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插值、拟合与MATLAB编程1 作者： 日期：14 个人收集整理 勿做商业用途插值、拟合与MATLAB编程相关知识在生产和科学实验中，自变量与因变量间的函数关系有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。当要求知道其它点的函数值时,需要估计函数值在该点的值。为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值,寻找这样的函数有很多方法。根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。在MATLAB中，无论是插值还是拟合,都有相应的函数来处理。一、插值1、一维插值：已知离散点上的数据集，即已知在点集X=上的函数值Y=，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。MATLAB命令：yi=interp1(X, Y, xi, method)该命令用指定的算法找出一个一元函数，然后以给出处的值.xi可以是一个标量,也可以是一个向量,是向量时，必须单调，method可以下列方法之一：nearest：最近邻点插值，直接完成计算； spline：三次样条函数插值;linear：线性插值(缺省方式），直接完成计算； cubic：三次函数插值；对于minxi,maxxi外的值，MATLAB使用外推的方法计算数值。例1:已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量为:75.995， 91。972， 105.711, 123。203, 131.699， 150。697, 179。323, 203.212， 226.505, 249。633， 256.344, 267.893，计算出1995年的产量,用三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线图形，同时将原始的数据画在同一图上。解:程序如下year=1900:10:2010；product=75。995， 91.972, 105.711， 123.203, 131.699, 150。697， 179.323， 203.212， 226.505， 249。633, 256。344， 267.893p1995=interp1（year，product,1995） x=1900：2010；y=interp1(year,product,x,cubic）；plot（year,product,o,x,y);计算结果为：p1995=252.9885。2、二维插值已知离散点上的数据集,即已知在点集上的函数值,构造一个解析函数（其图形为一曲面）通过这些点,并能够求出这些已知点以外的点的函数值，这一过程称为二维插值.MATLAB函数:Zi=interp2（X,Y，Z，Xi,Yi,method）该命令用指定的算法找出一个二元函数，然后以给出处的值。返回数据矩阵，Xi,Yi是向量，且必须单调,和meshgrid（Xi，Yi）是同类型的。method可以下列方法之一：nearest：最近邻点插值,直接完成计算； spline：三次样条函数插值；linear：线性插值（缺省方式），直接完成计算; cubic:三次函数插值；例2：已知1950年到1990年间每隔10年，服务年限从10年到30年每隔10年的劳动报酬表如下：表：某企业工作人员的月平均工资（元)服务年限年份1020301950150。697169。592187。6521960179。323195.072250。2871970203.212239。092322。7671980226.505273。706426.7301990249。633370.281598.243试计算1975年时,15年工龄的工作人员平均工资。解:程序如下:years=1950：10:1990;service=10：10：30;wage=150.697 169.592 187.652 179。323 195.072 250.287 203。212 239.092 322。767 226。505 273。706 426。730249.633 370。281 598。243;mesh（service，years，wage) %绘原始数据图w=interp2(service，years，wage,15，1975）; 求点(15，1975）处的值计算结果为:235。6288例3：设有数据x=1,2,3，4，5,6，y=1，2,3，4，在由x，y构成的网格上，数据为:12,10,11,11,13，1516，22,28，35，27,2018,21，26，32，28,2520，25，30,33,32,20求通过这些点的插值曲面。解：程序为：x=1:6;y=1：4;t=12，10，11，11，13,15 16，22，28,35，27，20 18,21，26,32，28,25; 20，25,30,33，32，20subplot(1，2，1)mesh（x，y，t)x1=1:0.1：6;y1=1:0。1:4;x2,y2=meshgrid(x1，y1）；t1=interp2(x,y，t，x2，y2,cubic);subplot（1,2，2)mesh(x1,y1,t1）；结果如右图。