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(完整版)实数大小比较的常用方法
实数的大小比较的常用方法
一、法则法
比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。
例1 比较与的大小。
析解：由于，且,所以。
说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。
二、平方法
用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有:。
例2 比较与的大小。
析解：由于，而,所以。
说明:本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较.

三、数形结合方法
用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小.

析解:如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来，容易得到结论：

四、作差法：
差值比较法的基本思路是设a,b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据
当a－b﹥0时，得到a﹥b。
当a－b﹤0时，得到a﹤b。
当a－b＝0，得到a=b。
例1：（1）比较与的大小。 (2）比较1－与1－的大小。
解 ∵－＝＜0 ， ∴＜。
解 ∵（1－）－（1－）=＞0 ， ∴1－＞1－。
例2、比较的大小。
解析：因为,所以。
五、作商法
比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：来比较a与b的大小.
例1:比较与的大小。
解：∵÷=＜1 ∴＜
例2 比较与的大小.
析解:设，
，则

即
例3：比较与的大小
解：÷=×=﹤1
所以﹤

六、倒数法
倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数,先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。
例1:比较－与－的大小。
解∵=+ ， =+
又∵+＜+
∴－＞－
例2、已知a﹥1,b﹥2,试比较与的大小
解：=+=2+ 因为a﹥1，所以2+﹤3
=+=3+因为b﹥2，所以3+﹥3
因为﹤ 所以﹥
例3、设，则a、b、c的大小关系是（ ）。
A、a>b〉c B、a〉c〉b C、c>b〉a D、b〉c>a
解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。
首先，，
,因为，所以，则b〉c。又因为，所以，则a〉b。由此可得：a〉b>c。故选A.

七、平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
例5:比较与的大小
解：， =8+2。
又∵8+2＜8+2 ∴＜.
八、估算法
估算法的基本是思路是设a,b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
例4：比较与的大小
解：∵3＜＜4 ∴－3＜1 ∴＜
九．比较被开方数法。
基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。
例6：比较2与3的大小
解:∵2==，3==.
又∵28＞27, ∴2＞3.
十、特殊值法
比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。
例1：当时，，，的大小顺序是______________。
解：（特殊值法）取=，则:=,=2。
∵＜＜2,∴＜＜。
例2、已知x<y〈0，设，则M、N、P、Q的大小关系是（ ）.
A、M〈Q〈P<N B、M〈P<Q<N C、Q〈N<P<M D、N〈Q<P<M
解析：根据条件，不妨设，则M=4，N=1，。不难得到：N<Q〈P〈M。因此，应选D。
例3、已知a﹥1,b﹥2，则______ （填﹥、﹤或=)
分析：为填空题，可用赋值法。取a=2,b=3代入,﹥ 所以填入“﹥〉”。
例4 设a＝20,b＝(－3)2,c＝，d＝,则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（　　）
A.c＜a＜d＜b B.b＜d＜a＜c C。a＜c＜d＜b D.b＜c＜a＜d
分析　可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小。
解　因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9,c＝＝－，d＝＝2，而－＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点,右边的数总比左边的数大;以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
十一、 中间值法（还是判不了，就把中人找）
如果a<c，c<b，那么a〈b。若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时,可选用此法.
例1、比较的大小。
解析：因为,所以。所以，即。
例2、比较−3。55和−的大小
解: −3。55﹤−3。5 −﹥− 即−﹥−3。5
所以−3。55﹤−3.5﹤− 即−3。55﹤−

十二、分子有理化法
例14、比较的大小。
解析:，
.
因为,故,所以。
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