4.2平抛运动.doc

第2单元平_抛_运_动

平抛运动及其规律

[想一想]
如图4－2－1所示，甲、乙、丙三小球分别位于如图所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，P点在丙球正下方。某时刻，甲、乙、丙同时开始运动，甲以水平速度v0平抛，乙以水平速度v0沿水平面向右做匀速直线运动，丙做自由落体运动，若甲、乙、丙三球同时到达P点，试说明甲球所做的平抛运动在水平方向和竖直方向的分运动各是什么运动？

图4－2－1
提示：若甲、乙、丙三球同时到达P点，则说明甲在水平方向的运动与乙的运动相同，为匀速直线运动，甲在竖直方向的运动与丙的运动相同，为自由落体运动。
[记一记]
1．特点
(1)运动特点：初速度方向水平。
(2)受力特点：只受重力作用。
2．性质
平抛运动是加速度恒为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
3．研究方法
用运动的合成与分解方法研究平抛运动。
水平方向：匀速直线运动
竖直方向：自由落体运动。
4．运动规律(如下表所示)
水平方向
vx＝v0　x＝v0t
竖直方向
vy＝gt，y＝gt2
合速度
大小
v＝＝
方向
与水平方向的夹角tan α＝＝
合位移
大小
s＝
方向
与水平方向的夹角tan θ＝＝
轨迹方程
y＝x2

[试一试]
1．从高度为h处以水平速度v0抛出一个物体，要使该物体的落地速度与水平地面的夹角较大，则h与v0的取值应为下列四组中的哪一组(　　)
A．h＝30 m，v0＝10 m/s
B．h＝30 m，v0＝30 m/s
C．h＝50 m，v0＝30 m/s
D．h＝50 m，v0＝10 m/s
解析：选D　要使落地速度与水平方向夹角较大，应使tan θ＝＝中θ较大，应使自由下落的高度h较大，同时使水平速度v0较小，故选项D正确。

斜抛运动
[记一记]
1．概念
以一定的初速度将物体沿与水平方向成一定角度斜向抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动。
2．性质
斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．基本规律
以斜向上抛为例说明，如图4－2－2所示。

图4－2－2
(1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0。
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg。
因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
[试一试]
2．物体以速度v0抛出做斜抛运动，则(　　)
A．在任何相等的时间内速度的变化量是相同的
B．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C．射高和射程都取决于v0的大小
D．v0很大，射高和射程可能很小
解析：选AD　斜抛运动整个过程中加速度恒为g，为匀变速运动，故相等时间内速度变化量一定相同，A正确；由斜抛运动的两分运动特点知B选项错误；射高与射程不仅取决于v0的大小，还取决于抛出速度v0与水平方向的夹角大小，故C选项错误，D选项正确。

平抛运动规律的应用

1.飞行时间
t＝ ，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2．水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
3．落地速度

图4－2－3
v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图4－2－3所示。
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图4－2－4甲中A点和B点所示。

图4－2－4
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示。
[例1]　(2012·新课标全国卷)如图4－2－5，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则(　　)

图4－2－5
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
[审题指导]
(1)明确平抛运动的物体运动时间的决定因素。
(2)水平位移与初速度和下落时间的决定关系。
[尝试解题]　
抛体运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动，由h＝gt2可知，飞行时间由高度决定，hb＝hc>ha，故b与c的飞行时间相同，均大于a的飞行时间，A错，B对；由图可知a、b的水平位移满足xa>xb，由于飞行时间tb>ta，根据x＝v0t得v0a>v0b，C错；同理可得v0b>v0c，D对。
[答案]　BD

(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度，也不用分解加速度。
(2)分析平抛运动时，要充分利用平抛运动中的两个矢量三角形找各量的关系。

类平抛运动问题分析

1.类平抛运动的受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
3．类平抛运动问题的求解思路
→→
[例2]　在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图4－2－6所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：

图4－2－6
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2) 质点经过P点时的速度大小。
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点
获取信息
以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动
质点经过O点后所做运动的初速度
沿y轴正方向恒力F＝15 N
沿y轴做初速度为零的匀加速直线运动

第二步：找突破口
要求质点从O点到P点的时间可分析沿＋x方向和＋y方向的分运动位移，利用tan α＝列方程即可。
[尝试解题]　
(1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动。
由牛顿第二定律得：
a＝＝ m/s2＝5 m/s2。
设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，
则xP＝v0t，yP＝at2
又tan α＝
联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m。
(2)质点经过P点时沿y轴正方向的速度
vy＝at＝15 m/s
故P点的速度大小
vP＝＝5 m/s。
[答案]　(1)3 s　xP＝30 m，yP＝22.5 m　(2)5 m/s

类平抛运动的两种求解技巧
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。

[模型概述]
平抛运动与斜面相结合的模型，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：
(1)物体从空中抛出落在斜面上；
(2)从斜面上抛出落在斜面上。
在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决。

方法
内容
实例
总结
斜面
求小球平抛时间
分解速度
水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝

如图，vy＝gt，tan θ＝＝，故t＝
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平x＝v0t
竖直y＝gt2
合位移x合＝

如图，x＝v0t，y＝gt2，而tan θ＝，联立得t＝
分解位移，构建位移三角形

[典例]　滑雪比赛惊险刺激，如图4－2－7所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37 °，运动员的质量m＝50 kg。不计空气阻力。(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g取10 m/s2)求：

图4－2－7
(1)A点与O点的距离L。
(2)运动员离开O点时的速度大小。
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。
[解析]　(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，
有Lsin 37°＝gt2，L＝＝75 m。
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，
有 Lcos 37°＝v0t，
即v0＝＝20 m/s。
(3)法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cos 37°、加速度为gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin 37°、加速度为gcos 37°)。
当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡距离最远，有v0sin 37°＝gcos 37°·t，解得t＝1.5 s。
法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°时，运动员与斜坡距离最远，有＝tan 37°，t＝1.5 s。
[答案]　(1)75 m　(2)20 m/s　(3)1.5 s
[题后悟道]
(1)物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题，一般要从位移角度找关系，该类问题可有两种分解方法：一是沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；二是沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动。
(2)物体平抛后垂直落在斜面上的问题，一般要从速度方向角度找关系。

一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图4－2－8中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(　　)

图4－2－8
A．tan θ　　　　　　　　　　 B．2tan θ
C. D.
解析：选D　小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比即为平抛运动合位移与水平方向夹角的正切值。小球落在斜面上速度方向与斜面垂直，故速度方向与水平方向夹角为－θ，由平抛运动结论：平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值为位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，可知：小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为tan(－θ)＝，D项正确。

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