作业：已知某处山区地形选点测量坐标数据为：x=0 0.5 1 1。5 2 2.5 3 3。5 4 4.5 5 y=0 0。5 1 1。5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 海拔高度数据为: z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 871、 画出原始数据图；2、 画出加密后的地貌图,并在图中标出原始数据。程序如下：x=0：0.5：5 y=0:0.5:6 z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87subplot（1，2,1)mesh(x,y，z)x1=0:0。05：5 y1=0：0。05：6 xx,yy=meshgrid(x1,y1)zz=interp2（x，y,z，xx,yy,spline）subplot(1,2，2）mesh（xx，yy，zz)hold onx0，y0=meshgrid（x，y）plot3(x0，y0，z,bo) 二、拟合曲线拟合已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值,构造一个解析函数(其图形为一曲线)使在原离散点上尽可能接近给定的值，这一过程称为曲线拟合.最常用的曲线拟合方法是最小二乘法，该方法是寻找函数使得最小。MATLAB函数:p=polyfit（x,y,n) p，s= polyfit(x，y，n) 说明：x，y为数据点，n为多项式阶数,返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。（见下一函数polyval）多项式曲线求值函数：polyval（ ） 调用格式： y=polyval(p，x) y,DELTA=polyval(p，x，s) 说明：y=polyval（p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。y，DELTA=polyval（p,x，s） 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。例5：求如下给定数据的拟合曲线,x=0。5,1.0，1。5,2。0，2.5，3。0,y=1。75，2.45，3.81，4.80,7.00,8。60.解:MATLAB程序如下：x=0。5，1。0,1。5，2.0，2.5,3。0；y=1。75,2。45，3.81,4.80，7.00，8。60;p=polyfit（x，y，2）x1=0.5:0。05:3。0；y1=polyval(p，x1）；plot（x，y,r,x1,y1,b）计算结果为：p =0。5614 0。8287 1.1560此结果表示拟合函数为：，用此函数拟合数据的效果如图所示.例2:由离散数据x0.1。2.3。4.5。6.7.8.91y.3.511.41.61.9.6.4。81。52拟合出多项式。程序： x=0：。1:1； y=.3 。5 1 1.4 1.6 1.9 。6 .4 。8 1.5 2 n=3； p=polyfit(x,y，n） xi=linspace(0，1,100）； z=polyval（p,xi)； 多项式求值 plot（x，y，o，xi,z,k：，x,y，b) legend(原始数据，3阶曲线) 结果： p =16。7832 25.7459 10.9802 -0。0035多项式为：16.7832x325.7459x2+10.9802x0.0035曲线拟合图形: 也可由函数给出数据.例3：x=1:20,y=x+3sin（x）程序： x=1：20； y=x+3sin(x）; p=polyfit(x,y,6） xi=linspace(1,20,100）； z=polyval（p,xi); plot(x,y,o，xi，z,k:，x，y,b） 结果： p =0。0000 0。0021 0.0505 0.5971 3。6472 9。7295 11.3304再用10阶多项式拟合程序：x=1:20; y=x+3*sin(x)； p=polyfit(x，y，10） xi=linspace（1,20,100)； z=polyval(p，xi）； plot(x,y,o，xi,z，k:，x,y,b） 结果：p =Columns 1 through 7 0。0000 0.0000 0.0004 0.0114 0。1814 -1.8065 11。2360Columns 8 through 11 -42.0861 88。5907 -92。8155 40。267可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。作业：1已知x=0.1,0.8，1。3，1。9，2.5,3。1，y=1.2，1.6，2。7,2.0,1。3,0。5，利用其中的部分数据,分别用线性函数插值，3次函数插值，求x=2.0处的值。2已知二元函数在点集上的值为,其中，左上角位置表示，右下角位置表示，求该数据集的插值曲面。3已知x=1。2,1.8,2。1,2。4，2。6，3.0，3。3，y=4.85，5.2,5.6，6。2，6。5，7.0,7。5，求对x，y分别进行4，5，6阶多项式拟合的系数，并画出相应的图形。4学习函数interp3(X，Y,Z，V,X1,Y1，Z1,method)，对MATLAB提供的flow数据实现三维插值.