随机抽样,系统抽样,分层抽样 B分层抽样,简单随机抽样,系统抽样 C简单随机抽样，分层抽样，系统抽样 D分层抽样，系统抽样,简单随机抽样解析：对于，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关,所以应采用分层抽样；对于,总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应采用简单随机抽样；对于，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显,样本中个体数也较多，应采用系统抽样答案:B一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定业务人员、管理人员、后勤服务人员各抽取的人数是多少？解法一：三部分所含个体数之比为1121632712，设三部分各抽个体数为7x，x,2x,则由7xx2x20得x2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取的个体数分别为14，2和4.法二：由160208，所以可在各层人员中按81的比例抽取，又因为112814,1682,3284，所以业务人员14人，管理人员2人，后勤服务人员4人法三：因为共有职工160人,所抽取的人数为20，所以样本容量与总体容量之比为，则业务人员应抽取11214人，管理人员应抽162人，后勤服务人员应抽324人课堂训练：1简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是()A都是从总体中逐个抽取 B将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取C抽样过程中每个个体被抽取的机会相同 D将总体分成几层，分层进行抽取解析:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的答案：C2某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号,然后按顺序往后将65号, 115号，165号,抽出，发票上的销售额组成一个调查样本这种抽取样本的方法是（)A抽签法B随机数法 C系统抽样法 D其他的抽样方法解析:上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张从第一组中抽取15号,以后各组抽取1550n（nN)号，符合系统抽样的特点答案：C3某校高三年级有男生500人，女生400人为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是()A简单随机抽样法 B抽签法 C随机数表法 D分层抽样法解析:样本由差异明显的几部分组成,抽取的比例由每层个体占总体的比例确定，即为分层抽样法答案:D4将一个总体分为A、B、C三层,其个体数之比为532，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取的个体数为_解析:10020.答案：205将参加数学夏令营的100名同学编号为001，002，100。现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046至078号中，被抽中的人数为_解析:抽样距为4，第一个号码为004，故001100中是4的整数倍的数被抽出,在046至078号中有048,052,056，060,064，068,072，076,共8个答案：86某中学有教职工300人,分为教学人员、管理人员、后勤服务人员三部分，其组成比例为811。现用分层抽样从中抽取容量为20的样本，请写出抽样的过程解:抽样过程如下：(1）确定抽样比；(2）确定各层抽样数目为16，2，2；（3）用系统抽样法从教学人员中抽取16人，用简单随机抽样法分别从管理人员和后勤服务人员中各抽取2人;(4）将上述各层所抽的个体合在一起即为所要抽取的样本形成性测试：一、选择题1某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为;从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为。那么（）A是系统抽样，是简单随机抽样 B是简单随机抽样，是简单随机抽样C是简单随机抽样，是系统抽样 D是系统抽样，是系统抽样解析：对于,因为每隔30分钟抽取一袋,是等间距抽样，故为系统抽样；对于，总体数量少，样本容量也小，故为简单随机抽样答案：A2(2012四川高考)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21，25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为（)A101 B808 C1 212 D2 012解析：依题意得知，甲社区驾驶员的人数占总人数的，因此有，解得N808.答案：B3一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A12，24,15，9 B9,12，12，7C8，15,12，5 D8，16，10,6解析：由题意，各种职称的人数比为1603202001204853,所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为408，4016，4010,406。答案:D4下列抽样中不是系统抽样的是()A从标有115号的15个球中，任选3个作为样本将15个球按从小号到大号排序，随机选i0号作为起始号码，以后选i05,i010（超过15则从1再数起）号入样B工厂生产的产品，在用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽取一件产品进行检验C进行某一市场调查时,规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止D在报告厅对与会听众进行调查，通知每排（每排人数相等)座位号为14的听众留下来座谈解析：分析各选项中抽样的特点，与系统抽样的概念、特点进行比较A、D显然是系统抽样B项中,传送带的速度是恒定的，实际上是将某一段时间内生产的产品分成一组，且可以认为这些产品已经排好，又总在某一位置抽取样品,这正好符合系统抽样的概念选项C因事先不知道总体的个数，而且抽样时不能保证每个个体等可能入样,因此它不是系统抽样答案：C5某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人为了了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为20的样本以下的抽样方法中,依次为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是()方法1：将140人从1140编号,然后制作出编号1140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里均匀搅拌，然后从中抽取20个号签，编号与号签相同的20个人被选出；方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按17编号，在第一组采用抽签法抽出k号(1k7），其余各组k号也被抽出，20个人被选出；方法3：按2014017的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽出3人从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数法，可抽到20人A方法2,方法1，方法3 B方法2，方法3，方法1C方法1，方法2,方法3 D方法3，方法1,方法2解析:结合简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义判断答案：C二、填空题6(2012浙江高考）某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为_解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560160.答案：1607（2013日照高一检测)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍,高二学生数比高一学生数多300人,现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取高一学生数为_解析：若设高三学生数为x，则高一学生数为,高二学生数为300，所以有x3003 500，解得x1 600。故高一学生数为800,因此应抽取高一学生数为8.答案：88（2013中山高一检测）一个总体中有100个个体，随机编号为0、1、2、99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1、2、3、10。现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与mk的个位数字相同若m6，则在第7组中抽取的号码是_解析:第k组的号码为（k1）10，（k1)101，(k1)109，当m6、k7时，第k组抽取的号码mk的个位数字为3，所以（71）10363.答案：63三、解答题9为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7,从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告你认为交警这样的抽样方法有什么问题?应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解:交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论,只能代表星期日的交通流量由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号,再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.10某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47。5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本试求：(1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2）游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数解：（1）设登山组人数为x,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b,c，则有47。5，10%.解得b50，c10%。故a15010%40.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50、10。（2）游泳组中，抽取的青年人人数为2004060;抽取的中年人人数为2005075;抽取的老年人人数为2001015.