高考复习：第三章 三角函数、解三角形.pdf

三角函数黑三角形必修第一、三章,必修第一章诵融任意角和弧度制及任意角的三角函数忆一忆知识要点砒0喊L任意角(1)角的分类.按旋转方向分为上札、鱼鱼、变缸.(2)象限角.象限角的集合-7r第一致限角以12开a271+24工第二象限角斗NVaV2+n,Awzj、一 1 一”(-3n第三象限角al 217T+7T VaV2A7T+T,Za 2Jfcrr+要VaV27T+27T,kZ象限界角终边落在“轴上的角a|a=kTT,kZ终边落在y轴上的角a|q=+5,AeZ终边落在坐标轴上的角a|a二4 jt,&Z终边相同的角.所有与角a终边相同的角（连同a在内）可构成一个集合5=6|6=ce+2k7t,kZ思考探究(1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？(2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90的角 是锐角吗？提示：(1)终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数 倍.(2)第一象限角不一定是锐角，如390,-300都是第一象 限角，但它们不是锐角.小于90的角也不一定是锐角，如0,-30,都不是锐 角.2.弧度制弧制度长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号md表示如果半径为r的圆的圆心角Q所对弧的长为2,那么角a的弧度数的绝对值是la|二角度与码/一 7T rad.lrad二 度的换算/而qrad,GHraa V扇形面j/公式设扇形的弧长为/,圆心角大小为a(rad)半隼为则六|a|r,扇形的面积为S=孙或，I a|3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 四,y),那么上叫做a 呼正弦，记做疝1JL三叫做a的余 弦，记作飙S3、V叫做Q的正*w切，记作三角函数正弦余弦正切各 象I土n土一限m土符IV+号口诀一全正，.二正弦，三正切，四余弦三角函数正弦余弦正切三角函 数线有向线段MP 为正弦线有向线段QM 为余弦线有向线段&为正切线涕扬成做一做信心倍增L与610。角终边相同的角可表示为（）A.k360+230,kZ B.k360+250,kZC.k-360+70,kez D.k3600+270,kZ解析：由于610=360+250,所以610与250角 的终边相同.答案：B2.已知角方的终边经过点(B1),则角方的最小正值是()A.C.2ttT57r6B.Utt6D.普解析 2,且。的终边在第四象限,.Q 与答案：B3.已知co s9t an9V0,那么角。是（）A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角解析：Vco s-t an=si n360(kez)都是不正确的.例I(1)如果。是第三象限的角，那么一。，2。的终边落在何处？(2)写出终边在直线=历上的角的集合；若角。的终边与 与角的终边相同，求在0,2町内终边 与号角的终边相同的角.思路点拨励写出a的范围胭出-a,2a的藕X判断终边的位置拿就写出0360。内的角卜（表示出终边相同丽队但出终边与相同角的集饰俅0,22内的角尸唇出与终边相同的匍课堂笔记(1)由。是第三象限的角得%+2Mr q 2krr -a 一 万 一 2kn.77gp +2Att -a 万+2Att(A wZ).角一a的终边在第二象限；37r由 it 2kn a 2kir得2方+4k/V2 a 3瓦+4k方(kZ).角2 a的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.TT在(0,町内终边在直线尸瓦 上的角是了，终边在直线尸&X上的角的集合为区=学,kez).(3).=粤+2.,.枭竽+竿eZ).依题意0W”+券2=-2人 竽,AeZ.；k=0,12即在0,2 7T)内终边与母相同的角为争等，夺变正之乍触类旁通 可一1二/n h u l d p d n Q f o n c l在的条件下，判断缶为第几象限角?解：,.77+2痴仪1-77+24万,7T.a 3.+7T 7F+77,当 上=2几时,-y-+2/nr -y-J-7T+2几万,$.3 a 7当 A:=2n+1 时，f 7r+2s5丁yr+2几77 a 2 2 4:.彳为第二或第四象限角.E 弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为/,心角大小为。（弧度），半径为园则/=出5扇形=9 I a I产特别警示这里给出的弧长、扇形面积公式是在弧度制 下的，使用时切记将圆心角用弧度来表示.EZ已知一扇形的圆心角是1，半径为弧长L(1)若。=60,R=10cm,求扇形的弧长I.(2)若扇形周长为20cm,当扇形的园心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大?