2023年高考数学一轮复习新课标版 题组专题层级快练 41-50.pdf

专题层级快练（四十一）一、单项选择题1.（2022天津耀华中学模拟）已知等差数列斯的各项均为正数，6=1,且所的+|，a n 成等比数列.若pq=10,则他一的=（）A.14 B.15C.16 D.17答案B解析 设等差数列飙的公差为d,由题意分析知办0,因为。3,。4+|,内成等比数列，所以伍+耳即+3,=（1+2办（1+10孙 即 44d2 36d45=0,所以（d=一!|舍去）所以 诙=町/所以|（pr）=15.2.（2022江苏海安中学调研）有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三 十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一 天的2倍，第一天屠了 5两肉，共屠了 30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该 屠夫前5天所屠肉的总两数为（）A.35 B.75C.155 D.315答案C解析由题意可得该屠夫每天屠的肉的重量成等比数列，记首项为.，公比为4,前项和 为Sn,所以。1=5,4=2,所以前5天所屠肉的总两数为S 5=I：二=5*=155.故选C.3.数列诙的前项和为S”.若点（小S）在函数yu）=/+2x的图象上，则政021=（）A.2 021 B.4 041C.4 042 D.4 043答案D解析因为点（八，S）在函数段）=/十2%的图象上，所以S”=4+2乩当八=1时,i=S i=3,当时，a,（=5-5M-i=n2+2n-（n-l）2+2（n-l）=2n+l,又0=3符合上式，所以为=2+1.所以 42 021=2x 2 021+1=4 043.故选 D.4.4知为,瓦均为等差数列,且42=8,46=16,4=4,4=恁,则由为,瓦的公 共项组成的新数列金的通项公式Cn=()A.3n+4 B.6n+2C.6n+4D.2n+2答案C 解析 设斯的公差为4,九的公差为d2,期一。2 8 c,%一 12 则=2,42=不工=彳=3.,.ana2(n2)x 2=2+4,bnb2(n2)x 3=3-2.数列%为 6,8,10,12,14,16,18,20,22,数列为为 1,4,7,10,13,16,19,22,品是以10为首项，以6为公差的等差数列.二.cn10+(-l)x 6=6+4.5.(2021江西七校联考)在正项数列念中，0=2,且点PQna”，ln斯+l)5N*)在直线%y+ln2=0上.若数列为的前八项和S”满足S200,则的最小值为()A.2 B.5C.6 D.7答案D解析 将点P的坐标(In a”，lnG+i)S N*)代入y+ln2=0中，可得a+i=2a，所以62(1 2)是首项为2,公比为2的等比数列，S=2仆1-2,令S200,则2十202,所1 2以”的最小值为7.6.谢尔宾斯基三角形(S ierpinski t ria ng le)是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提 出.其构造方法是：(1)取一个实心的等边三角形(图1);(2)沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形;(3)挖去中间的那一个小三角形(图2)；(4)对其余三个小三角形重复(1)(2)(4)(图3).制作出来的图形如图4,.图1 图2 图3 图4若图1的面积为1,则图4阴影部分的面积为()A岛B.1C27 D&。64 U-Z1答案C解析 设图1的面积为因为图2被挖去的面积占图1面积的点 则图2阴影部分的面积 为%,同理图3被挖去的面积占图2面积的点所以图3阴影部分的面积为)7,按此规律,图1、图2、图3、阴影部分的面积组成等比数列：a,l a,僚，(孤，公比为京77由已知图1的面积为1,则图4阴影部分的面积为荒，选C.二、多项选择题7.已知数列斯中,ai=l,他=2,且V1,nN*,其前项和满足S+i+ST=2(S“+1),贝(1()A.。7=13 B.。8=14C.S 7=43 D.8=64答案BC解析 由S+i+S LinZlS n+l),得斯+1斯=2(22).因为政-41=1,所以为从第二项 起为等差数列，且公差d=2.故47=02+54=2+5x 2=12,。8=。2+6=14,所以A错误，B正确；Si=a-6X(奥+劭),6X(2+12),1+-2-=43,$8=a i T7X(”2+。8)221+7X-(早一=57,所以C正确，D错误.故选BC8.(2022沧衡八校联盟)一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度2的方再落下.