正多边形和圆—巩固练习(提高).doc

正多边形和圆—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1.如果正多边形的一个内角是144°，则这个多边形是( )．
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
2．将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 ( )
A． B．cm2 C．cm2 D．cm2
3．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， BC∥QR，则∠AOQ=（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°

P
D
R
C
Q
B
O
A

第3题 第5题
4．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是( )．
A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
5. 如图所示，八边形ABCDEFGH是正八边形，其外接⊙O的半径为，则正八边形的面积S为（ ）．
A. B. C. 8 D.4
6．先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．

二、填空题
7．一个正方形与圆有相等的周长，则圆面积与正方形的面积比为________．
8．如图所示，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为________．

9．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ：：1．
10．阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．
例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．
回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；
（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．
这两个圆的圆心距是 cm.

11．如图所示，有一个圆O和两个正六边形T1、T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b， 圆O的半径为r，则r:a= ； r:b= ；
（2）正六边形T1，T2的面积比S1:S2的值是 ．

第11题图 第12题图
12．如图所示，已知正方形ABCD中，边长AB＝3，⊙O与⊙O′外切且与正方形两边相切，两圆半径为R、r，则R+r= ．

三、解答题
13. 如图，用三个边长为1的正方形组成一个轴对称图形，求能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径.

14．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．

（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

15．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等.
（1）设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180-m|.于是，|180-m|越小，该正n边形就越接近于圆，
①若n=20，则该正n边形的“接近度”等于 18；
②当“接近度”等于 0 时，正n边形就成了圆．
（2）设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为|R-r|，于是|R-r|越小，正n边形就越接近于圆.你认为这种说法是否合理？若不合理，请给出正n边形“接近度”的一个合理定义．

【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】A；
【解析】，，∴ ．
2．【答案】A；
【解析】所得正六边形边长为1，∴ ．
3．【答案】D；
【解析】易求∠POQ=120°，∠AOP=45°，则∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°.
4.【答案】A；
【解析】如图（1），∵ AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°，∴ OD＝．
∴ ．

如图（2），∵ AB＝AC＝3，∴ S4＝3×3＝9．
如图（3），∵ CD＝2，∴ OC＝2，CM＝1，
∴ OM＝．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，故选A．
5．【答案】B；
【解析】连接OA、OB，过A作AM⊥OB于M，
∵ ，
∴ △AOM是等腰直角三角形．
又，∴ AM＝1，
∴ ，
∴ ，
6．【答案】A．
【解析】由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边长的比为，
即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为×=1；
做第二次后的正方形的边长为；
依次类推可得：第n个正方形的边长是（）n-1，
则做第7次后的圆的内接正方形的边长为．
故选A．

二、填空题
7．【答案】 ；
【解析】 设正方形边长为a，则周长为4a，面积为，圆周长也为4a，则，
∴ ，∴
∴ ．
8．【答案】；
【解析】图中阴影部分面积等于圆的面积减去正六边形的面积．
∵ ，
，
∴
9．【答案】：：1；
【解析】设圆的半径为R，

如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R，（或由勾股定理求）
故BC=2BD=R；
如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=，
故BC=R；
如图（三），连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA•cos60°=R，AB=2AG=R，（或由勾股定理求）
故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R=：：1．
10．【答案】（1）；（2）；（3）；1.
【解析】（1）以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r的最小值=；
（2）边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB=1，BD=，
因为三角形是正三角形，
所以∠ABC=60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD=OB，
设OA=OB=x，则OD=x，
在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：x2=（）2+（x）2，
解得：x=．

（3）如图：矩形ABCD中AB=1，BC=2，则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r=，两圆心距=1．
11．【答案】（1）r:a＝1:1；；（2）．
【解析】如图所示．
（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形，所以r:a＝1:1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以．
（2）T∶T的边长比是∶2，所以S∶S= .
所以．

12.【答案】；
【解析】连结OA、OO′、.（如图所示）
∵⊙O与AB，AD相切，⊙O′与BC,CD相切，
∴OA平分∠BAD,O′C平分∠BCD, ∴∠BAO=∠BCO′=45°，
若连结AC,则∠BAC=45°，∴直线OO′与直线AC重合，
设⊙O切AB、AD于E、F，⊙O′切BC、CD于G、H．
∵⊙O与⊙O′互相外切，∴OO′＝R+r．
连接OF、OE、、，则．
同理，
∴ ．
又∵，∴ ，
∴ ．

三、解答题
13.【答案与解析】
由题意得圆心O应该在下面两个正方形的相交边上面．延长CD交HL于K，连结OH、OB，（如图）
设定圆心与上面正方形的距离为OD=x，则BC2+OC2=OB2，OK2+HK2 =OH2，
因为OB=OH，所以BC2+OC2= OK2+HK2，
则可以列方程为1+（1-x）2=（1+x）2+0.52，（两边都是圆半径的平方）
解上面的方程得，x=；
所以能将其完全覆盖的圆的最小半径R2=1+（1-x）2，R=．

14.【答案与解析】
（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
15.【答案与解析】
（1）①∵正20边形的每个内角的度数m==162°，
∴|180-m|=18；
②当“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．
（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的正n边形来说，它们接近于圆的程度是相同的，但|R-r|却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为、越小，正n边形越接近于圆；越大，正n边形与圆的形状差异越大；当=1时，正n边形就变成了圆．