神奇旋转几何题.doc

例1．有公共顶点C的△ABC和△CDE都是等边三角形.

（1）求证：AD=BE；
（2）如果将△CDE绕点C沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE还成立吗？

推广：四边形ABDE和ACFG都是正方形，连结EC,BG，如果将ABDE绕点A旋转一个任意角，问EC与BG有何关系.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

例2.课本例题推广：
（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD=∠BCD=90°，且四边形ABCD的面积36，求线段BC与CD的和.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。

（2）已知：在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．
求证：AD是∠CDE的平分线．

（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC＞AD；∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°．若AE＝10，求CE的长．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。

A
D
B
F
C
E
M

例3．已知E、F分别在正方形ABCD边AB和BC上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF的周长.

例4. 已知：在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D、E
在AB边上，且使得∠DCE＝45°．求证：AD、DE、EB三条线段确定的数量关系

练习：
1． 在△ABC中，AB=AC，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .
求DE的长.

拓展：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，
（1）P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证：PB=PC．
（2）D是三角形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB．
（3）若P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°

2．（正方形中的三角形旋转）已知：如图，E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分∠EAD交CD于F，试说明BE+DF=AE.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。

拓展：已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，
（1）如图（1），若有BE+DF=EF，求：∠EAF的度数.
（2）如图（2），若有∠EAF =45º.求证：BE+DF=EF.
（3）如图（3），若∠EAF=45º，AH⊥EF．求证：AH=AB．
（4）如图（4），若正方形ABCD边长为1，△CEF的周长为2．求∠EAF的大小．
（5）如图（5），若AB=，且∠BAE=30º，∠DAF=15º，求△AEF的面积．
（6）如图（6），正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定∠HAF的大小，写出推导的过程．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。

（1） （2） （3）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。

（4） （5）

练习：（答案）
1．在△ABC中，AB=AC，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .求DE的长.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。

拓展：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，
（1）P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证：PB=PC．
（2）D是三角形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB．

　　分析: 将△ABC以A为中心逆时针旋转一角度∠BAC，到△ACE的位置．连DE，由∠ADB＞∠ADC，得 ∠AEC＞∠ADC．又 ∠ADE=∠AED，相减，得 ∠DEC＞∠EDC．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
　　∴ CD＞CE．
即 CD＞BD，从而∠DBC＞∠DCB．
拓展（3）若P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°．

　　分析:利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1， PB=2，PC=3．绕B点顺时针旋转90º，使△CBP到△ABE的位置，这时BE=2，AE=3，∠PBE=90º→PE=，∠BPE=45º.又鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
　　∴ ∠APE=90°．于是 ∠APB=135°．
拓展（4）在等边三角形内有一点P．连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.（答案：）籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
分析:将△CPB旋转到△AP′B，连接PP′，延长BP，过A作AD⊥BD.易知△APP′是直角三角形，因为∠BPP′=60º，所以∠APD=30º，则AD=2，DP=.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
旋转讲解2
例1：（05大连）如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．（1）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；③在②的条件下，且CE=2AD．铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
图２
A
B
C
D
F
M
G
E
A
B
C
D
F
M
G
E
A
B
C
F
M
G
E
图1
图３
Ｄ

图1
练：1.（08北京）请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及的值.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.
请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。
（3）若图1中∠ABC＝∠BEF＝（0°＜＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。

例2.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝－x＋交x轴于点C,交y轴于点A.等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图1所示.把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为，使B点恰好落在AC上的B＇处，如图2所示.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。
（1） 求图1中的点B的坐标；
（2） 求的值；
（3） 若二次函数y＝Mx2＋3x的图象经过（1）中的点B，判断点B＇是否在这条抛物线上，并说明理由.

图1 图2

练：1.如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。
（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。
图9 图10 图11

图8

2.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 構氽頑黉碩饨荠龈话骛。
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）輒峄陽檉簖疖網儂號泶。
F
B
A
D
C
E
G
图①
F
B
A
D
C
E
G
图②
D
F
B
A
C
E
图③

图1
（答案）练：1.（08北京）请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及的值.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.
请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。
（3）若图1中∠ABC＝∠BEF＝（0°＜＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。
【解答】（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；．
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CH、CG．
∵ P是线段DF的中点，
∴ FP = DP．
由题意可知 AD∥FG．
∴ ∠GFP=∠HDP ．
∵ ∠GPF=∠HPD ，
∴ △GFP≌△HDP．
∴ GP=HP， GF=HD．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD =CB，∠HDC＝∠ABC＝60°．
由∠ABC＝∠BEF＝60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，
可得 ∠GBC＝60°．
∴ ∠HDC =∠GBC．
∵ 四边形BEFG是菱形，
∴ GF=GB．
∴ HD=GB．
∴ △HDC≌△GBC．
∴ CH=CG，∠DCH＝∠BCG．
∴ ∠DCH＋∠HCB＝∠BCG+∠HCB=120°．
即 ∠HCG＝120°．
∵ CH= CG，PH=PG，
∴ PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP=60°．
∴ ．
（3）．
6.（2007海淀二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝－x＋交x轴于点C,交y轴于点A.等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图1所示.把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为，使B点恰好落在AC上的B＇处，如图2所示.恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。
（4） 求图1中的点B的坐标；
（5） 求的值；
（6） 若二次函数y＝Mx2＋3x的图象经过（1）中的点B，判断点B＇是否在这条抛物线上，并说明理由.

图1 图2
解：（1）∵直线y＝-x＋交x轴于点C,交y轴于点A，∴点A的坐标为（０，），点C的坐标为（2，0）. ∵等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，∴OD=２，.过点B作BM⊥OC于M.∴OM=.∴BM=1，OB=.∴点B的坐标为（１，１）；鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。
（2）∵OA=，OC=2，，∴∠ACO=30°.过点O作OE⊥AC于E. ∴OE=1.
∵在RtΔB＇EO中，OB＇=，OE=1，∴∠B′OE=45∘.∴∠EOD=90∘.又∵∠EOC=60∘，∴∠COD=30∘.∴=30∘；（3）判断：点B＇在这条抛物线上. ∵点B＇在直线AC上，∴点B＇的坐标为（A，-A＋）.∵A2＋（-A＋）2 ＝OB＇2，∴A2＋（-A＋）2＝（）2.解方程，得A1＝，A2＝（不合题意，舍去）.∴点B＇的坐标为（，）. 又∵二次函数y＝Mx2＋3x过Ｂ（１，１），∴M＝－２.∴二次函数的解析式为y＝-2x2＋3x. 把x=代入y＝-2x2＋3x，得y=.∴点Ｂ＇在这条抛物线上.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。

20、（2009年常德市）
图9 图10 图11

图8

如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。
（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。
（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。
提示：（1）抓住不变量易解，
F
B
A
D
C
E
G
图①
F
B
A
D
C
E
G
图②
（2）能证得△ADC 与 △AEB是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。
21、（2009东营）
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一
点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接
DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 谚辞調担鈧谄动禪泻類。
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。
D
F
B
A
C
E
图③
提示：考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。（2）作适当辅助线，构造全等三角形。也可连接GA,得GC=GA,过点G作AB的垂线，证GE=GA.熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。

y =
11 / 11