设它第n次着地时，经过的总路程记为S“,则当时，下列说法正确的是()A.5500C.S”的最小值为苧B.S S 400D.S”的最大值为400答案AC解析本题考查利用等比数列解决实际问题.第一次着地时，共经过了 100m,第二次着地 时，共经过了(100+100X,X2)m,第三次着地时，共经过了-2 2A2 I 2100+100X-X2+100X(jj X2j m,以此类推，第次着地时，共经过了 100+100丐400T _住22 1-V31-3X2+100 x(jj X2+-+100 x X2 m.所以 S=100+-弓100+4Oo l(|，则S”是关于的增函数，所以当 22时，S”的最小值为S 2,且$2=挚.又 5m=1OO+4Oo1-(jJ 1 0),则q+3+3d=ll,6十，解得d=2,9=2.所以斯=2八一1,bn=2nx.,2n 1(2)由(1)得金=亍厂当n=l时，Ti=l；当”22时,3 5 23 2n-=1+米+.+*+册,2-3T2n-l-.2,2,2,.2 2n 1(1、2n1 2n+3一，传郎=1+驻+,-1 bFT-=1+2(1-2，厂1 卜=3，所以=6一等言(八22).又”=1时，7=1也符合.综上所述，=6今草.13.(2022重庆一中模拟)已知S”是数列斯的前几项和，且m=1,斯+12斯=3.(1)证明数歹U斯+3是等比数列，并求数列为的通项；(2)是否存在整数匕使得&2 021?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.答案(1)证明见解析外=2+】一3(2)见解析解析(1)证明：由斯+i2。”=3,得。”+3=2(即+3),即；+；3=2.又=1,故数歹1。+3是以4为首项，2为公比的等比数列，所以斯+3=42-1=2+1,所以 an=2n+i3.4(12”)(2)由(1)得 Sn=一3八=2#2-3八一4,又当 时，S-5w-i=2,+2-3n-4-2n+1+3(n-l)+4=2n+1-30,S 9=2-3x 9-4=2 048-27-4=2 0172 021,故存在整数%满足条件，%的最小值为10.圄|重点班选做题,14.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2021年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元,用于农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底缴房租800元和水电费400元，余款作 为资金全部用于再进货，如此继续，预计2021年小王的农产品加工厂的年利润为(取1.2=7.4,1212=9)()A.25 000 元 B.26 000 元C.31 520 元 D.36 000 元答案C解析1月月底小王手中现款为(1+20%)x10000-800400=10800(元)，设月月底小王手中现款为an,n+月月底小王手中现款为an+i,则 斯+1=1.2即一1 200,即 为+i 6 000=1.2(即一6 000),所以数列斯-6 000是首项为4 800,公比为1.2的等比数列，故 a i2-6 000=4 800 x 1.2,即02=4 800 x 1.2“+6 000=41 520,所以年利润为41 52010 000=31 520元.故选C.15.(2021全国乙卷,文)设%是首项为1的等比数列，数列为满足儿=等.已知内,3a2,9的成等差数列.(1)求许和与的通项公式；(2)记S”和分别为诙和丛的前项和.证明：Tn.答案 斯=(；)-1,bn=/(2)略解析(1)设等比数列知的公比为q(qWO),则以=夕一.又因为3。2,9。3成等差数列，所以2x 342=41+943,即6q=l+9/,解得所以,n bn-,(2)证明：由(1)得一=3_ 3厂2 3乙=g+号H-1-令，1 1,2,3 一32+3 nl,n3 3+i,一可得x(1 1-2=1 J_ 1 _“_3入-J 3“_1_ “3，“一3十32十十十3-3+-1 3“+-2 3“+1-2-2.3“3+”3 所以Tn=3 _ n _3_2n+3 4 3n-2 3n=4-4-3w 2+3 3 2n.匕 2+3 3 尔因为干尸一了:手=丁丁，所以木厂可，所以2八+3 34-3-4 3,p3 所吟2+3 3-43 434 3”，即3A8C=a S zA8C,高度为2t Z,3 Sabc 2g 3贝U 8c 2a,：.h=-=5。4 34ABe 215.（2022上海徐汇中学模拟）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放 在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，则被吹倒后该无底圆锥的最高点到桌面的距离为答案5小cm解析 设圆锥的底面半径为广，母线长为1.根据题意知/=10 cm,且故r=5 cm.所以圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10cm.故被吹倒后该无底圆锥的最高点到桌面的距离为边长为10 cm的等边三角形的高，此高为5小 cm.g|重点班选做题16.（2022高考调研原创题）如图1所示，已知正方体的面对角线长为m沿阴影面将正方体切割成两块，拼成如图2所示的几何体,答案(2+也)/解析 由已知得正方体的棱长为半。，则正方体的表面积为3。2,新几何体的表面积比原来 多了两个阴影部分的面积，少了正方体两个面的面积，故所求几何体的表面积为3a 2+2x乎/2x a2=(2+也)/.17.(2019课标全国山)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为 长方体A3CO挖去四棱锥。一ENGH后得到的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,”分别为所在棱的中点，AB=BC=6 c m,A4i=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cnP.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.答案118.8解析 由题易得长方体ABCO-A/iGDi的体积为6x 6x 4=144(cm3),四边形EFG”为平行 四边形，如图所示，连接GE,HF,易知四边形EFG”的面积为矩形3CG3面积的一半，即日X6X4=12!?),所以V四棱锥o-gh=9r,所以 r=2,因为2r=43,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时，体积最大，所以最大球的直3 4 9兀径2R=3,贝1J R=5，此时球的体积RS：-.故选b.10.（2022.湖南衡阳八中月考）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1,BD=巾,BDLCD,将其沿对角线80折成四面体A BCD,使平面A 8D_L平面BCD若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.3冗C.4n答案A解析本题考查四面体外接球的表面积.设的中点是E,连接OE,X E,过点4作A于点。，连接OE,如图.VA7）=1,BD=巾,由勾股定理得 BA，D,：.A O=孚.平面 A 80_L平面 BCD,且平面 A BOG 平面 BCD=BO,A OU平面 A BD,A O LBD,：.A O_L平面 38,.A,OA.OE.,：OE=CD=,：.A石=出。2+。2=坐A又:台。，。，即三角形BCD为直角三角形，：.BE=CE=DE=A E,即石为四面体 A BCD的外接球球心，该球的表面积5=4 n=3n.故选A.二 填空题11.（2017课标全国II）长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上，则 球O的表面积为.答案14 JI解析 设长方体的外接球半径为七 则2/?=严”乔=如，所以球0的表面积S=4n 尺2=ji（2R）2=14ji.12.已知三棱锥P-DEF的各顶点都在球面上，PDLED,所_1_平面PDE,DE=4,EF=3.若该球的体积为12要H,则三棱锥P-DEF的表面积为.答案27解析本题考查三棱锥及其外接球的有关计算.如图所示，因为瓦LL平面PDE,所以EFA.DE,EFLPE,EF1DP.因为 PDLED,EFQDE=E,所以 EDJ_ 平面 DEF,所以 PDJ_）尸.设尸尸的中点为0,则尸0=0/=00=0E,所以。为三棱锥PDEF外接球的球心，设球 的半径为匚由题知解得厂=雪所以尸方=.在 Rt a DEF 中，DE=4,EF=3,所以 DF DE2+EF2=5.在 Rt APDF 中，PD=7pF?DF?=3.在 Rt APDE 中，PE=d2+DE2=5.所以三棱锥 PDEF 的表面积为 Sadef+5apde+5apef=tX3X4+zX3X4+zX3X 乙 乙 乙5+|x 3X5=27.13.（2021八省联考）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半 径分别为4和5,则该圆台的体积为.答案61n解析 方法一：.球的直径为10,半径为5,而圆台的下底面半径为5,.如图将圆台补为圆锥石。2,02c=5.020=402c2-01。2=3Y 4设 01=%,则-=、，=12.Ji I J J二.V 圆锥 0i=；X16n X 12=64 北，V 圆锥 EO2=p25n 义 15=125 n./.V 圆台=125 Ji 64 n=61 n.