思路点拨廨客八(1)由六|a|R求得力.匹题12)由2O2R+I得S寺尺二宗20-2尺)尺即可求得最值课堂笔记a=60。=左rad,n 万 s 1077/.Z=a n=x 10=-z-cm.3 3(2)由题意得/+2R=20,A/=202f f(0R10).J.S$=y/-/?=y(20-27e)R=(1QR)R=/?2+10R.工当且仅当R=5时，5有最大值25.此时/=20 2 x5=10,a=4?=2 rad.K 5：当a=2 越时，扇形面积取最大值.变正之乍触类旁通 1Z-J-J，/口ZTu-mpQnIJJH-口 n 口若扇形的周长为10cm,面积为4cm2,如何求a?+2R=10,解：依题意有 1.东=4,代入得R25r+4=0,解之得R=1或R=4.当R=1cm时,1=8 cm,此时a=8碗2兀rad,舍去;当R=4 cm时,1=2 cm,此时 a=-y rad.三角函数值的符号L判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限.2.对于已知三角函数式的符号判断角所在的象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限.|例3若随粗0,且t an幺他粗vo,则角6的终边落在 A.第一象限)B.第二象限C.第三象限 D.第四象限若e是第二象限角，则 黑盥）的符号是什么?思路点拨痴衰q(l)由si ne，co s 6 V0分加判断。的位置，再求交集.壁L先判断si n。,co s。的符号，再判断si n(co s 8)的符号课堂笔记(1)因为si nBco s。，所以角。在第一或第三 象限，又t an&o s077(2):IkTr+-0 2kir+7r9k e Z,.-1 cos。094k7T+20 4k7T+27r,A;g Z,一 1 Wsi n29 0,.,.si n(co s0)0,.sin,co)0得a在一、三象限；故a在第三象限.自主体验(2009北京高考)ct=?4 2k7r(kZ)”是co s2a=(勺O Z()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：由以=于+2kn(k Z)可得到co s2o t=由 co s2o t=:得 2o t=2k7T土?Z),乙 3.a=kn 1 kZ).6由co s2a=；不能得到。=菅卜2k7t(kZ).答案：A由同角三角函数基本关系力与诱导公式基础务实步步赢J I CHU HANG SHI BU BU YING卷弦回麻忆一忆知识要点L同角三角函数的基本关系-酎白方关系）si i r!a+co s2a=l基本关系二 Si na-一M商数关用 t an而7a2.诱导公式组数二-四五六角2k7c4-a(keZ)7r+a-a冗一a7TT-T+a正弦初嫁一初a一以二a陋Q余弦一砥R一颁媒一初激组数二四五六正切lant an一【ant an/口诀函数名不变 符号看象限函数名 符号看象限即a+k2Tt（kZ）,a,九土at的三角函数值，等于at的同名函数值，前面加上一个把a看成 僦覆函数值的符号；土覆的3夜（余弦）函数值，分别等于方的余弦（正弦）函数值，前 面加上一个把窃看成锐角时原函数值的符号.思考探究诱导公式的记忆口决：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”与“符号”的含义是什么？提示：“奇、偶”是指土a”(kZ)中k的奇偶性；“符 号”是把任意角a看作锐角时，原函数值的符号.涕筠J）忒做一做信心倍增L Q是第四象限角,SDM=2 9则就义等于A A，5B.-5DYsi na _ 5A7I4.r,f co sa 12解析：由I.2 2si n2a+co so t.2 25，S，n a=169,又金以0,工33以得sW a144.22Ts，n a答案：D513,2.si n3300 等于A-f解析：sin330=sin(360D.冬230)=sin300=-4-.4答案：B si n.saaJaa、(a)的值是 0 O 3a-5 c-彳B.邛D.f解析：原式=si n(77+9)co s(7F-？)lan(-TT-?)5 O 3=(-si n J)(-co s-)(-t an)3 O J=(-y)(-y)(_耳)=_苧答案：A4,已知麒（着一。）=等,则破一半）=解析：.（=一00+（口一与力）=o 31Fsi n/+（菅-a）=-co s（菅-a）2Tsi n（+a）5.化简 L/TT、co s（co s（万+a）si n（7r-a）co s（学+a+si n（7T+a）解析：原式co s或 si na一 co sa+si na （-si na）一 si na=-sin/+sinsL=o.s t考直突破节节名KAO DIAN TU PO J IE J IE GAO住 点一 T 一 同角三角函数基本关系式的应用 运用基本关系式可以求解下列两类问题：co已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值;(2)运用它对三角函数式进行化简求值或证明.