大一下册高数习题册答案第9章.doc

第9章 多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念
一、设.

二、求下列函数的定义域：
1、
2、
三、求下列极限：
1、 （0）
2、 ()
四、证明极限 不存在.
证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着趋于（0，0）时，极限为,
二者不相等，所以极限不存在
五、证明函数 在整个xoy面上连续。
证明：当时，。当时，
，所以函数在（0，0）也连续。所以函数
在整个xoy面上连续。
六、设且当y=0时，求f(x)及z的表达式.
解：f(x)=，z
§ 2 偏导数
1、设z= ,验证
证明：，
2、求空间曲线在点（）处切线与y轴正向夹角()
3、设, 求 ( 1)
4、设, 求 ， ，
解： ，
5、设，证明 :
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由

连续； 不存在，
7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求
（2fx(a,b)）
§ 3 全微分
1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的
__________

(A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在
（C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
1）
2） 解：
3） 解：
3、设， 求
解：
=
4、设 求：

5、讨论函数在（0，0）点处

的连续性 、偏导数、 可微性
解： 所以在（0，0）点处连续。

，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则
1、 设，求
解：=
2、 设，求

3、 设， 可微，证明
4、 设，其中具有二阶连续偏导数，求，，
解： ,
,
=
,
5、 设，其中具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求
解： ，

6、 设，，，求
解：。
7、设，且变换 可把方程=0 化为 ，
其中具有二阶连续偏导数，求常数的值
证明：

得： a=3
8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,,
又， 求 和 (1) , (a+ab+ab2+b3)

§ 5 隐函数的求导公式
1、 设，求
解：令，
2、 设由方程确定，其中可微，证明
3、 设由方程所确定，其中可微，求

4、 设，求， ( ，)
5、 设由方程所确定，可微，求
解：令 ，则
6、设由方程所确定，求 ()
7、设z=z(x,y)由方程 所确定，求, ,
,

§ 6 微分法在几何中的应用
1、 求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程
解：切线方程为
法平面方程
2、 求曲线 在（3，4，5）处的切线及法平面方程
解：切线方程为 ，法平面方程：
3、 求曲面在（1，-1，2）处的切平面及法线方程
解：切平面方程为
及法线方程
4、 设可微，证明由方程所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行
证明：令，则

，所以在（）处的切平面与定向量（）平行。
5、 证明曲面）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为
证明：令，则
在任一点处的切平面方程为
在在三个坐标轴上的截距分别为在三个坐标轴上的截距的平方和为
证明曲面上任意一点处的切平面都通过原点
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有
k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点
证明 ： 两边对t 求导，并令t=1

设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
++=0
此平面过原点（0，0，0）
§ 7 方向导数与梯度

1、 设函数， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向
解：梯度为
, 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到
最小值的方向为。
2、 求函数在（1，2，-1）处沿方向角为的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
解：：方向导数 为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向
，此时最大值为
3、 求函数在（1，1，-1）处沿曲线在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。
解：：，，该函数在点（1，1，-1）处的方
向导数为，
4、求函数在（1，1，-1）处的梯度。
解：：，

§ 8 多元函数的极值及求法
1、求函数的极值。
答案：（，）极小值点
2．求函数的极值
答案：极小值
3. 函数在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5)
4、 求函数在条件下的条件极值
解：
，极小值为
5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。
（长和宽2米，高3米）
6、 在球面（）上求一点，使函数 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明 有
证明：令
令，解得驻点。所以函数在处达到极大值。极大值为。即，令得。
7、求椭球面被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的
长度
解：
，，

长半轴 ， 短半轴
第八章 自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
1、设有二元函数 则 [ ]
A、存在；
B、不存在；
C、存在， 且在(0,0)处不连续；
D、存在， 且在(0,0)处连续。

2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的[ ]
A、必要条件； B、充分条件；
C、充要条件； D、既非必要也非充分条件。

3、函数 在(0,0)点处 [ ]
A、极限值为1； B、极限值为-1；
C、连续； D、无极限。
4、在处，存在是函数在该点可微分的 [ ]
（A）必要条件； （B）充分条件；
（C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。
5、点是函数的 [ ]
（A）极小值点； （ B）驻点但非极值点；
（C）极大值点； （D）最大值点。
6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是 [ ]
（A）； （B）；
（C）； （D）
7、已知函数均有一阶连续偏导数，那么[ ]
(A); (B) ;
(C) ; (D)
二、填空题：（每题３分，共18分）
1、 （ 0 ）
２、设，则（ ）
３、设则( 0 )
４、设，则在点处的全微分.
５、曲线在点处的切线方程为( )
６、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为( )
三、计算题（每题6分）
1、设，求的一阶偏导数
， 。
2、设，求此函数在点处的全微分。并求该函数在该点处沿着从
P到方向的方向导数　　( ，)
３、设具有各二阶连续偏导数，求　
解：
４、设 求和。
不存在，故不存在，同理，也不存在。
当时，有

５、设由方程所确定，求 ( )
６、设，具有连续的二阶偏导数，可导，求

７、设确定函数，求。

８、设，式中二阶可导，求
解：记，则

，

类似地，有

四、（１０分）试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
设三个正数为，则，记，令

则由
解出。
五、证明题：（１０分）
试证：曲面上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中连续可导。
证明：曲面在任一点处的切平面的法向量为

定直线L的方向向量若为，则
，即
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。