方法二：依题意可知圆台的下底面为球的大圆，作球的轴截面如图所示,则圆台的高为/=/5242=3,故体积为 V=|x n X3X（52+42+5x 4）=61 Ji.14.（2022浙江台州高三月考）半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为小，则这个半 球的体积为.答案18 n解析方法一：过正方体的对角面A4CC作截面如图所示，设半球的半径为R,半球球心 为O,因为正方体的棱长为加，所以CG=加，o c=乎A O C在Rt ZiGC。中，由勾股定理，得CC12+OC2=OC2,即（、同+（、份）2=r2,所以r=3.故V2,半球=Q兀夫=18 H.方法二：将其补成球和内接长方体，原正方体的棱长为黄，则（2/?）2=6+6+（2班）2,所以R2=3.故 V半球=冗&=i8 ji.圄|重点班选做题,15.【多选题】（2022青岛市高三质量检测）在南方不少地区，经常看到人们头上戴一种用木 片、竹蔑或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗 笠也逐渐成为一种时尚旅游产品，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人 的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母 线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量.现有一个“灯罩斗笠”（如图），帽坡长为 20厘米，帽底宽2帅厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（）A.斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为10即平方厘米C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一球上，则该球的表面积为1 600 口平方厘米D.此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为（2S 一30）厘米答案 ACD解析 斗笠的轴截面如图所示，由题意可知S B=20,AB=2（）V,设。为AB的中点，连接SO,则 sinNOS B=?f=峥p=坐，所以NOS B=60,贝|NAS B=120,所以选项 A 正 o D ZU Z确；当截面三角形过斗笠顶点和斗笠侧面上两条互相垂直的母线时，截面三角形的面积最大，且 最大值为：X2（）2=200（平方厘米），所以选项B错误；若此斗笠的顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球为外接球，设此球的半径为R,球心为01,则01到S,A,8的距离相等，01在S O的延长线上，作出点01,连接49”因为此斗笠的高h=SO=y202-（10V3）2=10,所以OOi=R-10,在AOOi中有肥=（尺-10）2+（10/3）2,解得R=20,则该球的表面积S=4n/?2=i 600%（平方厘米），所以选项C 正确；将此斗笠放在平面上，可以盖住的球的半径最大，则此时球为圆锥的内切球，设内切球的半 径为广，即轴截面三角形的内切圆的半径为r,所以a S AB的面积S a s48=J（20+20+26/5）r=1x 20V3X10,解得/=26。一30（厘米），所以选项D正确.故选ACD.16.（2022湖北武汉适应性测试）已知一圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高为芈，在该圆锥 内放置一个棱长为。的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则。的最大值 为（）A.3 B.y2C.|（小一的 D.羊答案B 解析 依题意，正四面体可以在圆锥内任意转动，故该正四面体最大时内接于圆锥的内切球.设内切球球心为P,半径为r,圆锥底面圆半径为凡 圆锥及其内切球的轴截面如图所示，S 为圆锥顶点，。为底面圆圆心，连接S。贝!Q4=0B=|,因为 S 0=,所以 SA=SB=yl S02-0B2=3,所以S AB为等边三角形，故P是a S AB的中心.连接3P,则3P平分NS B4,所以NP3O=30。，所以t a n 30。=看，即r=坐我=坐X,=当，即正四面体的外接球的半径=坐.又正四面体可以从正方体中截得，如图，正四面体A13OG可由正方体ABCD-AiBGDi截 得，则可知，当正四面体4BDC的棱长为a时，正方体ABCOA/iGDi的棱长为乎a而正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r=*X察=够=小，所以a=也.