特别警示该部分高考命题难度不大，对公式的应用要求 准确、灵活，尤其是在利用平方关系si Ma+co s2a=1及其 变形形式si n2a=1 co s2a或co s2a=1si n2a进行开方运算 时，要特别注意符号的判断.Qm已知。是三角形的内角，且就04+以康区=/求unw的值;(2)把co s%-si n%用0n4表示出来，并求其值.思路点拨II由 si n a+co s a 二寺和 si n?a+co s2 a=l 卜可求出si n a和co s a，再求t an a(2)4t l=si n2 a+co s2 a再分子，分母同除co s2 a即可课堂笔记法一：联立方程由得期4=y演区，将其代入，整理得25si n2 a 5si n a 12=0,si na+co sa=1亍si n2a+co s2 a=1,:。是三角形内角,4si na=.3 co sa=-.J4/.t ana=-.J法二：Vsi o jf f 且=y，a-(st o+co s a)1=(y)2,gpi+2si naco s7=25，2si n a co s Q 2425，24 49A(slOjg：co s a)2=12si n a co s=1+芯=万12 l：si=一芯 0K0 a o,c强息0,初区一般要区=y，由si na+co sa154 si na=sma-co sa75，得co sa=43,/.t ana=一了 r1si n a+co s a2 2 2 2co s a-sm a co s a-si n afy rysi n a+co s a 2 2-ico s a t an a+1co s a-sm a 1-t an a2 co s a4，t ana=,J12 2co s a-sm aa+l（一告尸+1-血丫（_）2 325 T变式之作触类旁通1 c h u l Q pQIn q f o n 口保持题目条件不变，求：(1)(2)s/n2a+2s/naco sa 的值.si na-4co sa5 si na+2co sa解：由例题可知切KX-3（1）si na-4co sa _ t ana-47 5 si na+2co sa 5 t ana+2875x（一:）+2(2)si n2 a+2si naco sa=si n2 a+2si naco sa.2 2sm a+co s a16 _t an2 a+2 t ana _ 9 3 _ 81+t an2a，/二一方9；考点T 利用诱导公式解决化简问题l.a+2kn(/rez),a,na,土条勺三角函数值是化简的主要工具.使用诱导公式前，要正确分析角的结构 特点,然后确定使用的诱导公式.2.不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能 使用诱导公式的角，如：+。=277+(二+戊)等.特别警示对于一a77,a-条 使用诱导公式时,要先把角化为一m+a),-(M的形式.3.诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角 为终了.特殊角能求值则求值.4.化简是一种不指定答案的恒等变形，化简结果要尽可 能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求 出值、无根式、无分式等.国化简:7tf si n(277-a)co s(a-)t an(377-a)23f.317Tsi n(77-a)si n(-a)si n(-+a)co s(27r+a)思路点拨观察式子特点，选择恰当的诱导公式，化简求值课堂笔记7T/、si n(-a)co s(a+)原式=.吗-a)-2si na (-co sa)-co sa co sat ana-si na (-si na)-+-si na co sa-co sa co sa _ si na _ 1-si naco s2 a co s2 a co s2 aco s2 a-二L co s*a;考点三;利用诱导公式解决条件求值问题1.解决给角求值问题的一般步骤为:任意负角的 用公式一，任意正角的_三角函数 或公式三三角函数 用公式一0 2的角 的三角函数用公式二,或公式四锐角三角函数2.解决条件求值问题时，要注意发现所给值式和被求值式 的特点，寻找它们之间的内在联系，特别是角之间的联 系，然后恰当地选择诱导公式求解.EH已知如(一a)以凰+a)=丁(彳。见.求下列各式的值:si na一维（2）si n3（学一Q）+co s3（凶+a）.思路点拨/O化简已知条件得si n a+co s a=3再平方求si n a co s a 可求(si n a-co s a产，最后得 s最 a-co s a.便入(2)化简co s?a-si r?a,再因式分解并利用(1)求解【课堂笔记】由朝值一。）一尊闻盘+。）=等得如4 母，2两边平方,得l+2si n Q-co s a=可,故 2si n Q-co s a=.又亍VaV凡金圆/V0.