专项练习：菱形的判定.doc

菱形的判定
一、选择题
1. 下列条件能判断四边形是菱形的条件是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．对角线互相垂直且平分
2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（　　）
A．矩形．　　　　B．菱形．　　　　C．矩形和菱形．　　　D．正方形．
3. 满足下列（ ）的是菱形．
A．两对角线相等
B．两对角线垂直
C．两条对角线垂直且互相平分
D．两条对角线相等且互相垂直
4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（ ）
A．等腰梯形 B．矩形 C．对角线相等 D．菱形
5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（　　）
A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．菱形
6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（　　）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定
8. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．
B．
C．时，它是菱形
D．当时，它是矩形
二、填空题
9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是 ．
10. 在四边形中，对角线、交于点，从（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）平分这六个条件中，选取三个推出四边形是菱形．如（1）（2）（5）是菱形，再写出符合要求的两个：　　　　　是菱形；　　　　　　　　　　　　　是菱形．
11. 延长等腰顶角平分线到使，连结，则四边形是_________形．
12. 对角线__________的四边形是菱形．
13. 将矩形ABCD绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A与B重合，得矩形BFDE，BF交AD于M，DE交BC于N，则四边形BMDN是______（填特殊四边形的名称）．
三、证明题
14. Ｏ
Ｄ
Ｇ
Ｈ
Ａ
Ｃ
Ｆ
Ｂ
Ｅ
已知，如图，从菱形对角线的交点分别向各边引垂线，垂线分别是，，，．
求证：四边形是矩形．

15. 已知四边形的四边分别为，，，，且满足，求证：四边形是菱形．

16. 已知是对角线相交于，如图，且，
，你能说明四边形是菱形吗？
Ａ
Ｏ
Ｃ
Ｄ
Ｂ

17. 如图所示，中，，的角平分线交于点，交于，于，四边形是菱形吗？
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｈ
Ｅ
Ｆ

18. 如图，在五边形中，．请说明：四边形是菱形．
Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ

Ｏ
Ａ
Ｅ
Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
19. 如图，在中，是的平分线，垂直平分交于，交于，求证：四边形是菱形．

20. 如图，矩形中，是两对角线的交点，垂直平分线段，垂足为，垂直平分线段，垂足为．
求证：（1）是等边三角形；
（2）四边形是菱形．
Ａ
Ｄ
Ｈ
Ｇ
Ｃ
Ｆ
Ｅ
Ｏ
Ｂ

21. 如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与，的延长线分别交于，．
（1）求证：；
Ａ
Ｆ
Ｄ
Ｃ
Ｏ
Ｅ
Ｂ
（2）当与满足什么条件时，四边形为菱形？并证明你的结论．

22. 如图所示，是Rt△斜边上的高，的平分线交于，交于，的平分线交于．求证：四边形为菱形．
Ａ
Ｅ
Ｃ
Ｎ
Ｄ
Ｂ
Ｍ
Ｏ

23. 如图所示，在四边形中，对边，，，，分别是，，，的中点，求证：．
A
M
D
P
C
N
B
Q

24. A
P
Ｅ
Ｂ
Ｑ
Ｃ
Ｍ
Ｄ
Ｎ
如图，四边形中，点在上，且△与△都是正三角形，点，，，分别为边，，，的中点．求证：四边形为菱形．

25. 如图，四边形中，，为中点，且与的平行线交于，求证：四边形为菱形．
Ａ
Ｄ
Ｍ
Ｎ
Ｂ
Ｃ

26. 如图Rt△中，，于，平分交于，交于，于，求证：四边形为菱形．
Ｃ
Ａ
Ｇ
Ｄ
Ｆ
Ｂ
Ｅ

27.

的对角线的垂直平分线与边分别交于，求证：四边形是菱形．

28. 已知：如图，过的对角线交点作互相垂直的两条直线与平行四边形各边分别相交于点．
求证：四边形是菱形．

29. 如图，在中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．

四、应用题
30. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由．

参考答案
一、选择题
1. D
2. B
3. C
4. C
5. D
6. C
7. B
8. B
二、填空题
9. 菱形
10. (1)(2)(6)　　(3)(4)(5)[或(3)(4)(6)]
11. 菱
12. 互相平分且垂直
13. 菱形
三、证明题
14. 先证四边形为平行四边形，再证．
15. 解：因为，所以，所以

所以
由非负数性质得，，，，
，，．
所以．
所以四边形是菱形．
16. 解：四边形是平行四边形，．
．
又．

是菱形．
17. 解：四边形是菱形．理由如下：

．
即：．
又是角平分线，
，
且

四边形是平行四边形，又因．
四边形是菱形．
18. 提示：只需证四边形为平行四边形，只需证明，过作经证即可．
19. 垂直平分，，，
平分，，，，故四边形是菱形．
20. （1）可证，，．
垂直平分，，故为等边三角形．
（2）在等边中，，，
可证明，，，
可证明四边形是平行四边形，而，故四边形是菱形．
21. （1）在矩形中，，，，又，．
（2）当与垂直时，四边形为菱形．
证明：，．
又，四边形为平行四边形．
又，四边形为菱形．
22. 证明：设与交于点，因为是Rt△斜边上的高，
所以．
又，分别平分和，
所以．
所以在Rt△中，，△是等腰三角形，平分，
又因为，，
所以Rt△Rt△，，即垂直平分，四边形是菱形．
23. 证明四边形是菱形即可．
24. 连结，，△与△都是正三角形，，，，证△△（），又，，，分别为各边中点，得，.四边形为菱形．
25. 设与交于，易证，再证△△，从而，又由，可证得四边形为菱形．
26. 易证，而且，又为菱形．
27. 证明：垂直平分，，，，．，，．，，，，四边形是菱形．

28.略
29. 先证明四边形AFCE为平行四边形，再由AC⊥EF即可得证．
四、应用题
30. 添加的条件是：．
理由略．

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