即。的最大值为也.17.（2022沧州联考）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如 图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1,高为 2,半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间 的上、下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具 体积的最小值为.J答案引解析 设中空圆柱的底面半径为r,高为2+（0（2+）.3V=n （A2+/z1）.可得当/zw（o,|）时，V 0,当 g|,2）时,V,BE=AF,G,”分别为胡，尸。的中点.（1）证明：四边形BC”G是平行四边形；（2）C,D,F,四点是否共面？为什么？答案（1）略（2）共面，理由略解析（1）证明：G,”分别为阴，尸。的中点,，GH 戚AD又,/BC 星AD,.GH统BC.：.四边形BCHG为平行四边形.（2）C,D,F,四点共面.理由如下：由BE用4R G是阳的中点，得BE统GF.所以成统3G由（1）知，BG CH,所以EF统CH.所以EC 尸H.所以C,D,F,E四点共面.题组层级快练（四十五）一、单项选择题1.（2022.陕西省宝鸡市模拟）已知a,是两个不同的平面，又/,m,八是三条不同的直线，则不正确的命题是（）A.若 zn_La,n/a,则机B.若根a,n/a,则相C.若 LLa,/,贝iJa _L D.若 a夕，IQ 6,且/a,则/答案B解析 A中，若八a,则在a中存在一条直线/,使得/八，又机J_a,/C a,则机J_/,又 I/n,那么机_1_，故正确；B中，若根a,n/a,则机或相交或异面，故不正确；C 中，若/,则存在a U,使/a,又LLa,a,则a _L,故正确；D中，若a 四 且/a,贝U/U或，人 又仁,./,故正确.故选B.2.已知a,b是互不重合的直线，a,是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若 a b,bU a,贝 lj aa B.若。a,a,a G 8=b,则。bC.箱 al l a,a 8，则。D.若。a,al l B,则 a 尸答案B3.过三棱柱ABC4S G的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共 有（）A.2条 B.4条C.6条 D.8条答案C解析 如图，过三棱柱ABC45G的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线只可能落在平面OEFG内（其中。，E,F,G分别为三棱柱棱的中点），易知经过。，E,F,G中任意两点的直线共有C4?=6（条）.故选C.4.若空间四边形A3CO的两条对角线4C,3。的长分别是8,12,过A3的中点E且平行于80,AC的截面四边形的周长为（）A.10 B.20C.8 D.4答案B解析 设截面四边形为EFGX,F,G,X分别是BC,CD,D4的中点，.F1=GH=4,FGHE=6.，周长为 2x（4+6）=20.5.（2022安徽江南十校素质检测）如图，尸为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的答案D解析如图，连接AC交BE于G,连接厂G,因为41平面E8F,B4U平面R1C,平面PACHPF AG AG AF平面所以B4FG,所以石/=斤.又AD3C,石为4。的中点，所以不=而=r C OC CrC nC6.（2021广东广州二模）在三棱柱ABC-A.BiCi中，E是棱AB的中点，动点F是侧面ACGAi（包括边界）上一点.若EF平面BCGB,则动点尸的轨迹是（）A.线段 B.圆弧C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分答案A解析 如图所示，分别取AC,AiCi,A/1的中点N,F,M,连接 ME,MF,NE,FN.又E为AB的中点，所以NBC且 同理用G,且MF=袅iG,所以M E,M,尸四点共面.因为 NE/BC,所以 ME平面 BCGBi,NE平面 BCC1B1,而NE G ME=E,所以平面NEMF/平面BCCiBi,而EFU平面NEMF,所以EF平面BCCiBi,所以要使EF平面3CG3,则动点尸的轨迹为线段二 多项选择题7.在三棱柱ABCAiBiG中，E,F,G分别为线段AB,49,441的中点，下列说法正确 的是（）A.平面AGF平面BCE B.直线FG平面3CEC.直线CG与8F异面 D.