(l)(si n a co s a)2=12si n a-co s a169，(2)si n3(y-)+co s3(y-+a)=cos3 a si n3 a=(璘0si n)(co s2 a+的幺:颤义+si n2 a)4 7 22-y X(l-jg)=-27.变式之作触类旁通 mhu-dpmngtong若将本例中条件了 VaVTT,改为一*aVO,乙 z则两式的值如何？解：由已知sia+cosa=乎2两边平方得：1+2sMacosa=可7故 2sMe(cosa=-玉-又一手 0,工谢区一以091 VO7 16（珈JLco sa Y=l2sin co s a=1一（一 y）=y.工效19 一点烷9L=-g7T 77,s/n5（v a）+co 3（+a）=co s3a sin3 a/z=（C跋愚5Ma）（cos2q+s/n2 a）4 r 7、22=TX（118）=27-高1考新I动晌高考对本节内容的考查主要集中在利用诱导公 式和同角三角函数基本关系求值上，2009年高考中 全国I卷第1题，陕西卷第2题，北京卷第9题都能 代表高考对本节内容的考查方向.（2009,全国卷I）sM585的值为AB.申 2 2,B n 8u.u.二-2 2【解析】s/n585=s/n(540+45)=-sin4l-y=【答案】A（2009,北京高考）若加=9 碗里0,则初2上:一一 4.解析：由沏旦=一M旦0知。是第三象限角.故然旦=一方.答案：一1三角函数的象和性质朗基砒办实步步赢J I CHU HANG SHI BU BU YING忆一忆知识要点础皿腐1.周期函数周期函数定义对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的每一个值时，都有f(x+T尸f(x),那么函数他)就 叫周期函数.T叫做这个函数的周期最小正周期定义如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那 么这个最小正数就叫做f仅)的最小正周期思考探究1如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数丫=f(u)x)的周期是多少？,T提不：函数y=f(3X)的周期是T-T.2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函 数y=CQy=tm定义域RR；3：+2m kezj值域y|-ly当*=子时y=si n（y+y）_ 17 _ 1于=了，二函数=5访（”+丁）的图象关于（3,0）对称.答案：A4.y=2 3co s（x+-y）的最大值为此时x=解析：当彳）=-1时，函数y=23co s（*+彳）77 _ 3取得最大值5,此时X+彳=方+24孙 而*=彳个+2k*keZ.答案：5-7T-2kn,kZ5.函数y=si n(x+*),xG(O,的值域是解析:丁*e（。号 x+y G号母扪，/.系 Wsin(#+左)/1.答案：亨,1KAO DIAN TU PO J IE J IE GAO求三角函数的定义域求三角函数的定义域时，转化为三角不等式（组）求解,常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利 用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数 倍即可.1.用三角函数线解si nxa(co sxa)的方法(1)找出使si nx=a(co sx=a)的两个x值的终边所在位置.(2)根据变化趋势，确定不等式的解集.2.用三角函数的图象解si nxa(co sxa,t anxa)的方法.(1)作直线y=a，在三角函数的图象上找出一个周期内(不 一定是0,2兀)在直线y=a上方的图象.(2)确定si nx=a(co sx=a,t anx=a)的x值，写出解集.I例11求下列函数的定义域:(1)y=lg(2si n%-1)+V1-2co s%；(2)y=Jz+lo gT%+vt an%.思路点拨乙二H&1）由2sin%-10和-2cos%20解得%范围，再求交集解答-乂学42）由2+log产20、”0和tan%20,解得“范围，再求交集课堂笔记(1)要使原函数有意义，必须r.1上（2s inx-l0,_ SinXT,右即e“11-2cos/N0,一 1cosx.由图知，原函数的定义域为：2 时+=,2碗+）（kwZ）.3 o(2)要使函数有意义，则得2+logpcNO,x 0,t anxO,4丰kir+，k e Z,&、0欠W4,AvrW4 kn+学(keZ).nr1匹2：函数定义域是x|0 x0.利用图象.在同一坐标系中画出0,2 h 上丫=沏乂和丫=3X的图象，如图所示.在0,2兀内，满足或禺的x为霍再结合正弦、余弦函数的周期是2%所以定义域为x|tt 57r彳+2A冗Vx彳+2k员，kez.考点二1三角函数的单调性1.形如y=4仙（念x+依Q0）的函数的单调区间，基本思路是把总区十 0看作一个整体，由一号+2k乃W gx+0 W*+2k虫kez）求得函数的增区间，由冬十/237r _2k/W&x+/W芋+2A巩kez）求得函数的减区间.2,形如y=4sin(一总x+必M4。