空间中两条线段之间的最短距离.pdf

1 空间中空间中两两条线段条线段之间之间的最短距离的最短距离 设空间中有两条线段 AB 和 CD，设 A 点的坐标为),(111zyx，B 点的坐标为),(222zyx，C 点的坐标为),(333zyx，D 点的坐标为),(444zyx。设 P 是直线 AB 上的一点，P 点的坐标),(ZYX 可以表示为+=+=+=)()()(121121121zzszZyysyYxxsxX。当参数 10 s 时，P 是线段 AB 上的点；当参数 0s 时，P 是 AB 延长线上的点。设 Q 是直线 CD 上的一点，Q 点的坐标),(WVU 可以表示为+=+=+=)()()(343343343zztzWyytyVxxtxU。当参数 10 t 时，Q 是线段 CD 上的点；当参数 0t 时，Q 是 CD 延长线上的点。P,Q 两点之间的距离为 222)()()(WZVYUXPQ+=。距离的平方为),(tsf=2PQ222)()()(WZVYUX+=2341231)()()(xxtxxsxx+=2341231)()()(yytyysyy+2341231)()()(zztzzszz+。要求直线 AB，CD 之间的最短距离，也就是要求),(tsf 的最小值。对),(tsf 分别求关于 s，t 的偏导数，并令偏导数为 0：=0),(0),(ttsfstsf 2 展开并整理后，得到下列方程组：+=+=+)()()()()()()()()()()()()()()()()()(343134313431234234234341234123412312131213121341234123412212212212zzzzyyyyxxxxtzzyyxxszzzzyyyyxxxxzzzzyyyyxxxxtzzzzyyyyxxxxszzyyxx 如果从这个方程组求出的参数 s，t 的值满足 10 s，10 t，说明 P 点落在线段 AB 上，Q 点落在线段 CD 上，这时 PQ 的长度 222)()()(WZVYUXPQ+=就是线段 AB 与 CD 的最短距离。如果从方程组求出的参数 s，t 的值不满足 10 s，10 t，说明不可能在线段 AB 内部找到一点 P，在线段 CD 内部找到一点 Q，使得 PQ 的长度就是线段 AB 与 CD 的最短距离。这时，可以分别求 A 点到线段 CD 的最短距离、B 点到线段 CD 的最短距离、C 点到线段 AB 的最短距离、D 点到线段 AB 的最短距离。（求法参看数学中国论坛上的帖子：“空间中一个点到空间中一条线段的最短距离”。）然后，比较这 4 个距离的大小，其中最小的一个，就是线段 AB 到 CD 的最短距离。下面看一个例子。下面看一个例子。设 A 点的坐标为),(111zyx)0,0,4(=，B 点的坐标为),(222zyx)0,3,0(=，C 点的坐标为),(333zyx)1,3,4(=，D 点的坐标为),(444zyx)4,3,4(=。方程组+=+=+)()()()()()()()()()()()()()()()()()(343134313431234234234341234123412312131213121341234123412212212212zzzzyyyyxxxxtzzyyxxszzzzyyyyxxxxzzzzyyyyxxxxtzzzzyyyyxxxxszzyyxx 即+=+=+)5()1(0)3(00)5(00)2(0030)4()1(0)3()3(04)2(0030)4(03)4(222222tsts 即=525925ts，解得 =51259ts。3 因为 12590=s，1510=t，可见，P 点落在线段 AB 上，Q 点落在线段 CD 上，这时 PQ 的长度就是线段 AB 与 CD 之间的最短距离。P 点的坐标),(ZYX 为=+=+=+=+=+=+=0)00(2590)(2527)03(2590)(2564)40(2594)(121121121zzszZyysyYxxsxX。Q 点的坐标),(WVU 为=+=+=+=+=+=+=0)14(511)(3)33(513)(4)44(514)(343343343zztzWyytyVxxtxU。线段 AB 与 CD 之间的最短距离，即 PQ 的长度为 222)()()(WZVYUXPQ+=222)00()32527()42564(+=512256025483622=+=。