直线GN与平面CGE相交答案AC 解析 连接 即，因为E,尸分别为A3,的中点，所以EF统A4i,结合AAi统CG,知EF统CCi,则四边形EfGC为平行四边形，所以3/CE、所以平面S CE.由 平行四边形的性质知A尸所以AF平面S CE.又。1厂门4尸=居 所以平面AG/平 面BiCE,所以A正确.因为平面AGF平面3CE,直线FGG平面AGF=F,所以直线FG与平面BCE必相交，所以B不正确.假设CG与8F共面，则8,C,F,G在同一平面内，显然不成立，所以C正确.由选项A的判断知G/CE,又平面CGE,CEU平面CGE,所以平面CGE,所以D不正确.综上可知，选AC8.（2022.湖北七校联考）如图，正方体A3CD的棱长为2,E,F,G分别为3C,CG，的中点，贝M）A.直线OQ与直线AF垂直B.直线EF与直线AD平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为与D.点。与点G到平面AEF的距离相等答案BC9.如图，在下列四个正方体中，A,3为正方体的两个顶点，M,N,。分别为所在棱的中 点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是（）答案BCD解析 A中，显然AB与平面MNQ相交；B中，AB/MQ,且ABC平面MNQ,MQU平面 MNQ,则 A3平面 MN。；C 中，AB/MQ,且 A3。平面 MN。，MQU平面 MNQ,则 A8 平面MN。；D中，AB/NQ,且ABC平面MN。，NQU平面NQ,则平面MAQ.故选 BCD.三 填空题与解答题10.在四面体ABCD中，M,N分别是ACO,BCO的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是.答案 平面ABC和平面ABD解析 如图，连接AM并延长交8于瓦 连接8N并延长交8于尸.由重心的性质可知，EM EN 1E,尸重合为一点，且该点为CO的中点E由而=,=5,得MNAB.：ABU平面ABO,1VLA Ind ZMNC平面 ABO,ABU 平面 ABC,M/W平面 ABC,.MN平面 ABC 且 MN平面 480.11.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCO为正方形，E,F,G,”分别为P/,PiD,P4C,PR的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：平面EFG”平面A3CD；用平面3DG；7平面P3C；F“平面3DG；EF平面30G.其中正确结论的序号是答案TE,F,G,”分别为必，PD,PC,P3的中点，J.EF/AD,GH/BC,：AD/BC,J.EF/GH,：.EF,G”确定平面EFGH,TEFU 平面 EFG”，AZX平面跳G”，二.AO平面 EFGH,同理 AB平面 EFGH,ABQAD=A,AB,ADU平面 ABCD,平面EFGH/平面AB CD,：.正确；连接AC,80交于0点，则。为4c的中点，连接OG,TG为PC的中点，AOG/PA,又 OGU平面 3DG,平面3OG,.二出平面3OG,正确；同同理可证EF平面PBC,.正确；同同理可证切平面BDG,.正确；EF/GH,G”与平面8DG相交，.EF与平面BDG相交，不正确.12.在如图所示的几何体中，四边形ABC。是正方形，B4_L平面ABC。，E,厂分别是线段AD,的中点，B4=AB=1.求证：石尸平面。CP.答案略证明取PC的中点M,连接DM,MF,如图所示.,：M,尸分别是 PC,P3 的中点，,.MF/CB,且 Mb=4cRIE为OA的中点，四边形ABCD为正方形,.,.DE/CB,且。=泉8.MF/DE,且 MF=）E,，四边形DEFM为平行四边形,：.EF/DM,.那平面尸OC,DMU平面P0C,二.EF平面 PDC.13.（2021山东青岛二模）如图，五面体A3CDEF中，正方形A3C。的边长为2dL AB=2EF,口A3,点P在线段DE上，且DP=2PE,。为3c的中点.求证：3E平面APQ.答案略 证明如图，连接80交A。于点M,连接尸M,由四边形A3C。是正方形,易得因为 3。=%。,所以BM DM.又 EP=DP,所以 PM/BE.又PMU平面APQ,平面APQ,所以EE平面APQ.14.如图，在正方体A3COA71GD1中，P,。分别为对角线3D,CA上的点，且岩=器_2=3,（1）求证：尸。平面AiDiDA；AD（2）若R是AB上的点，标的值为多少时，能使平面PQR平面4D1D4?请给出证明.答案略（2）当翳=|时，平面PQR平面AM1/M证明略证明（1）连接CP并延长与OA的延长线交于M点，如图，连接MDi,因为四边形A8CD为正方形，所以BCA0,CP BP 2故PBCs/“，所以丽=而=1，又田为卫所以卫Q_=C.=2乂因为QD-P。