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第一章 遇角平分线常用辅助线
【添法透析】
角相等时,添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：
一．点在平分线，可作垂两边
二．角边相等，可造全等
三．平分加平行，可得等腰形
四． 平分加垂线 ,补得等腰现

一．点在平分线，可作垂两边
角平分线性质定理：角平分线上点到角两边距离相等．
E
A
P
O
B
F
如图，若OP是∠AOB角平分线,PE⊥OA,可过P点作PF⊥OB,
则可用结论有：（1）PF=PE;
（2)证得△OPF≌△OPE;
(3）证得OF=OE．

例1．已知如图，在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB，CD=1.5,BD=2.5，求AC．
B
E
D
C
A
邦德点拨：过点D作DE⊥AB，则DE=CD，AE=AC,
再利用方程思想、勾股定理解AC．

练习1:已知如图，P为△ABC两外角∠DBC和∠ECB平分线的交点，求证:AP平分∠BAC．
A
B
C
E
D
P

二．角边相等，可造全等
在角的两边取相等线段，可得全等三角形．
A
E
P
F
B
O
如图,若OP为∠AOB角平分线，可在OB上取OF=OE,
则可用结论有：（1)证得△OPF≌△OPE;
(2）证得PF=PE，OF=OE；
(3）证得∠PFO=∠PEO,∠OPF=∠OPE．

例2．已知如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD,点E在AD上，求证：BC=AB+CD．
E
D
A
F
C
B
邦德点拨：在BC上截取BF=BA，问题转化为证CF=CD．

A
P
D
C
B
练习2．已知如图,AD是△ABC的内角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，，试比较PB-PC与AC-AB的大小，并说明理由．

三．平分加平行，可得等腰形
1．过角平分线上一点,作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相似；
E
P
O
B
A
如图，若OP是∠AOB平分线，过P点作OB平行线交OA于E点，
可用结论:证得△EOP是等腰三角形．

A
D
C
B
E
如图，若AD是∠BAC平分线,过C点作AB平行线交直线AD于E点，
可用结论有：（1）证得△EOP是等腰三角形；
（2）证得△CDE∽△ADB；
(3)．

2．过角的一边上一点，作角平分线的平行线，可构造得等腰三角形．
A
F
E
P
O
B
如图,若OP为∠AOB平分线，过直线OB上一点E，作OP平行线交OA于点F,
则可用结论有：(1）证得△OEF是等腰三角形；
（2）证得∠E=∠AOB．

A
E
F
B
C
D
G
例3．已知如图，在△ABC中（ABAC），D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC，求证：AE平分∠BAC．
邦德点拨：过C点作AB平行线交AE延长线于点G,
则∠G=∠BAE,接下只需证∠G=∠CAE．

F
A
E
B
C
G
D
练习3．已知如图，过△ABC的边BC的中点D作∠BAC的平分线AG的平行线，交AB、BC及CA的延长线于点E、D、F．求证：BE=CF．

四．平分加垂线 补得等腰现
F
E
A
B
O
P
从角的一边上一点作角平分线的垂线，与另一边相交，可得等腰三角形．
如图，若OP是∠AOB平分线，EP⊥OP，则可延长EP交OB于F点，
可用结论有:（1)证得△OEF是等腰三角形；
（2）P是EF中点．

A
E
D
F
G
C
B
例4．如图,ΔABC中，过点A分别作∠ABC， ∠ACB的外角的平分线的垂线AD、AE,D、E为垂足．求证：
（1） ED//BC；
(2）ED=（AB+AC+BC）．
邦德点拨：延长AD、AE交直线BC于F、G,
可证得△BAF、△CAG为等腰三角形．

A
D
E
C
B
练习4．已知如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE．

【homework】
A
D
F
E
C
B
1．已知如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB,DE//AB，FD//AC．如果BC=6，求△DEF周长．

2．已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，BC=CD．求证：AC平分∠BAD．
B
A
D
C

3．已知如图，∠BAD=∠CAD，AB〉AC，CD⊥AD于点D，H是BC中点，求证：DH=（AB-AC)．
A
B
H
D
C

A
E
C
M
B
D
4．如图，中，AM平分,BD垂直于AM，交AM延长线于点D，DE∥CA交AB于E．求证：AE=BE．

A
E
B
D
C
5．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°,求证：AC=AE+CD．

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