数值线性代数(徐树芳老师)答案.doc

习题1
１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法.
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T

我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量.为此我们将T按列分块如下：

注意到

我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程

便可求得
[注意] 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵.这样，我们便得到如下具体的算法：
算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）

２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组.
[解] 因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法.于是对该问题我们有如下解题的步骤：
（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：
算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法.该算法的的运算量为）

（2）计算上三角矩阵.运算量大约为.
（3）用回代法求解方程组：.运算量为；
（4）用回代法求解方程组：运算量为.
算法总运算量大约为：
３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换.
[解] 按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换.下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵.事实上

注意到，则显然有从而有

４．确定一个Gauss变换L，使

[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍.于是Gauss变换如下

５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的.
[证明] 设 ，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵.因为A非奇异的，于是

注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵.因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵.即，
从而

即A的LU分解是唯一的.
６．设的定义如下

证明A有满足的三角分解.
[证明] 令 是单位下三角阵，是上三角阵.定义如下

容易验证：
７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式

证明仍是对称阵.
[证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为

其中，将A分块为

那么

即

由A的对称性，对称性则是显而易见的.
８．设是严格对角占优阵，即A满足

又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式

试证：矩阵仍是严格对角占优阵.由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果.
[证明] 依上题的分析过程易知，题中的

于是主对角线上的元素满足
（1）
非主对角线上的元素满足

由于A是严格对角占优的，即故

从而
（2）
综合（1）和（2）得

即，矩阵仍是严格对角占优阵.
９．设有三角分解.指出当把Gauss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b？需要多少次乘法运算？
[解] 用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U.而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即

如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有

这就是说，方程组和是同解方程.而后者是上三角形方程组，可运用本章算法1·1·2求解.这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组.算法如下：
（1）用初等变换化；

（2）利用回代法求解方程组.
该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为

10．A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为

的矩阵，证明仍是正定阵.
[证明] 不妨设

从而有

由于非奇异，故对且，构造，及，则由A的正定性有

由x的任意性知，正定.
11．设

并且是非奇异的.矩阵

称为是在A中的Schur余阵.证明：如果有三角分解，那么经过步Gauss消去以后，S正好等于（1·1·4）的矩阵
[证明] 因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成.即有如下单位下三角矩阵

使

注意到

比较两式便知，，故有

12．证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则对任意有
[证明] 略.
13．利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法.
[解] 设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到

这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵.于是，通过求解下列n个方程组

便可求得

于是

也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：
（1）用列主元Gauss消去法得到：；
（2）经求解：得；
（3）对X进行列置换得：.
14．假定已知的三角分解：A=LU.试设计一个算法来计算的（i，j）元素.
[解] 求解方程组

则x的第i个分量就是的（i,j）元素.
15．证明：如果是严格对角占优阵（参见第8题），那么A有三角分解A=LU并且
[证明] 仿照第8题的证明，容易证明：对于是严格对角占优阵，经过一步Gauss消去后，得到

其中仍是严格对角占优阵.A的三角分解A=LU中
这样，我们在对A进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元.因此，
16．形如的矩阵称作Gauss-Jordan变换，其中.
（1）假定非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式.
（2）向量满足何种条件才能保证存在使得?
（3）给出一种利用Gauss-Jordan变换求的逆矩阵的算法.并且说明A满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底.
[解] 为解决本问题，我们引入Gauss-Jordan变换的两个性质：
性质1： .
事实上，

性质2：Gauss-Jordan变换非奇异的充分必要条件是.
（1）运用待定法，首先设的逆矩阵为，则有

故应有

（2）欲使，则应有

即

因此，应满足，便可按上述方法得到使得.
（3）设A的逆矩阵，则应有

下面我们给出利用Gauss-Jordan变换求解方程组的计算方法.算法如下：假定A的各阶主子阵非零，记
第1步：假若，令，构造，用左乘和，得到

其中

第2步：假定，令，构造，用左乘和，得到

其中

照此下去，直到第n步：假定 ，，构造，用左乘和，得到

经上述n步，我们得知：

故

从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保证：我们可以仿照定理1.1.2给出下列定理.
定理：的充分必要条件是矩阵的各阶顺序主子阵非奇异.
[证明] 对于用归纳法.当时，，定理显然成立.假定定理直到成立，下面只需证明：若非奇异，则非奇异的充要条件是即可.由归纳假定知因此，Gauss-Jordan约化过程至少可以进行步，即可得到个Gauss-Jordan变换使
（16-1）
由此可知的阶顺序主子阵有如下形式

若将的阶顺序主子阵分别记为，则由（16-1）知

注意到 所以

即非奇异的充要条件是
17．证明定理1·3·1中的下三角阵L是唯一的.
[证明] 因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异.为证明L的唯一性，不妨设有和使

那么

注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵.因此，只能是对角阵，即

从而

于是得知

18．证明：如果A是一个带宽为2m+1的对称正定带状矩阵，则其Chelesky因子L也是带状矩阵.L的带宽为多少？
[证明] 带宽为2m+1的矩阵的认识：当m=1时，2m+1=3，该带宽矩阵形为：

对m为任意一个合适的正整数来说，带宽为2m+1的矩阵元素有如下特征：

结合这一特征，对于带宽为2m+1的对称正定带状矩阵Ar的Colicky分解算法，可改写成下列形式：

从算法不难看出：Colicky因子L是下三角带状矩阵，L的带宽为m+1.
19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主子阵正好是A的i阶顺序主子阵的Cholesky因子.
[证明] 将A和L作如下分块

其中：为矩阵A和L的i阶顺序主子阵..显然

故有.即是的Colicky分解.
20．证明：若是对称的，而且其前个顺序主子阵均非奇异，则A有唯一的分解式

其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵.
[证明] 先证明存在性.根据定理1·1·2知，存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU，且U的主对角线上元素除外，其余都不为零.令，则有单位上三角阵使，即有

又因为，则

从而根据L和的可逆性知：

该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵.因此它们等于对角阵.再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵.因此两端都等于D.于是

从而有

再证唯一性.令，故有.左边为下三角阵，右边为上三角阵，故等于对角阵.又因，故.
21．给出按行计算Cholesky因子L的详细算法.
[解] 略.
22．利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法.
[解] 算法可分为以下几个步骤：
（1）首先利用算法1·3·2计算出正定矩阵的如下分解

其中，L是单位下三角阵，D是对角阵.
（2）求解矩阵方程

其解矩阵.
（3）求解矩阵方程

其解矩阵
（4）求解矩阵方程

其解矩阵
[注意] 以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常简单的方程组，算法实现起来很容易.
23．设

用平方根法证明A是正定的，并给出方程组的解.
[解] 由Colesky分解可得

其中

显然，L是非奇异矩阵.因此，对.于是

所以是正定的.
由方程组，解得，再由方程组，解得
24．设是一个正定Hermite矩阵，其中
证明：矩阵

是正定对称的.
试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组

[解] 既然是正定的，又对，有，且.且注意到

显然H正等价于A、B正定.
对，则有

由前面的讨论，知道若H是正定的，则A是正定的，故矩阵C是正定的.
由于

于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组

其矩阵形式为：

由（1）得知系数矩阵正定，故该方程可采用平方根算法求解.
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