，go)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y=AsinL缴(一0)，77 77由一+2k方W 0得定义域(2)由 f(x)=0 即 si n(2x 可求得%求广si n-给的减区间，并与定义域求交集课堂笔记令立 si n(2x-y)0=*si n(2x-y)0TT TT 2n2k Jr2x y k坦+不 x2x y=2k 算+/或及作3 7|3+彳*kQZ今x=k以+24刑或24*kH,7 於 13故X的取值范围是口卜=*点+24*或*=(羔+24%kGZ./rr f 5(3)令2k 万+彳 W2x 3 2k%+与 keZ=2k +不4 5 2开2xv2k用+*keznk4+法Wx-1，/口h匚-n-pmnqtonln如何求函数丫=三一2x),xGn,冗的单调减区间?解：由y=$M(y-2xH#y=sM(2x y),由一手+2kn W2x左 W 2kli得一色+人770%这鲁77+儿77,A e Z,又%-77,77,一一 7 4一一 5 11 一一 一力一五万，一五五，五力0%0万rrr.函数=5析（可一2x）,xGn,冗的单调递减区间为 7-7T 9-77777L，1277 5-7T12 512口 11 1L12 59角函数的值域与最值求三角函数的值域（或最值）的常见题型及解法为:Ly=Qi nx+8QQSK型可引用辅助角化为y=Va2+b2如h+（其中t an0=?）.2.y=asi n2x+QjjO骏3+cco s2x型可通过降次整理化为，=4si n2x+8co s2x.3.y=asi n2x+砥缴+c型可换元转化为二次函数.4.si nxco sx与金县土同时存在型可换元转化.5、=吧口（或片黑虫）型,可用分离常数法或由 csinx+a ccosx+dj|si nx|Wl来解决.6、=gn七型,可用斜率公式来解决.ccosx+a国求下列函数的值域:(l)y=2co s2x+2co sx；(2)y=3co sx si nx；(3)y=si nx+co sx+si nxco sx.思路点拨解八(1)令尸co s%,得y=2产+2力 TJ再配方求值域答(八利用辅助角公式可化为广2相co s(%+纵再求值域本题令尸si n%+co s#,平方可用 力表示 si n%co s%,即可转化为t的二次函数求解课堂笔记(l)y=2cos2x+2cosx=2(cosx+y 产一y.当且仅当W=1时，得=%当且仅当小(=一十时，得丫破=一十，故函数值域为十,4.(2)y=3co sx 8痴x=2 A(孝 CQSL y WX)2 3co s(4+1)o7T 丁|成+不)|Wl,该函数值域为-2 3,2 8.=(s i+B)S)2 二1+n(一子)=si n2(x+/)+N Si nlx+空)一十 77 fl=i nf e+彳)+fi,所以当唬如+y)=1时，y取最大值1+区一+=+0.当i nU+子)=一/时，y取最小值一1,，该函数值域为1,；+。.变式之作触类旁通 nzru-m p Q n q t o n 口若将本例中xR改为x0,冬求三个函数的值域.解：(l)Vy=2(co sx+y)2y _ 77又.,xeO,彳二丝叫eO,lL当且仅当怎配=0时,Y哂=。QQ5X=1时,丫侬=4.故函数值域为9,矶(2)；y=2 8期仅+不)，_u =r 7r 2 kl.x+y e,y n.二初依+七曰一2-y,工一8 WyW3,故值域为m,3.W，2 1 ，一 J，TT U TT(3Y：y=slnT)+fy-l,且x0,彳,二加(m+/)Q等，4当且仅当初以+为=/时,7T 丫硕i，加(x+4)1时，丫飒2卜五故函数的值域为E 9+区.4高1考1新I动1时新课标更加注意三角函数知识的系统性与完整 性，并且强调与向量、不等式等知识的联系，因此三 角函数的图象和性质与三角变换、向量等知识结合命 题，是高考一个新的考查方向.考题印证（2009安徽高考）已知函数f=B而/x+初念双妙o），y=f U）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于兀，贝帆）的单调递增区间是tt 57rAk一瓦 k4+苴 kzBkw+符 k粗+岩1，kezCk1一全+看L kezDk用+看，k4+竽L kezTT【解析】咐）=8如凰x+森典X=2si n（Gx+y）（0/图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于叫恰217T好是f仅）的一个周期，至=%出=2.贝M=2si n（2x+卷）.故其单调增区间应满足双一、W2x+2W2k乃+3 z O Zy W运立十看（kez）.【答案】C使奇函数加尸si n(2x+，)+5co s(2x+外在学,0上为减函数的。的值为7T 丁B.一7T6C.红6解析：:加）为奇函数，二加）=初4+3期粗=0 A,Aez,f仅尸2sin2x,在一千上为减函数，；/W=-2sin2M：.0=如3 答案：D