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圆锥曲线的共同性质及应用 作者： 日期：2 铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构12.4圆锥曲线的共同性质及应用【知识网络】1用联系的观点看圆锥曲线的共同性质2学会圆锥曲线几何性质的简单综合应用3进一步体会函数方程思想、化归转化思想、分类讨论思想、数形结合思想【典型例题】例1 （1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A B C D（2）曲线与曲线的 （ ）A焦距相等 B 离心率相等 C焦点相同 D准线相同（3）双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则+的最小值为（ ）AB2CD4（4）已知椭圆+=1与双曲线=1（m,n,p,qR+）有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|PF2|= （5）若方程（1k)x2(3k2)y2=4表示椭圆，则k的取值范围是 例2 双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.（1）求双曲线C的方程；（2）过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当，且时，求Q点的坐标.例3 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程； (2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。例4 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【课内练习】1双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（ ）ABCD2已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（ ）A2+BCD213方程所表示的曲线是 （ ）A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在y轴上的椭圆 C焦点在x轴上的双曲线 D焦点在 y轴上的双曲线4某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，其中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A（2，2），B（，），则A曲线C可以是椭圆也可以是双曲线 B曲线C一定是双曲线C曲线C一定是椭圆 D这样的曲线不存在5若直线与圆没有公共点，则以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有_个。6设圆过双曲线的右顶点和右焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离 7如图，从点发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向此抛物线上的点P，反射后经焦点F又射向抛物线上的点Q，再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线再反射后又射回点M，则 x0= 8设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(ab0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若PF1F2=5PF2F1，求椭圆的离心率9双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，与圆x2y2=17交于A（4，1）若圆在点A的切线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线的方程10垂直于x轴的直线交双曲线=1右支于M，N两点，A1，A2为双曲线的左右两个顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状12.4圆锥曲线的共同性质及应用A组1若方程表示双曲线时，这些双曲线有相同的（ ）A实轴长 B虚轴长 C焦距 D焦点2 P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x5）2y24和（x5）2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.93设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）ABCD 4设02，若方程x2siny2cos=1表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是 5已知双曲线的一条准线与抛物线y2=6x的准线重合，则该双曲线的离心率是 6设F1、F2为曲线C1的焦点，P是曲线C2与C1的一个交点，求的值7设双曲线方程为，P为双曲线上任意一点，F为双曲线的一个焦点，讨论以|PF|为直径的圆与圆x2y2=a2的位置关系8已知A（2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足=t (t0且t1).（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）当t0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得F1QF2=120O，求t的取值范围.B组1已知双曲线m：9x216y2=144,若椭圆n以m的焦点为顶点，以m的顶点为焦点，则椭圆n的准线方程是（ ）A. B. C. D.2当8k17时，曲线与有相同的（ ）A焦距 B准线 C焦点 D离心率3已知椭圆（ab0),与双曲线（m0,n0)有相同的焦点（c,0),(c,0),若c是a,m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）A B C D4设椭圆，双曲线，抛物线y2=2(m+n)x(其中mn0)的离心率分别为e1、e2、e3，则e1e2与e3的大小关系是 5一动圆圆心在抛物线x2=2y上，过点（0，）且恒与定直线l相切，则直线l的方程（ ）A. x= B. x= C. D. y= 6已知定点A（0，t）（t0),点M是抛物线y2=x上一动点，A点关于M的对称点是N（1）求N点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹与抛物线y2=x交于B，C两点，求当ABAC时t的值 7直线l：x2y3=0与椭圆C1：交于A，B两点，R是抛物线C2：y2=2px(p0)上一点若直线l与C2无公共点，且ABR有最小面积，求p的值和R点的坐标8设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2=2x-4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线. （1）试求双曲线C的方程； （2）设直线l:y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|； （3）对于直线y=kx+1,是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.12.4圆锥曲线的共同性质及应用【典型例题】例1 （1）解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D（2）由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A（3）C提示：用基本不等式（4）m-p 提示：分别用椭圆和双曲线的定义，并将两等式平方相减（5）（，1）提示：将问题转化成解不等式组问题例2(1)依据渐近线设双曲线方程，并用待定系数法求得双曲线方程是 ;(2)设Q点的坐标，用定比分点公式联列方程组，得 .例3、（1）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（2）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范围为例4、（1）设曲线方程为，由题意可知，. . 曲线方程为. （2）设变轨点为，根据题意可知 得 ， 或（不合题意，舍去）. . 得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为， .答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令. 【课内练习】1A 提示：可以分别求出m，n2B提示：求出基本量3C提示：注意sin的取值范围4B提示：考虑对称性52提示：运用点到直线的距离公式后，说明点P在椭圆内6提示：可以利用距离相等求出圆心的坐标76提示：由抛物线方程得焦点坐标，进而得到P，Q的坐标，再由直线QN与MN关于直线l对称，求得x088 ，.9提示：先求圆的切线方程，进而得到双曲线的渐近线方程，再用待定系数法求双曲线的方程10，a=b时表示以原点为圆心，a为半径的圆；ab时，表示焦点在x轴上的椭圆；ab时，表示焦点在y轴上的椭圆提示：设出点的坐标，写出直线方程（含参变量），结合点在曲线上，消去参数12.4圆锥曲线的共同性质及应用A组1D提示：焦点可以在不同的轴上 2设双曲线的两个焦点分别是F1（5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019故选B3C提示：求出基本量4（）（）提示：二次项系数为正，且y2的分母较大5提示：依据基本量之间的关系及准线方程，分别求出a,c6 提示：分别应用椭圆、双曲线的定义，求出|PF1|，|PF2|，再用余弦定理7当点P在双曲线的右支上时，外切；当点P在双曲线的左支上时，内切提示：用双曲线的定义及两圆相切时的几何性质8(1)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x24)+=1轨迹C的方程为+=1（x2）. (2)当1t0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设=r1，= r2, 则r1+ r2=2a=4.在F1PF2中，=2c=4, F1PF2=120，由余弦定理，得4c2=r+r2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16（1+t）12, t.所以当t0时，曲线上存在点Q使F1QF2=120 当t1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，设=r1，= r2，则r1+r2=2a=4 t,在F1PF2中， =2c=4. F1PF2=120O，由余弦定理，得4c2=r+r2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16（1t）12tt4. 所以当t4时，曲线上存在点Q使F1QF2=120O综上知当t0时，曲线上存在点Q使AQB=120O的t的取值范围是B组1 C提示：注意基本之间的联系2 A提示：将方程均化为标准方程，再求其焦距3 D提示：联想基本量之间的关系4e1e2e3，提示：用离心率的计算公式，注意抛物线的离心率是15y= 提示：抛物线x2=2y的焦点坐标为(0, ), 由抛物线的定义知抛物线上任意一点到焦点F(0, )的距离等于到直线y=的距离6（1）（yt)2=2x；(2)t=提示：（1）用坐标转移法求轨迹方程；（2）联列方程组后用韦达定理7p=,R(1,1)提示：先求线段AB的长，依据面积求出抛物线上点到直线的最小距离，依据相切求出p，再求得最小距离时点的坐标8（1）由抛物线y2=2x-4,即y2=2 (x-),可知抛物线顶点为（,0）,准线方程为x=.在双曲线C中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=,双曲线c的方程3x2-y2=1（2）由|AB|=2（3）假设存在实数k,使A、B关于直线y=ax对称，设A(x1,y1)、B(x2,y2),则由 由，有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2 由知：x1+x2=代入整理得ak=3与矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称