经典截长补短法巧解.doc

(完整word)经典截长补短法巧解截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法:（1）过某一点作长边的垂线(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等.补短法(1）延长短边。(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起.例:在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G,GHAF,交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH,CH的数量关系方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）例题不详解。（第2页题目答案见第3、4页)（1)正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。求证:EF=DE+BF(1)变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?(1）变形b正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上,EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?(1）变形c正三角形ABC中，E在AB上,F在AC上EDF=45。DB=DC,BDC=120.请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系?（1）变形d正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上,EAD=15，FAB=30。AD=求AEF的面积(1）解：（简单思路)延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90AD=AB又DG=BF所以ADGABF(SAS）GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF所以GAE=GAFEAF=90-45=45GAE=FAE=45又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：(简单思路）EF= BF-DE在BC上截取BG,使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90AD=AB又DE=BG所以ADEABG(SAS）EAD=GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE所以GAF=GAE-EAF=90-45=45GAF=EAF=45又AG=AEAF=AF所以EAFGAF(SAS)EF=GF=BF-BG=BFDE变形b解：（简单思路）EF=DEBF在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG.由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90AD=AB又DG=BF所以ADGABF(SAS）GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF所以GAE=GAFEAF=9045=45GAE=FAE=45又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS)EF=EG=EDGD=DE-BF变形c解：（简单思路）EF=BE+FC延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG.由ABC是正三角形得ABC=ACB=60又DB=DC,BDC=120所以DBC=DCB=30DBE=ABC+DBC=60+30=90ACD=ACB+DCB=60+30=90所以GCD=180-ACD=90DBE=DCG=90又DB=DC，BE=CG所以DBEDCG（SAS）EDB=GDCDE=DG又DBC=120=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG所以GDF=EDGEDF=120-60=60GDF=EDF=60又DG=DEDF=DF所以GDFEDF(SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC变形d解:（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EHAG。前面如(1）所证，ADGABF，EAGEAFGAD=FAB=30，SEAG=SEAF在RtADG中，GAD=30，AD=AGD=60，AG=2设EH=x在RtEGH中和RtEHA中AGD=60,HAE=45HG=x，AH=xAG=2=HG+AH=x+x，EH=x=3-SEAF=SEAG=EHAG2=3-。(第5页题目答案见第6页）（2）正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。求证：AC/2=AD-EO（2）加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上,CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。请问MN、AD、EF有什么数量关系？（2）解：(简单思路）过E作EGAD于G因为四边形ABCD是正方形ADC=90，BD平分ADC,ACBD所以ADB=ADC/2=45因为AE平分DAC，EOAC，EGAD所以EAO=EAG，DGE=AOE=AGE=90又AE=AE，所以AEOAEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又ADB=45，DGE=90所以DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOADDG=ADEO=AG=AO=AC/2(2)加强版解：(简单思路）MN/2=AD-EF过E作EGAD于G，作EQAB于Q,过B做BPMN于P按照(2）的解法，可求证，GNEFNE（AAS）DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=ADEF，因为四边形ABCD为正方形,ABC=GAQ=BCM=90BD平分ABC，BC=BAABD=ABC/2=45，又EQB=90EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45因为GAQ=EGA=EQA=90所以四边形AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ/AGQEN=ENG又ENG=ENF，所以QEN=ENF由BC=BA，BCM=BAN=90，CM=AN，所以BCMBAN（SAS）BM=BN，CBM=ABNABC=90=ABM+CBM=ABM+ABN=MBN,又BM=BN所以MBN为等腰Rt三角形，又BP斜边MN于P，所以NPB为等腰Rt三角形.BP=MN/2，PNB=45。BNE=ENF+PNBBEN=QEN+QEB又QEN=ENF,PNB=QEB=45所以BNE=BENBN=BE，又PNB=QEB=45=NBP=EBQ所以BEQBNP（SAS）EQ=BP因为EQ=AG=AD-EF,BP=MN/2所以AD-EF=MN/2。8