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(完整版)七下实数辅导讲义(一)终极版第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。 即：如果x2=a，则x叫做a的平方根,记作“（a称为被开方数）。（2)平方根的性质： 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数; 0只有一个平方根，它就是0本身; 负数没有平方根。(3）开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。（5)本身为非负数，即0；有意义的条件是a0.（6）公式：()2=a（a0）; 2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 即：如果x3=a，把x叫做a的立方根。数a的立方根用符号“”表示，读作“三次根号a”。(2）立方根的性质： 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。（3）开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。 求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、 平方根与立方根与区别： 只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数,0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、。识记常用平方表:（自行完成）5、实数的分类（1)按实数的定义分类：(2)按实数的正负分类: (3）实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系（4)、绝对值一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。注意:题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、本身为非负数，有非负性，即0；有意义的条件是a0。4、公式:()2=a(a0）;=（a取任何数）。5、区分（）2=a（a0），与 =6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0（此性质应用很广,务必掌握）.7。一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如8、.识记常用平方表:（自行完成）12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252= 9。易混淆的三个数（自行分析它们）： （1)(2）（3)10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字： 【典型例题】题型一、平方根定义的运用例1、一个正数的平方根为和，求这个数？变式1、已知和是m的平方根，求m的值？变式2、已知某个数的平方根分别为和，求a和这个数？例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 （-3）2 0 2 0。01 2 （2) 下列说法对不对？为什么？ 4有一个平方根 只有正数有平方根 任何数都有平方根 若 a0，a有两个平方根，它们互为相反数例3、求下列各数的平方根：(1) 9 (2) (3) 0。36 (4） 变式3、。下列语句中，正确的是（ ）A一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B负数没有立方根 C一个实数的立方根不是正数就是负数 D立方根是这个数本身的数共有三个 变式4。 下列说法正确的是（ )A-2是（2）2的算术平方根 B3是9的算术平方根C16的平方根是4 D27的立方根是3 题型三、化简求值例1、已知，化简： 变式1、若例2已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简变式2、实数在数轴上的位置如图所示，化简:= 变式3如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为( )A. 2 B。 2 C. 3 D.3 例3、当a0时，化简 的结果是( ） A 0 B 1 C 1 D 例4、化简下列各式:(1） |-1.4 （2） |3.142 （3） 【变式1】化简:题型四、利用非负数的性质求代数式 三种常见的非负数： 注意：（1）任何非负数的和仍是非负数； （2）若几个非负数的和是0,那么这几个非负数均为0.例1、已知实数x，y满足 +(y+1)2=0，则x-y等于 【变式1】 已知、b是有理数，且满足（2）2+=0，则b的值为 【变式2】已知那么a+b-c的值为_【变式3】已知（x6)2+|y+2z|=0,求（x-y）3-z3的值。 求被开方数中的未知数的值 例2若y=+2017，则x+y= 变式1、若，则xy的值为（ ) A1 B1 C2 D3变式2、若x、y都是实数，且y=，求xy的值变式3、已知,求的值？题型五、解方程(1) （2) （3） (4) 题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x是的整数部分，y是的小数部分，求 的平方根。变式1设m是的小数部分，n为的小数部分,求的值？题型六 关于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值（1）； （2）; （3）； （4）解（1）因为,所以=9。例2（1）64的立方根是(2）下列说法中：都是27的立方根，的立方根是2,。正确的有 （ ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个题型八、探索找规律1（盐城市)现规定一种新的运算“”:ab=ab，如32=32=9，则3(）2（资阳市)若“！”是一种数学运算符号,并且1！=1，2！=21=2，3!=321=6，4！4321,，则的值为( ） AB99！C9900D2!3如果有理数a，b满足ab2+1b=0，试求+的值4。观察思考下列计算过程： 11=121， =11；同样： 111=12321， =111；由此猜想：= 题型八实数比较大小的方法1、方法一:差值比较法差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当ab0时,得到ab。当a-b0时，得到ab。当a-b0,得到a=b。例1、比较1-与1-的大小。 3、方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先求出a与b得商。当1时,ab；当1时，ab；当=1时,a=b.来比较a与b的大小。例2、比较与的大小。4、方法三:平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a0，b0时,可由得到ab来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。例3、比较2与3的大小 5、方法四：估算法估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数,先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例4、比较与的大小. 综合演练一、填空题1、(-0。7）2的平方根是 2、若=25，=3,则a+b= 3、已知一个正数的两个平方根分别是2a2和a4，则a的值是 4、 _5、若m、n互为相反数，则_6、若 ，则a_07、若有意义，则x的取值范围是 8、16的平方根是4”用数学式子表示为 9、大于-，小于的整数有_个。10、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a4，则a=_ _，x=_ _.11、当时,有意义。12、当时,有意义.13、当时，有意义。14、当时，式子有意义.15、若有意义,则能取的最小整数为 二、选择题1 9的算术平方根是( ） A-3 B3 C3 D812下列计算正确的是( ）A=2 B=9 C。 D。3下列说法中正确的是（ ) A9的平方根是3 B的算术平方根是2 C. 的算术平方根是4 D. 的平方根是24 64的平方根是( ）A8 B4 C2 D5 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A4 B C D6下列结论正确的是（ ) A B C D7以下语句及写成式子正确的是（ ）A、7是49的算术平方根，即 B、7是的平方根，即C、是49的平方根，即 D、是49的平方根，即8下列语句中正确的是（ )A、的平方根是 B、的平方根是 C、 的算术平方根是 D、的算术平方根是9下列说法：（1)是9的平方根；(2)9的平方根是;(3)3是9的平方根;（4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A3个 B2个C1个 D4个10下列语句中正确的是( ）A、任意算术平方根是正数 B、只有正数才有算术平方根 C、3的平方是9，9的平方根是3 D、是1的平方根三、利用平方根解下列方程（1）（2x1）2169=0； （2）4（3x+1)2-1=0;四、解答题1、求的平方根和算术平方根。 2、计算的值3、若,求的值.4、若a、b、c满足，求代数式的值.5、已知，求7（xy）20的立方根.8