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第六章 实数 辅导讲义
【知识要点】
1、平方根
（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
即：如果x2=a，则x叫做a的平方根,记作“"（a称为被开方数）。
（2)平方根的性质：
① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;
② 0只有一个平方根，它就是0本身;
③ 负数没有平方根。
(3）开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根记作“”。
（5)本身为非负数，即≥0；有意义的条件是a≥0.
（6）公式：()2=a（a≥0）;
2、立方根
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x3=a，把x叫做a的立方根。数a的立方根用符号“”表示，读作“三次根号a”。
(2）立方根的性质：
正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。 求一个数的立方根可以通过立方运算来求.
3、 平方根与立方根与区别：
只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数,0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；
4、。识记常用平方表:（自行完成）

5、实数的分类
（1)按实数的定义分类：

(2)按实数的正负分类:

(3）实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．
（4)、绝对值
①一个正数的绝对值是它本身，
②一个负数的绝对值是它的相反数，
③零的绝对值是零。
一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。
注意:

题型规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、本身为非负数，有非负性，即≥0；有意义的条件是a≥0。
4、公式:⑴()2=a(a≥0）;⑵=（a取任何数）。
5、区分（）2=a（a≥0），与 =
6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0（此性质应用很广,务必掌握）.
7。一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如
8、.识记常用平方表:（自行完成）
12=
62=
112=
162=
212=
22=
72=
122=
172=
222=
32=
82=
132=
182=
232=
42=
92=
142=
192=
242=
52=
102=
152=
202=
252=

9。易混淆的三个数（自行分析它们）： （1)(2）（3)
10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：

【典型例题】
题型一、平方根定义的运用
例1、一个正数的平方根为和，求这个数？

变式1、已知和是m的平方根，求m的值？

变式2、已知某个数的平方根分别为和，求a和这个数？

例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （-3）2 ② 0 2 ③ —0。01 2
（2) 下列说法对不对？为什么？
①　4有一个平方根 ②　只有正数有平方根
③　任何数都有平方根 ④　若 a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数
例3、求下列各数的平方根：
(1) 9 (2) (3) 0。36 (4）

变式3、。下列语句中，正确的是（ ）
A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根
C．一个实数的立方根不是正数就是负数 D．立方根是这个数本身的数共有三个
变式4。 下列说法正确的是（　 　)
A．-2是（—2）2的算术平方根 B．3是—9的算术平方根
C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±3
题型三、化简求值
例1、已知，化简： 变式1、若

例2已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简

变式2、实数在数轴上的位置如图所示，化简:=

变式3如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为( )A. －2 B。 2－ C. －3 D.3－

例3、当a〈0时，化简 的结果是( ）
A 0 B —1 C 1 D ½

例4、化简下列各式:
　　(1） |-1.4｜　 　　（2） |π—3.142｜ 　（3） ｜—｜ 　　　

【变式1】化简:

题型四、利用非负数的性质求代数式
三种常见的非负数：

注意：（1）任何非负数的和仍是非负数；
（2）若几个非负数的和是0,那么这几个非负数均为0.
例1、已知实数x，y满足 +(y+1)2=0，则x-y等于

【变式1】 已知、b是有理数，且满足（－2）2+=0，则b的值为

【变式2】已知那么a+b-c的值为___________

【变式3】已知（x—6)2++|y+2z|=0,求（x-y）3-z3的值。

求被开方数中的未知数的值

例2若y=++2017，则x+y=
变式1、若，则x－y的值为（ )
A．－1 B．1 C．2 D．3

变式2、若x、y都是实数，且y=，求xy的值

变式3、已知,求的值？

题型五、解方程
(1)  （2)

（3） (4)

题型六、整数部分和小数部分的探讨
例1、已知x是的整数部分，y是的小数部分，求 的平方根。

变式1设m是的小数部分，n为的小数部分,求的值？

题型六 关于平方根、立方根的求值
例1、求下列各式的值
（1）； （2）; （3）； （4）
解（1）因为,所以±=±9。
例2（1）64的立方根是      
(2）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2,④。正确的有 （ )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

题型八、探索找规律
1　（盐城市)现规定一种新的运算“※”:a※b=ab，如3※2=32=9，则※3＝(　）
2　（资阳市)若“！”是一种数学运算符号,并且1！=1，2！=2×1=2，3!=3×2×1=6，4！＝4×3×2×1,…，则的值为( ） A． B．99！ C．9900 D．2!

3．如果有理数a，b满足∣ab－2∣+∣1－b∣=0，
试求+…+的值．

4。观察思考下列计算过程：∵ 11=121，∴ =11；同样：
∵ 111=12321，∴ =111；…由此猜想：=

题型八实数比较大小的方法
1、方法一:差值比较法
差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a—b﹥0时,得到a﹥b。当a-b﹤0时，得到a﹤b。当a-b＝0,得到a=b。
例1、比较1-与1-的大小。
3、方法二：商值比较法
商值比较法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先求出a与b得商。当＜1时,a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时,a=b.来比较a与b的大小。
例2、比较与的大小。
4、方法三:平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时,可由＞得到a＞b来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。
例3、比较2与3的大小
5、方法四：估算法
估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数,先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
例4、比较与的大小.

综合演练
一、填空题
1、(-0。7）2的平方根是　 2、若=25，=3,则a+b=　 　
3、已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是　 　
4、＝ ____________
5、若m、n互为相反数，则＝_________
6、若 ，则a______0
7、若有意义，则x的取值范围是
8、16的平方根是±4”用数学式子表示为
9、大于-，小于的整数有______个。
10、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a—4，则a=__ ___，x=___ __.
11、当时,有意义。
12、当时,有意义.
13、当时，有意义。
14、当时，式子有意义.
15若有意义,则能取的最小整数为
二、选择题
1． 9的算术平方根是( ）
A．-3 B．3 C．±3 D．81
2．下列计算正确的是( ）
A．=±2 B．=9
C。 D。
3．下列说法中正确的是（ )
A．9的平方根是3 B．的算术平方根是±2
C. 的算术平方根是4 D. 的平方根是±2
4． 64的平方根是( ）
A．±8 B．±4 C．±2 D．±
5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）
A．4 B． C．— D．
6．下列结论正确的是（ )
A B C D

7．以下语句及写成式子正确的是（ ）
A、7是49的算术平方根，即 B、7是的平方根，即
C、是49的平方根，即 D、是49的平方根，即±
8．下列语句中正确的是（ )
A、的平方根是 B、的平方根是
C、 的算术平方根是 D、的算术平方根是
9．下列说法：（1)是9的平方根；(2)9的平方根是;(3)3是9的平方根;（4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
10．下列语句中正确的是( ）
A、任意算术平方根是正数 B、只有正数才有算术平方根
C、∵3的平方是9，∴9的平方根是3 D、是1的平方根
三、利用平方根解下列方程．
（1）（2x—1）2—169=0； （2）4（3x+1)2-1=0;

四、解答题
1、求的平方根和算术平方根。 2、计算的值

3、若,求的值.

4、若a、b、c满足，求代数式的值.

5、已知，求7（x＋y）－20的立方根.

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