复数练习(含标准答案).doc

复数基础练习题
一、选择题
1．下列命题中：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；
②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
③x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　 B．1 C．2 D．3
2．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．a为正实数，i为虚数单位，z＝1－ai，若|z|＝2，则a＝(　　)
A．2 B. C. D．1
4．(2011年高考湖南卷改编)若∈R，i为虚数单位，且ai＋i2＝b＋i，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
5．复数z＝＋i2对应点在复平面(　　)
A．第一象限内 B．实轴上 C．虚轴上 D．第四象限内
6．设a，b为实数，若复数1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，则(　　)
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1 C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
7．复数z＝＋i在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i B．3－I C．－3－i D．－3＋i
9．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于(　　)
A．－＋i B.－I C．－－i D.＋i
10．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝(　　)
A．0　　 B．2i C．6 D．6－2i
11．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为(　　)
A．5－6i B．3－5i C．－5＋6i D．－3＋5i
12．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　)
A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i
13．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是(　　)
A. B.I C.＋i D.＋2i
15．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝(　　)
A．1－3i B．11i－2 C．i－2 D．5＋5i
16．复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)
A．5 B. C．6 D.
17．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)
A．0 B．1 C. D.
18．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
19．(2011年高考福建卷)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)
A．i∈S　　 B．i2∈S C．i3∈S D.∈S
20．(2011年高考浙江卷)把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·＝(　　)
A．3－i B．3＋I C．1＋3i D．3
21．化简的结果是(　　)
A．2＋i B．－2＋I C．2－i D．－2－i
22．(2011年高考重庆卷)复数＝(　　)
A．－－i　　　 B．－＋I C.－i D.＋i
23．(2011年高考课标全国卷)复数的共轭复数是(　　)
A．－i B.i C．－i D．i
24．i是虚数单位，()4等于(　　)
A．i B．－I C．1 D．－1
25．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(　　)
A．4＋2i B．2＋I C．2＋2i D．3＋i
26．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)
A．i B．－i C．±1 D．±i
27．(2010年高考浙江卷)对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2 C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
二、填空题
28．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
29．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
30．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－－i，z4＝－i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.
31．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
32．已知f(z＋i)＝3z－2i，则f(i)＝________.
33．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
34．(2010年高考上海卷)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝________.
35．(2011年高考江苏卷)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
36．已知复数z满足|z|＝5，且(3－4i)z是纯虚数，则＝________.
答案
一、选择题
1．解析：选A.在①中没有注意到z＝a＋bi中未对a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，从而由z＋z＝0⇒/ z1＝z2＝0，故②错误；在③中若x，y∈R，可推出x＝y＝2，而此题未限制x，y∈R，故③不正确；④中忽视0·i＝0，故④也是错误的．故选A.
2． 解析：选D.∵<2<π，∴sin 2>0，cos2<0.
故z＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．故选D.
3．解析：选B.|z|＝|1－ai|＝ ＝2，∴a＝±.
而a是正实数，∴a＝.
4．解析：选D.ai＋i2＝－1＋ai＝b＋i，
故应有a＝1，b＝－1.
5． 解析：选B.∵z＝＋i2＝－1∈R，
∴z对应的点在实轴上，故选B.
6．解析：选A.由1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i得，解得a＝，b＝.
7． 解析：选A.∵复数z在复平面上对应的点为，该点位于第一象限，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．
8．解析：选B.由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
∴，解得，∴z＝3－i.
9．解析：选D.设z＝x＋yi(x、y∈R)，
则x＋yi＋＝2＋i，
∴解得
∴z＝＋i.
10．解析：选D.由z＋i－3＝3－i，知z＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.
11．解析：选A.(－i＋3)－(－2＋5i)＝(3＋2)－(5＋1)i＝5－6i.
12．解析：选C.＋对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i＝0.
13． 解析：选D.∵z1＋z2＝(3－4i)＋(－2＋3i)
＝(3－2)＋(－4＋3)i＝1－i，
∴z1＋z2对应的点为(1，－1)，在第四象限．
14．解析：选C.设这个复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝5＋i，即a＋＋bi＝5＋i，
∴，解得.
∴z＝＋i.
15．解析：选D.先找出z1－z2，再根据求函数值的方法求解．
∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋2)＋(4＋1)i＝5＋5i.
∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.故选D.
16．解析：选D.|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|
＝
＝
＝≤.
17．解析：选C.|z＋1|＝|z－i|表示以(－1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而|z＋i|＝|z－(－i)|表示直线上的点到(0，－1)的距离，数形结合知其最小值为.
18解析：选B.法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则有|x＋yi＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1，所以根据复数模的计算公式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，又|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝＝＝.
而|x＋2|≤1，即－3≤x≤－1，∴当x＝－1时，|z－2－2i|min＝3.
法二：利用数形结合法．
|z＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2)，半径为1的圆，而|z－2－2i|＝|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.
19．解析：选B.因为i2＝－1∈S，i3＝－i∈/S，＝－2i∈/S，故选B.
20．解析：选A.(1＋z)·＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.
21．解析：选C.＝＝＝2－i.故选C.
22．解析：选C.＝＝＝＝＝－i.
23．解析：选C.法一：∵＝＝＝i，∴的共轭复数为－i.
法二：∵＝＝＝i，
∴的共轭复数为－i.
24．解析：选C.()4＝[()2]2＝()2＝1.故选C.
25．解析：选A.∵z1＝1＋i，z2＝3－i，
∴z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i－i－i2＝3＋2i＋1＝4＋2i.故选A.
26．解析：选D.法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8得，
⇒⇒.
∴＝＝＝±i.
法二：∵z＋＝4，
设z＝2＋bi(b∈R)，
又z·＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8，
∴b2＝4，∴b＝±2，
∴z＝2±2i，＝2∓2i，∴＝±i.
27．解析：选D.∵＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正确；对于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；∵|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正确；对于D，|z|＝≤|x|＋|y|，故D正确．
二、填空题
28．解析：复数z在复平面上对应的点为(m－3,2)，
∴m－3＝2，即m－2－3＝0.
解得m＝9.
答案：9
29．解析：∵|z|＝3，∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以O′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．
答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆
30．解析：|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，所以点A，B，C，D应在以原点为圆心，为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.
31．解析：表示－对应的复数，由－2－5i－(4＋3i)＝－6－8i，知对应的复数是－6－8i.
答案：－6－8i
32．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
f[a＋(b＋1)i]＝3(a＋bi)－2i＝3a＋(3b－2)i，令a＝0，b＝0，则f(i)＝－2i.
答案：－2i
33．解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.
34．解析：∵z＝1－2i，∴z·＝|z|2＝5.∴z·＋z＝6－2i.
答案：6－2i
35．解析：设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1.
答案：1
36．解析：∵(3－4i)z是纯虚数，可设(3－4i)z＝ti(t∈R且t≠0)，∴z＝，∴|z|＝＝5，∴|t|＝25，∴t＝±25，
∴z＝＝±i(3＋4i)＝±(－4＋3i)，＝±(－4－3i)＝±(4＋3i)．
答案：±(4＋3i)

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