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第一章 质点运动学1-1质点作曲线运动，在时刻质点的位失为，速度为，速率为，至（）时间内的位移为，路程为，位失大小的变化量为（或称），平均速度为，平均速率为。（1）根据上述情况，则必有（ B ）（A）（B），当时有（C），当时有（D），当时有（2）根据上述情况，则必有（ C ）（A） （B）（C） （D）1-2 一运动质点在某瞬时位于位失的端点处，对其速度的大小有四种意见，即（1）；（2）；（3）；（4）下述判断正确的是（ D ）（A）只有（1）（2）正确；（A）只有（2）正确（A）只有（2）（3）正确；（A）只有（3）（4）正确1-3 质点作曲线运动，表示位置矢量，表示速度，表示加速度，表示路程，表示切向加速度。对下列表达式，即（1）；（2）；（3）；（4）下述判断正确的是（ D ）（A）只有（1）（4）是对的；（A）只有（2）（4）是对的（A）只有（2）是对的；（A）只有（3）是对的1-4一个质点在做圆周运动时，则有（ B ）（A）切向加速度一定改变，法向加速度也改变（B）切向加速度可能不变，法向加速度一定改变（C）切向加速度可能不变，法向加速度不变（D）切向加速度一定改变，法向加速度不变1-5有一质点作直线运动，其运动方程为x=6t2-2t3 (SI制)，试求：(1) 第二秒内的平均速度；(2) 第三秒末的速度；(3) 第一秒末的加速度；(4) 质点作什么类型的运动？解：(1)先求出质点在第二秒内的位移。由运动方程可知 t=1s，x1=612-213=4mt=2s，x2=622-223=8m 第二秒内的平均速度为: (2)把位移对时间求导，即得质点的速度 把t=3s代入上式，可得第三秒末的速度为 (3)把速度对时间求导，即得质点的加速度 把t=1s代入上式，可得第一秒末的加速度为 a=12-121=0m/s2 (4)质点作变加速直线运动。1-6已知一质点的运动方程为（SI制）。(1) 求出，和时质点的位矢；(2) 求出末和末的速度； (3) 求出加速度。解：（1）时 m，时 m （2）质点的运动的速度m/s：时 m/s， 时 m/s （3）质点运动的加速度m/s21-7一质点沿y轴作直线运动，其速度大小，单位为SI制。质点的初始位置在y轴正方向10处，试求：（1）时,质点的加速度；（2）质点的运动方程。解：根据题意可知，时，（1） 质点在时的加速度为（2） 质点的运动方程y为，两边积分 ，因此 1-8某质点在xoy平面上作加速运动，加速度。在零时刻的速度为零，位置矢量。试求：（1） 时刻的速度和位矢；（2） 质点在平面上的轨迹方程。解：（1）时刻的速度为，积分得 因此 ； 时刻的位矢为积分得，因此（2）由的表达式可得质点的运动方程 消去两式中的，便得轨迹方程 1-9一质点具有恒定加速度，在t=0时，其速度为零，位置矢量为。求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在xOy平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。解：（1）由可得： 两边积分：注意到：可得： 又由可得两边积分：注意到：可得：（2）由运动学方程可得其分量式为： 消去 t ，得 ，它为直线方程，如左图所示。这里由 可得： 1-10一汽艇以速率沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度 成正比且方向相反的加速度，其中为常数。求发动机关闭后，（1） 在时刻汽艇的速度；（2） 汽艇能滑行的距离。解：本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。（1）因为， 可得，所以，积分得 ，即： （2）因为 ，所以 ，发动机关闭后汽艇能滑行的距离为。 如利用进行计算，的积分上下限取与0，可得同样结果。想一想其合理性。1-11一物体沿X轴作直线运动，其加速度，是常数。在时，。（1）求速率随坐标变化的规律；（2）求坐标和速率随时间变化的规律。解：本题注意变量变换。（1） 因为，所以 得，即 （2）因为，所以可得 又因为 ，所以，可得 1-12潜水艇在下沉力不大的情况下，自静止开始以加速度竖直下沉(A，为恒量)，求任一时刻的速度和运动方程。解：以潜水艇开始运动处为坐标原点，竖直向下为正方向。按质点运动的加速度的定义式有 根据题目的初始条件，积分 可得潜水艇在任意时刻的速度为 再根据速度的定义式 得 积分 得潜水艇在任意时刻的位置坐标，即运动方程为 1-13已知质点作半径为的圆周运动，其角位置与时间的关系为(其中的单位为，的单位为)。试求：（1）当时，角速度和角加速度；（2）当时，切向加速度和法向加速度。解：（1）质点的角速度及角加速度为，当时， ， （2）质点的切向加速度和法向加速度为，当时，1-14一球以30m.s-1的速度水平抛出，试求5s钟后加速度的切向分量和法向分量。解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为 将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为 因而小球在t时刻速度的大小为故小球在t时刻切向加速度的大小为由因为小球作加速度a=g的抛体运动，所以在任意时刻，它的切向加速度与法向加速度满足：且互相垂直。由三角形的关系，可求得法向加速度为：代入数据，得 ， 在计算法向加速度时，可以先写出它的轨迹方程，再算出曲率半径和速度大小，最后算出法向加速度。但是这样计算是相当复杂的。在本题中，已经知道总的加速度和切向加速度，可以利用它们三者之间的关系求解。1-15如图所示，一卷扬机的鼓轮自静止开始作匀角加速度转动，水平绞索上的点经3s后到达鼓轮边缘点处。已知m，鼓轮的半径为m。求到达最低点时的速度与加速度。解：点的加速度也为卷扬机边缘的切向加速度，由以及可得：m.s-2 设到达最低点的速度为，于是 ： m.s-1方向为沿点的切向方向向左。 m.s-2m.s-2，1-16一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2m的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动的时间的平方成正比，即（SI制）。式中为常数。已知质点在第2秒末的线速度为32m/s，试求0.50s时质点的线速度和加速度。解：由已知， 所以，当， m/s，m/s2， m/s2 m/s2，1-17一无风的雨天，以20ms-1匀速前进的汽车中一乘客看见窗外雨滴和垂线成角下降。求雨滴下落的速度。（设雨滴看作匀速下降）解：十分简单的一个相对运动问题。分清合速度和分速度即可。 m.s-1 1-18一人能在静水中以1.10的速度划船前进。今欲横渡一宽为，水流速度为0.55的大河。（1）他若要从出发点横渡该河面到达正对岸的一点，那么应如何确定滑行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短时间过河，应该如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？解：（1）由可知，则船到达正对岸所需时间为 （2）由于，在划速一定的条件下，只有当时，最大（即），此时，船过河时间，船到达距正对岸为的下游处，且有 6