经典截长补短法巧解.doc

(完整word)经典截长补短法巧解
截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。
截长补短法有多种方法。
截长法:
（1）过某一点作长边的垂线
(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等.……
补短法
(1）延长短边。
(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起.……

例:

在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G,GHAF,交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH,CH的数量关系

方法一（好想不好证）

方法二（好证不好想）

例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页)

（1)正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。
求证:EF=DE+BF

(1)变形a

正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?

(1）变形b

正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上,EAF=45。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?

(1）变形c

正三角形ABC中，E在AB上,F在AC上EDF=45。DB=DC,BDC=120.请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系?

（1）变形d

正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上,EAD=15，FAB=30。AD=
求AEF的面积

(1）解：（简单思路)

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。
由四边形ABCD是正方形得
ADG=ABF=90
AD=AB
又DG=BF
所以ADGABF(SAS）
GAD=FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90=DAF+FAB
=DAF+GAD=GAF
所以GAE=GAF—EAF
=90-45=45
GAE=FAE=45
又AG=AF
AE=AE
所以EAGEAF（SAS）
EF=GE=GD+DE=BF+DE

变形a解：(简单思路）

EF= BF-DE
在BC上截取BG,使得BG=DF，连接AG。
由四边形ABCD是正方形得
ADE=ABG=90
AD=AB
又DE=BG
所以ADEABG(SAS）
EAD=GAB
AE=AG
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90=DAG+GAB
=DAG+EAD=GAE
所以GAF=GAE-EAF
=90-45=45
GAF=EAF=45
又AG=AE
AF=AF
所以EAFGAF(SAS)
EF=GF=BF-BG=BF—DE

变形b解：（简单思路）

EF=DE—BF
在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG.
由四边形ABCD是正方形得
ADG=ABF=90
AD=AB
又DG=BF
所以ADGABF(SAS）
GAD=FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90=DAG+GAB
=BAF+GAB=GAF
所以GAE=GAF—EAF
=90—45=45
GAE=FAE=45
又AG=AF
AE=AE
所以EAGEAF（SAS)
EF=EG=ED—GD=DE-BF

变形c解：（简单思路）

EF=BE+FC
延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG.
由ABC是正三角形得
ABC=ACB=60
又DB=DC,BDC=120
所以DBC=DCB=30
DBE=ABC+DBC=60+30=90
ACD=ACB+DCB=60+30=90
所以GCD=180-ACD=90
DBE=DCG=90
又DB=DC，BE=CG
所以DBEDCG（SAS）
EDB=GDC
DE=DG
又DBC=120=EDB+EDC
=GDC+EDC=EDG
所以GDF=EDG—EDF
=120-60=60
GDF=EDF=60
又DG=DE
DF=DF
所以GDFEDF(SAS）
EF=GF=CG+FC=BE+FC

变形d解:（简单思路）

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。
过E作EHAG。前面如(1）所证，
ADGABF，EAGEAF
GAD=FAB=30，SEAG=SEAF
在RtADG中，GAD=30，AD=
AGD=60，AG=2
设EH=x
在RtEGH中和RtEHA中
AGD=60,HAE=45
HG=x，AH=x
AG=2=HG+AH=x+x，EH=x=3-
SEAF=SEAG=EHAG2=3-。
(第5页题目答案见第6页）
（2）
正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。
求证：AC/2=AD-EO

（2）加强版

正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上,CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。
请问MN、AD、EF有什么数量关系？

（2）解：(简单思路）

过E作EGAD于G
因为四边形ABCD是正方形
ADC=90，BD平分ADC,ACBD
所以ADB=ADC/2=45
因为AE平分DAC，EOAC，EGAD
所以EAO=EAG，
DGE=AOE=AGE=90又AE=AE，
所以AEOAEG（AAS）
所以AG=AO，EO=EG
又ADB=45，DGE=90
所以DGE为等腰直角三角形
DG=EG=EO
AD—DG=AD—EO=AG=AO=AC/2

(2)加强版解：(简单思路）

MN/2=AD-EF
过E作EGAD于G，作EQAB于Q,
过B做BPMN于P
按照(2）的解法，可求证，
GNEFNE（AAS）
DGE为等腰直角三角形
AG=AD-DG=AD—EF，
因为四边形ABCD为正方形,
ABC=GAQ=BCM=90
BD平分ABC，BC=BA
ABD=ABC/2=45，又EQB=90
EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45
因为GAQ=EGA=EQA=90
所以四边形AGEQ为矩形，
EQ=AG=AD-EF，EQ//AG
QEN=ENG
又ENG=ENF，所以QEN=ENF
由BC=BA，BCM=BAN=90，CM=AN，
所以BCMBAN（SAS）
BM=BN，CBM=ABN
ABC=90=ABM+CBM
=ABM+ABN=MBN,又BM=BN
所以MBN为等腰Rt三角形，
又BP斜边MN于P，
所以NPB为等腰Rt三角形.
BP=MN/2，PNB=45。
BNE=ENF+PNB
BEN=QEN+QEB
又QEN=ENF,PNB=QEB=45
所以BNE=BEN
BN=BE，
又PNB=QEB=45=NBP=EBQ
所以BEQBNP（SAS）
EQ=BP
因为EQ=AG=AD-EF,BP=MN/2
所以AD-EF=MN/2。
8