定积分方法和应用(二).doc

定积分方法和应用(二)

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例3 求由曲线 及 轴所围图形的面积。

解 画草图,曲线 与 的交点是 ，取 为积分变量,
 时, ，
 时， ，
所以，
例4 求由圆 与直线 及曲线 所围图形的面积。
解 画草图,取 为积分变量，  

例5 求抛物线 与其在点 处的法线所围成图形的面积。
解 先求出法线方程 ，画出草图,再求出法线与抛物线的两个交点
   ，所以，

例6 求曲线 的一条切线,使得该切线与直线 及曲线 所围成的图形的面积 A 为最小。
解(1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点

坐标间的函数关系。设 为曲线 上
任一点，则此点处的切线方程为  ,
于是所求面积
=
（2)下面求 A 的最小值：
令 得 。又当 ，时 ；当 时,
。
故当 时，A 取极小值，也是最小值，从而得到切线方程

参数方程的情形
按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。
由连续曲线 ， 轴及直线 、
所围图形的面积为             
其中
例7 求摆线 的一拱 与 轴所围成的平面图形的面积。
解 如图，对应与图中摆线的一拱， 的变化范围为 ,参数 t 的变化
范围为 .故所求面积为

=
2. 极坐标情形
设曲线的极坐标方程为

连续，由曲线 及射线
 所围曲边扇形的面积
为 
(记住)
例8 求双纽线 所围成的平面图形的面积. 

解 由于双纽线的图形和极轴与极点都对称,因此只需求出区间 上部分面积再 4 倍即可

1。 平行截面面积已知的立体体积
设空间立体 被垂直于 轴的平面所截，截面面积为 ，且立体在 之间，则体积元素 ，立体体积

 例9 一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角 ,计算这平面截圆柱体所得立体的体积。
 解 取这平面与圆柱体的底面的交线

 为 轴，底面上过圆中心、且垂直于 轴的直线为 轴。
（见图）则底圆的方程为 .
 立体中过点 且垂直于 轴的截面是一个直角三角形.它的两条直角边的
 长分别为 及 ，即 及 。
 因而截面积 ，所求体积为

2。 旋转体的体积
（1）由连续曲线

 轴所围曲边梯形绕 轴旋转一周所成
 旋转体，其体积：取 为积分变量，
 对应于  ，体积元素

  故：
 （2)由连续曲线

  轴所围曲边梯形绕 轴旋转一周所 
  成旋转体,其体积:取 为积分变
  量,对应于  ，体积元素

  故:

例10 设曲线
所围成的平面图形为 D.试求 D 绕 旋转
而成的旋转体的体积。
    解 所求为 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积， 由公式

例11 求摆线 ， 的一拱与 围成的图形分别绕 轴、 轴旋转一周而成的旋转体体积。
解

（1) 绕 轴：

(2） 绕 轴：为如图两部分体积之差

例12 设由曲线 与直线 围成平面图形
求（1）此平面图形的面积；（2)此平面图形绕 轴旋转所成的旋转体体积.
解 作图，求交点：解 ;

解
（1）面积：

(2）体积：

1. 直角坐标的情形 
设 具有一阶连续导数，求此曲线对应于 之间弧长:
取 为积分变量，对应于 ，弧长元素（弧微分）为

故：
（注: ， 弧长为正，所以积分中
 参数大的做为上限值,小的作为下限
 值）以下同。
2。 参数方程的情形
设 具有一阶连续导数,求曲线 对应于

之间的弧长:弧长元素(弧微分）
故：
直角方程是参数方程的特殊情况，即： , ， 为参数。
3。 极坐标的情形
设曲线方程为 具有一阶连续导数，求此曲线对
应于 之间的弧长:弧长元素（弧微分） ，
故：
例13 求抛物线 由顶点到点 的一段弧的长度。
解 直接用公式

，

令

    例14 计算摆线 的一拱 的长度.

解 由公式：

例15 求心形线 的全长，其中 。

解  ,由公式:

由对称性: