第六章--实数(知识点+知识点分类练习).doc

实 数
【知识要点】
被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如.
一、算数平方根
算数平方根的定义：一般的，如果一个非负数x的平方等于a，即x2=a ， （a≥0） ，那么这个非负数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为  ，读作“根号a”，a叫做被开方数。求一个正数a的平方根的运算叫做开平方。 
注意：
1.0的算术平方根是0
2.被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数都成立）。
3.一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
4.负数在实数系内不能开平方。
二、平方根
平方根的定义：如果一个数x的平方等于，即x2=a，那么这个数x就叫做的平方根，求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方根的性质：一个正数有2个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算数平方根； 0只有1个平方根，它是0；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
三、立方根
立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根，求一个数的立方根的运算叫做开立方，a的立方根记为 3a 读作“三次根号a”，其中a是被开方数。
立方根的性质：每个数a都只有1个立方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
四、实数
1.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
2.实数的定义： 有理数和无理数统称实数。
3.实数的分类：

像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：

4.实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。
5.有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义相同。
五、实数的运算：
1.实数的加、减、乘、除、乘方运算和有理数一样，而且有理数的运算律对无理数仍然适用。
2.两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为
六、题型规律总结：
1、本身为非负数，有非负性，即≥0；有意义的条件是a≥0。
2、公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何数）。
3、区分()2=a（a≥0），与 =
4.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

实数考点分析应用
考点1 平方根、立方根的定义与性质
1.下列语句中，正确的是（　 ）
A.一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B.负数没有立方根
C.一个实数的立方根不是正数就是负数 D.立方根是这个数本身的数共有三个
2.下列说法正确的是（　　）
A.-2是（-2）2的算术平方根 B.3是-9的算术平方根
C.16的平方根是±4 D.27的立方根是±3
3.下列说法中正确的是（ ）
A.9的平方根是3 B.的算术平方根是±2 C.的算术平方根是4 D.的平方根是±2
4.以下语句及写成式子正确的是（ ）
A.7是49的算术平方根，即 B.7是的平方根，即
C.是49的平方根，即 D.是49的平方根，即
5.下列语句中正确的是（ ）
A.-9的平方根是-3 B.9的平方根是3 C.9的算术平方根是±3 D.9的算术平方根是3
6.下列语句不正确的是（ ）
A.0的平方根是0 B.正数的两个平方根互为相反数
C.－22的平方根是±2 D.a是a2的一个平方根
7.下列语句中正确的是（ ）
A.任意算术平方根是正数 B.只有正数才有算术平方根
C.∵3的平方是9，∴9的平方根是3 D.是1的平方根
8.下列结论正确的是（ ）
A.的立方根是 B.没有立方根 C.有理数一定有立方根 D.（－1）6的立方根是－1
9.下列结论正确的是（ ）
A.64的立方根是±4 B.是的立方根
C.立方根等于本身的数只有0和1 D.
10.下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。其中正确的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.下列说法：(1)是9的平方根；(2)9的平方根是；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.4个
12.9的算术平方根是（ ）
A.-3 B.3 C.±3 D.81
13.64的平方根是（ ）
A.±8 B.±4 C.±2 D.±
14.4的平方的倒数的算术平方根是（ ）
A.4 B. C.- D.
15.下列计算正确的是（ ）
A.=±2 B.=9 C. D.
16.下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
17.若m是9的平方根，n=（）2，则m、n的关系是（ ）
A.m=n B.m=－n C.m=±n D.｜m｜≠｜n｜
18.已知，，则a的值为（　　　）
A.0.528 B.0.0528 C.0.00528 D.0.000528
19.一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是（ ）
A.a＋8 B.a－4 C.a2－8 D.a2＋8
20.已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是　 　
21.一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=__ _，x=__ __
22.一个正数x的平方根是2a3与5a，则a的值为____________．
23.若 ，则a______0
24.若有意义，则x的取值范围是
25.若有意义，则a能取的最小整数为
26.当时，有意义。
27.当x 时，有意义。
28.当x 时，式子有意义。
29.如果=a-3，则a的取值范围是 ；
30.如果=3-a,则a的取值范围是
31.中的x的取值范围是______，中的x的取值范围是______．
32.若则x与y的关系是______．
33.如果那么（a－67）3的值是______．
34.若则x＝______．
35.若m＜0，则______．
36.求下列各式的值
（1）； （2）； （3）； （4）