一3 r QDPMy所以尸。MDi.又 MD1U平面 AiDZM,Pg平面 4DQA,故尸。平面ADDA.AP 3（2）当店的值为5时，能使平面PQR平面AQiDA.如图,a BR 2 u BR BP即丽=不故应=丽.所以 PR/DA.又ZMU平面AiDOA,PRQ平面 AiDiDA,所以PR平面4D1D4,又尸。平面 A1DOA,PQDPR=P,PQ,PRU平面尸QR,所以平面PQ?平面ADiDA.匡I重点班选做题15.【多选题】（2022.枣庄模拟）如图，向透明塑料制成的长方体容器A3COA山1CQ1内灌 进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结 论，其中正确的是（）A.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGX所在四边形的面积为定值C.随着容器倾斜度的不同，AiG始终与水面所在平面平行D.当容器倾斜如图所示时，为定值答案AD解析由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有COXGEFAB,且平面AEHD 平面8FGC,故水的部分始终呈棱柱形（三棱柱或四棱柱），且AB为棱柱的一条侧棱，没有 水的部分也始终呈棱柱形，故A正确；对于水面）GH所在四边形，从图、图可以看 出，EF,G长度不变，而EH,FG的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFG”所在四 边形的面积是变化的，故B错误；假设4G与水面所在的平面始终平行，又Ai与水面所 在的平面始终平行，则长方体上底面AiBiGS与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时 两个平面不平行矛盾，故C错误；水量不变时，棱柱AEHB尸G的体积是定值，又该棱柱 的高A3不变，且以所以北产即AEAH是定值，Z Ad故D正确.16.（2021河南六市二模）在直角梯形 ABC。中（如图 1）,AB/DC,ZBAD=90,AB=5,AD=2,CD=3,点在CO上，且DE=2,沿AE折起，使得平面ADE,平面A3CE（如图2）,G为4E的中点.（1）求四棱锥。一A8CE的体积；（2）在线段80上是否存在点P,使得CP平面ADE?若存在，求ff的值；若不存在，请说 明理由.答案 班（2）存在，ff=解析（1）因为G为AE的中点，AD=DE=2,所以DGL4E.因为平面AZ）EJ_平面A3CE,平面ADEG平面A3CE=AE,OGU平面ADE,所以。6，平 面 ABCE.在等腰直角三角形ADE中，易求得AE=2小,则DG=AD；JE=p,zifLi（1+5）X 2所以四棱锥。一ABCE的体积Vd-abce=X-2-二X也=2也BP 4（2）在线段30上存在点P,使得CP平面ADE且丽=亍过点。作CFAE交48于点尸，过点厂作尸PAD交80于点尸，连接PC,如图所示.D PA F B因为C歹4E,AEU平面ADE,C叫平面ADE,所以CF平面ADE,同理PF 平面ADE又因为GPF=F,所以平面CFF平面ADE因为CPU平面CFP,所以CP平面ADE.所以在80上存在点P,使得CP平面ADE因为四边形AECF为平行四边形，所以 AF=CE=1,即 BF=4,BP BF 4故丽=瓦=亨RP 4所以在线段比）上存在点P,使得CP平面AOE且黑炭.DU 3题组层级快练（四十六）一、单项选择题1.（2022.豫北名校联考）已知直线机U平面a,则“直线以平面a”是“直线LL的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析 充分性：直线/J平面a,垂直于平面a内所有直线，又.直线相U平面%.直线LL直线机，充分性成立；必要性：若LL机且直线机U平面%则直线LL平面a不一定成立，必要性不成立.故选B.2.如图，三棱柱ABC-AiBCi中，侧棱A4i垂直于底面4B1G，底面三角形A41G是正三角形，E是BC的中点，则下列说法正确的是（）A.CG与BE是异面直线B.AE与81cl是异面直线，且AJ_BiGC.AC_L平面 ABBAD.ACi平面ABE答案B BE解析 对于A,CG,3E都在平面EB1GC内，故错误；对于B,AE,5G为在两个平行 平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，石是3c中点，所以AE与BiG 是异面直线，S.AELBC,又BCBC，故故正确；对于C,上底面ABC是一 个正三角形，不可能存在AC_L平面AB81A1,故错误；对于D,AiG所在的平面与平面48行 相交，且AiG与交线有公共点，故错误.3.如图，在四面体A3CD中，已知A3J_AC,BDAC,那么。在平面A3C内的射影”必 在（）A.