Decision Analysis 运筹学-决策分析.pdf

Decision Analysis决策分析 第七节马尔可夫预测方法对事件的全面预测，不仅要能够指出 事件发生的各种可能结果，而且还必须给 出每一种结果出现的概率。马尔可夫（Markov）预测法，就是一种 预测事件发生的概率的方法。它是基于马 尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将 来各个时刻（或时期）变动状况的一种预 测方法。马尔可夫预测法是对地理事件进 行预测的基本方法，它是地理预测中常用 的重要方法之一。几个基本概念O状态。指某一事件在某个时刻（或时期）出现 的某种结果。O状态转移过程。事件的发展，从一种状态转变 为另一种状态，称为状态转移。O马尔可夫过程。在事件的发展过程中，若每次 状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与 过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后 效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可 夫过程。几个基本概念状态转移概率。在事件的发展变化过程中,从某一种状态出发，下一时刻转移到其它 状态的可能性，称为状态转移概率。由状 态片转为状态与的状态转移概率尸（g-约）是P（EEj）=P（Ej/EJ=Pjj（3.7,1）状态转移概率矩阵。假定某一个事件的 发展过程有n个可能的状态，即4,Ev 纥。记为从状态为转变为状态今的状态转移 戒率%）,则矩阵-2 24 .11 11 A-尸(3.7.2)pm几个基本概念称为蛭降概率矩阵。o概率矩阵。0/.0,矩阵都是概率矩阵。标准概率矩阵、平衡向量。几个基本概念如果P为概率矩阵，而且存在整数相0,使得概率矩阵P机中诸元素皆非零，则称尸 为标准概率矩阵。可以证明，如果。为标 准概率矩阵，则存在非零向量a=x1,x2,-,xn,而且 Xj 满足0%.,1,2r般采）用频率 近似概率的思想进行计算。0例题1:考虑某地区农业收成变化的三个状 态，即“丰收”、“平收”和“欠收”。记昌为“丰收”状态，玛为“平收”状 态，一为“欠收”状态。表3.7.1给出了 该地区19601999年期间农业收成的状 态变化情况。试计算该地区农业收成变 化的状态转移概率矩阵。表3.7.1某地区农业收成变化的状态转移情况年份1960196119621963196419651966196719681969序号12345678910状态E1E1e2e3e2Eie3e2Eie2年份1970197119721973197419751976197719781979序号11121314151617181920状态e3Eie2e3Eie2e3e3Ei年份1980198119821983198419851986198719881989序号212223242526282930状态e3e3e2E1Eie3e2Eie2年份1990199119921993199419951996199719981999序号313233343536383940状态Eie3e2EiE1e2e3Eie2计算:从表3.7.1中可以知道，在15个从5出发(转移出去)的状态中，有3个是从当转移到当的(即1-2,24-25,34-35)有7个是从/转移到多的(即2-3,9-10,12-13,15-16,29-30,35-36,39-40)有5个是从当转移到乡的(即67,17-18,2021,2526,31-32)所以3Pn=P区-&）=P区回）=-=0.20007P2=P（&-=）=?（蜀耳）=w=046674=P（E1 tEJ=P（身用）=A=0.3333同理可得:74二尸（马人&）=尸刍）=了=0.5385e2=P）=尸（与区）=。-15384%=P（E2-&）=尸（可马）=-=030774P3i=P（E3.J=P（i 忸3）=打=636364=尸（4-当）=P闾&）=、=0.4545 生二尸区一4）=尸（周4）=5=。1818结论：该地区农业收成变化的状态 转移概率矩阵为0.2000P=0.53850.36360.4667 0.33330.1538 0.30770.4545 0.1818(3.6.5)状态概率及其计算o状态概率兀j（k）：表示事件在初始（左=0）状 态为已知的条件下，经过左次状态转移后，在 第左个时刻（时期）处于状态 的概率。且:n根据马尔可夫国酬用后我性及Bayes嗓作就 率公式，有一n号(左)=专(后一1)舄(j=12，)(3.7.7)Z=1记行向量 乃(左)=(位乃2(。应JW)由(3.7.7)式可以得到逐次计算状态 概率的递推公式：%(1)=(0)尸(2)=尸=(0)尸*(左)=(左 _l)Ph=(O)P%(368)式中工(0)=出(0),冗2(0),，町(0)为初始状态 概率向量。马尔可夫预测法O第4个时刻（时期）的状态概率预测如果某一事件在第0个时刻（或时期）的初始状态已知，即 已知，则利用递推公式（3.7.&嫉，就可以求得它经过左次状态转移后，在第左个时刻（时期）处于各种可能 的状态的概率，即，从而就得到该坳许第左个时刻（时期）的状 态概崭阚。例题2：将例题1中1999年的农业收成状态记为=0,1,0,将状态转移概率矩阵（3.7.5）酒衣代入递推公式（3.7.8）式，可求得 20002010年可能出现的各种状态的概率（见表3.7.2）o表3.7.2某地区19902000年农业收成 状态概率预测值年份2000200120022003状态 概率Ei 0.5 385e20.1 528e30.3077Ei 0.3 024e2 0.4 14e3 0.2 837Ei 0.3 867e20.3334e3 0.2 799Ei 0.3 587e20.3589e30.2779年份2004200520062007状态 概率E1 0.3 677e20.3 509e30.2 799E1 0.3 647e20.3 532e30.2 799Ei 0.3 656e20.3 524e30.2 799Ei 0.3 653e20.3526e30.2799年份200820092010状态 概率己 0.3 653e20.3525e30.2799Ei 0.3 653e20.3 525e30.2799Ei 0.3 653e20.3525e30.2799终极状态概率预测马尔可夫预测法定义：经过无穷多次状态转移后所得到的 状态概率称为终极状态概率，即：re=lim re、（左），lim 万？（左）r,夕 时 71rl（左）=lim 4（左）ks ks ks kf 8终极状态概率应满足的条件：71 7lP0 1（/=1,2,）=1i=l例题：在例1中，设终极状态的状态概率为则TC 万）兀2,TC 3 0.2000 0.4667万1/2/3=万1/2/3 0.5385 0.15380.3636 0.45450.33330.30770.1818即:0,X/J J=1的唯一解。实际举例某公司有三处仪器租赁部，客户可在任何一处租仪器,用完后在任何一处归还。经过一段时间的经营，发现：(1)在甲处租出，70%归还甲处，20%归还乙处，70%归还丙处。(2)在乙处租出，60%归还乙处，30%归还甲处，10%归还丙处。(3)在丙处租出，50%归还丙处，20%归还甲处，30%归还乙处。今拟在三处中选一处作为维修点，何处最好？习题市场上有甲、乙、丙三种品牌的电视。市场调查的结果是：(1)甲品牌的老客户中有60%仍购甲品牌，20%转购乙品牌，20%转购丙品 牌。(2)乙品牌的老客户中有70%仍购乙品牌，20%转购甲品牌，10%转购丙品 牌。(3)丙品牌的老客户中有80%仍购丙品牌，10%转购甲品牌，10%转购乙品 牌。假如上月三种品牌共销售100万台，其中甲、乙、丙分别为30万 台、40万台、30万台，试估计：本月和下月三种品牌顾客变动情况和市场占有率?对市场占有率的长期趋势作分析？The End of Session 10