1、(完整版)七下实数辅导讲义(一)终极版第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根(1)定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。 即:如果x2=a,则x叫做a的平方根,记作“(a称为被开方数)。(2)平方根的性质: 一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数; 0只有一个平方根,它就是0本身; 负数没有平方根。(3)开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.(4)算术平方根:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“”。(5)本身为非负数,即0;有意义的条件是a0.(6)公式:()2=a(a0); 2、立方根(1)定义:一般地,如果一个数的立方
2、等于a,这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 即:如果x3=a,把x叫做a的立方根。数a的立方根用符号“”表示,读作“三次根号a”。(2)立方根的性质: 正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。(3)开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。 求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、 平方根与立方根与区别: 只有正数和0有平方根,负数没有平方根,正数的平方根有2个,并且互为相反数,0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根,并且符号与这个数一致;4、。识记常用平方表:(自行完成)5、实数的分类(1)按实数的定义分类:(2)按实数的正负分类: (3)实数与数
3、轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示;反之,数轴上每一个点都表示一个实数,即数轴上的点与实数是一一对应关系(4)、绝对值一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零。一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。注意:题型规律总结:1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。3、本身为非负数,有非负性,即0;有意义的条件是a0。4、公式:()2=a(a0);=(a取任何数)。5、区分()2=a
4、(a0),与 =6.非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握).7。一般来说,被开放数扩大(或缩小)倍,算术平方根扩大(或缩小)倍,例如8、.识记常用平方表:(自行完成)12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252= 9。易混淆的三个数(自行分析它们): (1)(2)(3)10、识记下列各式的值,结果保留4个有效数字: 【典型例题】题型一、平方根定义的运用例1、一个正数的平方根为和,求这个数?变式1、已知和是m的
5、平方根,求m的值?变式2、已知某个数的平方根分别为和,求a和这个数?例2、(1)下列各数是否有平方根,请说明理由 (-3)2 0 2 0。01 2 (2) 下列说法对不对?为什么? 4有一个平方根 只有正数有平方根 任何数都有平方根 若 a0,a有两个平方根,它们互为相反数例3、求下列各数的平方根:(1) 9 (2) (3) 0。36 (4) 变式3、。下列语句中,正确的是( )A一个实数的平方根有两个,它们互为相反数 B负数没有立方根 C一个实数的立方根不是正数就是负数 D立方根是这个数本身的数共有三个 变式4。 下列说法正确的是( )A-2是(2)2的算术平方根 B3是9的算术平方根C16
6、的平方根是4 D27的立方根是3 题型三、化简求值例1、已知,化简: 变式1、若例2已知实数在数轴上的对应点如图所示,化简变式2、实数在数轴上的位置如图所示,化简:= 变式3如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的实数为( )A. 2 B。 2 C. 3 D.3 例3、当a0时,化简 的结果是( ) A 0 B 1 C 1 D 例4、化简下列各式:(1) |-1.4 (2) |3.142 (3) 【变式1】化简:题型四、利用非负数的性质求代数式 三种常见的非负数: 注意:(1)任何非负数的和仍是非负数; (2)若几个非负数的和是0,那么这几个非负数均为
7、0.例1、已知实数x,y满足 +(y+1)2=0,则x-y等于 【变式1】 已知、b是有理数,且满足(2)2+=0,则b的值为 【变式2】已知那么a+b-c的值为_【变式3】已知(x6)2+|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。 求被开方数中的未知数的值 例2若y=+2017,则x+y= 变式1、若,则xy的值为( ) A1 B1 C2 D3变式2、若x、y都是实数,且y=,求xy的值变式3、已知,求的值?题型五、解方程(1) (2) (3) (4) 题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x是的整数部分,y是的小数部分,求 的平方根。变式1设m是的小数部分,n为的小数部分,求的值?题
8、型六 关于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值(1); (2); (3); (4)解(1)因为,所以=9。例2(1)64的立方根是(2)下列说法中:都是27的立方根,的立方根是2,。正确的有 ( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个题型八、探索找规律1(盐城市)现规定一种新的运算“”:ab=ab,如32=32=9,则3()2(资阳市)若“!”是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=21=2,3!=321=6,4!4321,,则的值为( ) AB99!C9900D2!3如果有理数a,b满足ab2+1b=0,试求+的值4。观察思考下列计算过程: 11=121, =11;同样: 111=1
9、2321, =111;由此猜想:= 题型八实数比较大小的方法1、方法一:差值比较法差值比较法的基本思路是设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据当ab0时,得到ab。当a-b0时,得到ab。当a-b0,得到a=b。例1、比较1-与1-的大小。 3、方法二:商值比较法商值比较法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先求出a与b得商。当1时,ab;当1时,ab;当=1时,a=b.来比较a与b的大小。例2、比较与的大小。4、方法三:平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a0,b0时,可由得到ab来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。例3、比较2与3的大小 5、方法
10、四:估算法估算法的基本是思路是设a,b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。例4、比较与的大小. 综合演练一、填空题1、(-0。7)2的平方根是 2、若=25,=3,则a+b= 3、已知一个正数的两个平方根分别是2a2和a4,则a的值是 4、 _5、若m、n互为相反数,则_6、若 ,则a_07、若有意义,则x的取值范围是 8、16的平方根是4”用数学式子表示为 9、大于-,小于的整数有_个。10、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a4,则a=_ _,x=_ _.11、当时,有意义。12、当时,有意义.13、当时,有意义。14、当时,式子有意义.15、若有意
11、义,则能取的最小整数为 二、选择题1 9的算术平方根是( ) A-3 B3 C3 D812下列计算正确的是( )A=2 B=9 C。 D。3下列说法中正确的是( ) A9的平方根是3 B的算术平方根是2 C. 的算术平方根是4 D. 的平方根是24 64的平方根是( )A8 B4 C2 D5 4的平方的倒数的算术平方根是( )A4 B C D6下列结论正确的是( ) A B C D7以下语句及写成式子正确的是( )A、7是49的算术平方根,即 B、7是的平方根,即C、是49的平方根,即 D、是49的平方根,即8下列语句中正确的是( )A、的平方根是 B、的平方根是 C、 的算术平方根是 D、的算术平方根是9下列说法:(1)是9的平方根;(2)9的平方根是;(3)3是9的平方根;(4)9的平方根是3,其中正确的有( ) A3个 B2个C1个 D4个10下列语句中正确的是( )A、任意算术平方根是正数 B、只有正数才有算术平方根 C、3的平方是9,9的平方根是3 D、是1的平方根三、利用平方根解下列方程(1)(2x1)2169=0; (2)4(3x+1)2-1=0;四、解答题1、求的平方根和算术平方根。 2、计算的值3、若,求的值.4、若a、b、c满足,求代数式的值.5、已知,求7(xy)20的立方根.8