直线A3上 B.直线3c上C.直线AC上 D.a ABC内部答案A解析 由 A3_LAC,BD1AC,又 AB,8DU平面 A3D,则 AC_L平面 ABD,而ACU平面ABC,则平面A3C_L平面ABO,因此O在平面A3C内的射影“必在平面ABC 与平面ABD的交线AB上.故选A.4.如图，AC=2R为圆。的直径，ZPCA=45,出垂直于圆0所在的平面，8为圆周上不 与点A,。重合的点，AS _LPC垂足为S,ANJ_P3垂足为N,则下列结论不正确的是（）A.平面ANS _L平面PBC B.平面ANS J_平面RLBC.平面RIB_L平面尸BC D.平面ABC_L平面出C答案B解析 因为 B4_L平面 ABC,BCU平面 ABC,所以物ABC,X ABBC,B4GAB=A,PA,尸BU平面所以BCL平面 出8,又4VU平面ABP,所以BCL4N,又因为BCCPB=B,PB,BCU平面PBC,所以V_L平面PBC,又VU平面ANS,4VU平面PAB,所以平面ANS J_平面P3C,平面平面P3C,所以A、C正确，D显然正确.故选B.5.（2022武汉模拟）如图，在正四面体PABC中，D,E,厂分别是AB,BC,CA的中点，下面四个结论不成立的是（）A.3C平面尸 B.。口L平面C.平面P）F_L平面 勿 D.平面P）EJ_平面答案D6.如图所示，在四边形A3CD中，AB=AD=CD=1,BD=y2,8。_18.将四边形43。沿对角线30折成四面体A，-BCD,使平面4 3DJ_平面38,则下列结论中正确结论 的个数是（）A CLBD-,NBA C=90；CA与平面A 80所成的角为30；四面体A-BCD的体积为今A.0 B.1C.2 D.3答案B解析,：AB AD=CD 1,BD=巾,：.ABAD,.平面 A 3D_L平面 3cO,BD1CD,平面 A 3DG 平面.COJ_平面 4 BD,取80的中点0,连接。V（图略），TA B=A D,：.A OLBD.又平面A 3D_L平面BCD,平面A 3DG平面3CZ）=3。，A OU平面A BD,：.A O上平面 BCD.又,：BDLCD,，OC不垂直于BD.假设A 二。为A C在平面BCD内的射影，：.OCBD,与。不垂直于30矛盾，故错误；由CO_L平面A BD,又4 3U平面A BD,：.CDA B.：A B=A 0=1,BD=y/2,：.A BA D,又 CDCA D=D,CD,A OU平面 A CD,：.A 3_L平面 A CD,又A CU平面A CD,：.A BA C,故正确；ZCA O为直线CA与平面4 BO所成的角，ZCA 0=45,故错误；Va1-bcd=Vc-a,bd=Sa,bd,CD=,故错误.故选 B.二 多项选择题7.如图，四棱锥SABC。的底面为正方形，S D_L底面ABCD,则下列结论中正确的是（）A.ACLSB B.ADLSCC.平面 S AC_L平面 S3。D.BDLSA答案ABC解析本题考查空间中线线、面面垂直的判定以及三垂线定理的应用.由S 0_L底面4BC0,得S B在平面48co内的射影为OA又与4c垂直，所以S B_LAC,A正确；由S C在平 面 A3CO 内的射影。与 AO 垂直，得 S C_LA）,B 正确；由 ACJ_S 3,AC1BD,SBHBD=3,可得ACJ_平面S3。,又4CU平面S AC,所以平面S ACJ_平面SBD,C正确；若&）_LS A,则&）垂直S A在平面ABCO内的射影。A,与已知条件矛盾，D错误.故选ABC.8.（2022长沙市调研卷）如图，正方体ABCOA/iGDi中，0为底面ABC0的中心，M为 棱38的中点，则下列结论正确的是（）A.DiO平面 A/G B.DiOJ_平面 MACC.异面直线3G与AC所成的角为60 D.MO_L平面A3CO答案ABC9.在正方体ABC。一AHCQi中，P,。分别为棱3C和棱CG的中点，则下列说法正确的 是（）A.3G 平面 AQPB.平面A尸。截正方体所得截面为等腰梯形C.4）_L平面AQ尸D.异面直线QP与4G所成的角为60答案ABD解析 本题考查线面平行的判定、正方体的截面、线面垂直的判定以及异面直线所成角的求 解.如图，连接AD,DQ,因为P,。分别为棱和CG的中点，所以又8G。平面AQP,PQU平面AQP,所以BG 平面AQ尸，故A正确；由A知BGPQ,又BG/ADx,所以PQA）i.又由已知条件得OiQ=AP,所以等腰梯形APQ5即为平面A。尸截 正方体所得截面，故B正确；由正方体性质知Ai0d_平面ABGOi,假设AiOJ_平面AQP,则平面A3CQ1 平面4。尸，与平面A3GD1G平面AQP=A5矛盾，故C错误；由A知3cl/PQ,所以N4C山为异面直线。尸与4G所成的角.连接A山，因为4G3为等边三角 形，所以NAiGB=60,故D正确.故选ABD.三、填空题与解答题10.如图，已知六棱锥尸一4B