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(完整word)经典讲义基本不等式
基本不等式与对勾函数
一、知识梳理
1、基本不等式的基本形式:
（1）,则，当且仅当　　　　 时取等号。
（2），则，当且仅当　　　　 时取等号。
2、公式变形：
(1)； （2）；
3、求最值：当为定值时，,有最小值；当或为定值时，有最大值（）。
4、运用基本不等式时注意深刻理解“一正"、“二定”、“三相等”的意义。
5、对勾函数的图像与性质

性质：
（1）定义域:
（2)值域：
（3)奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即
(4）图像在一、三象限
当时，由基本不等式知（当且仅当取等号），
即在x=时，取最小值
由奇函数性质知：
当x〈0时，在x=时，取最大值
（5)单调性：增区间为（），（)
减区间是(0，），（，0）

二、典型例题
例1、下列说法结论正确的是（　　）
A．的最小值是2 B．的最小值是2
C．的最小值是4 D．的最小值是5

变式1、下列结论正确的是（　　）
A．当且时，
B．时,
C．当时，的最小值为2
D．时，无最大值

例2、（1）设，，若是与的等比中项，则的最小值为( ）
A．8 B．4 C．1 D．
（2）已知，且，则的最小值为

(3）若，则的最小值为

（4）若，则的最小值为

（5）已知，则的最大值为

（6)已知，则的最大值为

（7)已知，,则的最大值为

变式2、(1）已知，且,求的最小值。

（2）已知，且，则的最小值为

（3）若，则的最小值为

（4）若,则的最小值为

（5）已知，则的最大值为

（6)已知,则的最小值为
（7）已知，，则的最大值为

例3、已知正数x、y满足,则的最小值为

变式3、已知正数x、y满足,则的最小值为

例4、（1）若，且，则的最大值为

（2）已知,且，则的最小值为

（3)已知,且，则的最小值为

变式4、（1）设是满足的正数,则的最大值为

（2）已知，且，则的最小值为

例5、若正数满足。
(1）求的取值范围 。

（2）求的取值范围。

变式5、若正数满足。
(1）求的取值范围 。

(2)求的取值范围。

例6、（1)若,则的最小值为

（2)若，且，则的最大值为

变式6、（1）若,则的最小值为

（2）若，且，则的最大值为

例7、(1）已知，则的最小值为
（2）已知，则的取值范围为

（3)已知，则的取值范围为

(4）已知，则的取值范围为

变式7、（1)已知,则的最小值为
（2）已知，则的取值范围为

(3）已知，则的取值范围为

(4）已知，则的取值范围为

例8、（1)已知，则的最小值为

（2）已知,则的取值范围为

（3）函数的最小值为
变式8、（1）已知，则的最大值为

(2)已知，则的取值范围为
（3)已知，则的取值范围为
（4）函数的最小值为
（5）函数的最小值为

例9、（1）已知正数满足，则使不等式恒成立，求的取值范围。

（2）已知不等式()≥9对任意正实数x，y恒成立,则正实数a的最小值为

变式9、(1)已知正数满足，则使不等式恒成立,求的取值范围。

(2）已知不等式（）≥4对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为

例10、（1）函数的最大值为

（2)函数的值域为

（3)函数的值域为

(4）已知 ,求函数的最小值

（5）求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为

变式10、（1）函数的最大值为

（2)函数的值域为

（3）函数的值域为

（4）已知 ，求函数的最大值

(5）已知 ，求函数的最大值

三、课后巩固
1、下列各函数中,最小值为2的是（ ）
A． B．，
C． D．
2、若x〈0,则2 + 3x + 的最大值是（ ）
A．2+4 B．2±4 C．2－4 D．以上都不对
3、下列命题中正确的是（ ）
A、的最小值是2
B、的最小值是2
C、的最大值是
D、的最小值是

4、求函数的值域

5、求函数的值域

6、求函数的最小
7、 求函数的值域

8、若时，不等式恒成立,求实数的取值范围

9、某工厂建造一个无盖的长方形贮水池，其容积为6400，深度为4m，如果池底每1
的造价为160元，池壁每1的造价为100元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总
造价为多少元？

10、正数满足。
（1)求的取值范围 。

(2）求的取值范围。

11、（1）已知，且,则的最小值为

(2）已知，则的最大值为
（3)已知，,则的最大值为

(4）已知正数x、y满足，则的最小值为

(5)已知，且，则的最小值为

12、（1）若,则的最小值为
（2）若,且,则的最大值为

13、（1)已知，则的最小值为
（2）已知，则的取值范围为

（3)已知，则的取值范围为

(4)已知，则的取值范围为
（5)已知，则的取值范围为
（6）函数的最小值为
（7）已知，则的最大值为

14、已知正数满足，则使不等式恒成立,求的取值范围.

15、(1)函数的最大值为
(2）函数的值域为

（3）已知 ，求函数的最小值

(4)求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为