37.求的平方根和算术平方根。

38.求下列各式中未知数x的值（每小题4分，共8分）
（1）16x2-25=0 （2）（x-1）3=8 （3）2x-1）2-169=0；

（4）4（3x+1）2-1=0； （5）x3-27 =0 （6）2（x+3）3=512

考点2 实数的分类与性质
1.判断下列说法是否正确。
（1）实数不是有理数就是无理数。 （ ） （2）无限小数都是无理数。 （ ）
（3）无理数都是无限小数。 （ ） （4）根号的数都是无理数。 （ ）
（5）两个无理数之和一定是无理数。（ ） （6）实数是由正实数和负实数组成。（ ）
（7）0属于正实数。 （ ） （8）数轴上的点和实数是一一对应的。（ ）
（9）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是0或1．（ ）（10）若则（ ）
（11）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。 （ ）
2.下列说法正确是（　　　）
A.不存在最小的实数　　B.有理数是有限小数 C.无限小数都是无理数　 D.带根号的数都是无理数
3.下列说法错误的是（ ）
A.实数都可以表示在数轴上 B.数轴上的点不全是有理数
C.坐标系中的点的坐标都是实数对 D.是近似值，无法在数轴上表示准确
4.下列说法正确的是（ ）
A.无理数都是无限不循环小数 B.无限小数都是无理数
C.有理数都是有限小数 D.带根号的数都是无理数
5.如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（ ）
A.±1 B.0和1 C.0和－1 D.0和±1
6.下列说法正确的是（ ）
A.正实数和负实数统称实数 B.正数、零和负数统称为有理数
C.带根号的数和分数统称实数 D.无理数和有理数统称为实数
7.下列说法正确的是（ ）
A.数轴上任一点表示唯一的有理数 B.数轴上任一点表示唯一的无理数
C.两个无理数之和一定是无理数 D.数轴上任意两点之间都有无数个点
8.已知a、b是实数，下列命题结论正确的是（ ）
A.若a＞b，则a2＞b2 B.若a＞｜b｜，则a2＞b2 C.若｜a｜＞b，则a2＞b2 D.若a3＞b3，则a2＞b2
9.把下列各数中，有理数为 ；无理数为 。

10.下列各数中：其中有理数有_______________ _________；无理数有___________ ____________。
－，，3.14159, －π,,－,0,0.,,,2.121122111222…
11.把下列各数填入相应的集合：
－1、、π、－3.14、、、、．
（1）有理数集合｛ ｝；（2）无理数集合｛ ｝；
（3）正实数集合｛ ｝；（4）负实数集合｛ ｝．
12.估计的大小应在（ ）
A.7～8之间 B.8.0～8.5之间 C.8.5～9.0之间 D.9～10之间
13.大于而小于的所有整数为
14.大于-，小于的整数有______个。
15.比较大小，填＞或＜号： 11； ．
16.比较大小：（1）（2）
17.绝对值小于的整数有____________．
18.满足的整数是 ．
19.写出符合绝对值小于的所有整数．

20.已知M是满足不等式的所有整数a的和，N是满足不等式的最大整数．求M＋N的平方根．

考点3 实数的运算
1.化简得（ ）
A.－2 B. C.2 D.
2.下列计算中，正确的是（ ）
A.2+3=5 B.（+）·=·=10
C.（3+2）（3－2）=－3 D.（）()=2a+b
3.若（x+1）2-1=0，则x的值等于（ ）
A．±1 B.±2 C.0或2 D．0或-2
4.＝ ____________
5.｜3.14－π｜＝______；______．
6.若m、n互为相反数，则＝_________
7.若则x＝______；若则x＝______．
8.当a______时，｜a－2 |＝a－2．
9.如果｜a｜＝－a，那么实数a的取值范围是______．
10.已知｜a｜＝3，且ab＞0，则a－b的值为______．
11.已知b＜a＜c，化简｜a－b｜＋｜b－c｜＋｜c－a｜＝______．
12.若=25,=3,则a+b=　 　
10． 11．

12．

13.求下列各式的值：
（1）3 （2） （3） （4）

14.化简（1）－3 （2）×+5 （3） (2－) （4）

15.计算：（1） （2）

（3） （4）（

16.计算

17.已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（－a）3＋（b＋3）2的值．

18.用铁皮制成一个封闭的正方体，它的体积是1.331立方米，需要多大面积的铁皮才能制成？

19.已知，求7（x+y）-20的立方根。

20.若xy=－,x－y=5－1,求(x+1)(y－1)的值。

21.已知2a－1的平方根是±3，3a+b－1的平方根是±4，求a+2b的平方根.

考点4 非负数
1.已知，为实数，且，则的值为（ ）.
A.3 B.－3 C.1 D.－1
2.（成都市）已知，那么的值为 ．
3.已知实数x，y满足 +(y+1)2=0，则x-y等于
4.若,则x=________，y=________.
5.已知求x＋y的值．

6.若，求的值。

7.若a、b、c满足，求代数式的值。

考点5 数形结合题
1.如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）

A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
Ａ
Ｂ

2.（江西省）在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 ．

3.已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a－b｜－｜a＋b｜
b
a
0

4.数a,b在数轴上的位置如图：b
a

C
0
化简：+|c+a|

5.已知位置如图所示，化简 ：

考点6 探究题
1.观察下列式子，根据你得到的规律回答：=3；= 33；=333；…….请你说出的值是 ．
2.（1）计算,,,,,。
（2）根据（1）中的计算结果可知，一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来。
（3）利用上述规律计算：= 。
3.阅读下列解题过程：

请回答下列问题：
（1）、观察上面的解题过程，请直接写出式子：
（2）、利用上面所提供的解法，请化简：
分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。
解：（1）。
（2）原式==。
说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。
4.阅读下列材料，然后回答问题。　
在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝； ①
＝； ②
＝＝ ③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简：
＝ ④
（1）请用不同的方法化简：
A：参照③式得＝__________________； B：参照④式得＝___________________。
（2）化简：

5.观察
， 即；
即；猜想：等于什么，并通过计算验证你的猜想。

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