线性代数各章要点整理.doc

第一章　行列式

主要知识点
　　一、行列式的定义和性质
　　1.余子式和代数余子式的定义
　　2.行列式按一行或一列展开的公式
　　1）
　　2)
　　3。行列式的性质
　　1）
　　2)用数k乘行列式的某一行(列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论
　　3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论
　　4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0。
　　5）行列式可以按任一行（列)拆开.
　　6)行列式的某一行(列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.

　　二、行列式的计算
　　1.二阶行列式和三角形行列式的计算。
　　2。对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.
　　3。对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开。
　　4。行列式中各行元素之和为一个常数的类型。
　　5.范德蒙行列式的计算公式
第二章　矩阵
主要知识点
　　一、矩阵的概念
　　1.要分清矩阵与行列式的区别
　　2.几种特殊矩阵(0矩阵，单位阵，三角阵,对角阵，数量阵）

　　二、矩阵的运算
　　1。矩阵A ， B的加、减、乘有意义的充分必要条件
　　2。矩阵运算的性质
　　比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点(加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）
　　重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.

　　3。转置 对称阵和反对称阵
　　1）转置的性质

　　2）若A T=A （AT= — A）,则称A为对称(反对称）阵
　　4。逆矩阵
　　1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩)的充分必要条件是。当A可逆时,
　　。
　　2）方阵A的伴随阵的定义。重要公式；与A —1的关系
　　（当方阵A可逆时,)
　　3）重要结论：若 n阶方阵A,B满足AB=E，则A，B都可逆，且A-1=B ，B-1=A。
　　4）逆矩阵的性质：
　　; ; 。
　　5)消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。（若不知A可逆,
　　仅知A≠0结论不一定成立。)
　　5.方阵的行列式

　　6。分快矩阵
　　矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置

　　三、矩阵的初等变换和初等矩阵
　　1。初等变换的定义和性质
　　方阵经初等变换后的行列式是否变化？(分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）
　　初等变换不改变方阵的可逆性;初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形，其中r为矩阵A的秩。
　　2.初等矩阵的定义和性质
　　1)初等矩阵的定义
　　2) 初等变换和矩阵乘法之间的关系
　　3）对任意m×n阶矩阵A，总存在一系列m阶初等阵和一系列n阶初等阵使得

　　四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法

　　五、矩阵方程的标准形及解的公式

第三章　向量空间本文为互联网收集，请勿用作商业用途

主要知识点
　　一、n维向量线性运算的定义和性质；
　　设是一组n维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数使得则称向量组线性相关。否则,称向量组线性无关。

　　二、n维向量组的线性相关性
　　1.向量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理;
　　(1）m个n维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合。
　　线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合。
　　（2） 如果向量组线性无关,而线性相关，则β可由线性表示,且表示法唯一.
　　（3) 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关。（部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）
　　（4） 若向量组线性无关，则接长向量组
　　必线性无关.
　　2。判断向量组的线性相关性的方法
　　（1)一个向量α线性相关;
　　（2）含有零向量的向量组必线性相关；
　　（3）向量个数＝向量维数时，n维向量组线性相关
　　；
　　(4)向量个数 〉向量维数时， 向量组必线性相关；
　　（5) 若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；
　　（6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；
　　（7)向量组线性无关向量组的秩＝所含向量的个数 ，
　　向量组线性相关向量组的秩<所含向量的个数;
　　（8）向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组

　　有（没有）非零解.
　　三、向量组的极大无关组及秩
　　1。极大无关组的定义
　　2.向量组的秩 求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法
　　四、子空间的定义，，基、维数、向量在一组基下的坐标
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一、线性方程组的三种表示方法

　　二、齐次线性方程组
　　1。齐次方程组解的性质
　　设α,β都是Ax＝0的解,则C1α＋C2β也是Ax＝0的解（C1,C2为任意常数）
　　2.齐次方程组有非零解的条件
　　1）齐次方程组AX＝0有非零解的充分必要条件是r(A）＜未知数的个数(即矩阵A的列数).
　　2）n个未知数n个方程的齐次方程组AX＝0有非零解的充分必要条件是|A｜＝0。
　　3)设A是m×n阶矩阵。若m＜n,则齐次方程组AX＝0必有非零解。（这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必 要）
　　3。齐次方程组解的结构
　　1）齐次方程组AX＝0的基础解系的概念
　　重要结论:齐次方程组AX＝0的任意n－r(A)个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系;
　　2)齐次方程组AX＝0的基础解系的求法
　　3）齐次方程组AX＝0的通解公式

　　三、非齐次方程组
　　1.非齐次方程组解的性质
　　（1)设η1,η2都是Ax＝b的解，则η1－η2是它的导出组Ax＝0的解.
　　（2）设η1,η2都是Ax＝b的解,则当k1＋k2＝1时，k1η1＋k2η2也是Ax＝b的解。
　　（3)设η是Ax＝b的一个解,是它的导出组Ax＝0的解,则是Ax＝b的解。
　　2。关于非齐次方程组解的讨论
　　定理:n个未知数，m个方程的线性方程组AX＝β中,(系数矩阵A是m×n阶矩阵）是增广矩阵。则
　　1）当且仅当（未知数的个数）时,方程组AX＝β有惟一解;
　　2)当且仅当(未知数的个数）时，方程组AX＝β有无穷多解;
　　3）当且仅当时,方程组AX＝β无解.
　　从以上定理可见
　　1)线性方程组AX＝β有解的充分必要条件是.
　　2）当线性方程组AX＝β方程的个数＝未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式|A｜≠0。
　　3.非齐次方程组AX＝β的通解的结构

　　其中是方程AX＝β的一个特解，r＝r（A）为系数矩阵的秩，为它的导出组（与它对应的）齐次方程组AX＝0的基础解系；
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主要知识点
　　一、特征值与特征向量
　　1。特征值与特征向量的定义
　　要点：λ是n阶方阵A的特征值，是指存在非零向量α，使得Aα=λα这时，称α为矩阵A属于特征值λ的特征向量.由此知,λ是n阶方阵A的特征值，这时，齐次方程组(λE-A）x=0的非零解都是矩阵A属于特征值λ的特征向量.
　　2.关于特征值、特征向量的性质
　　1）AT与A有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；
　　2)设α1，α2都是矩阵A属于特征值λ的特征向量，k1，k2是数,只要，则k1α1+ k2α2也是矩阵A属于特征值λ的特征向量;
　　3） 设n阶方阵A的n个特征值为λ1,λ2,…,λn，则

　　4）矩阵A属于不同特征值的特征向量线性无关;
　　5)设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则α是矩阵f（A)属于特征值f（λ）的特征向量,其中.
　　6）设λ是可逆矩阵A的特征值.则λ≠0,且是矩阵A-1的特征值。
　　3。特征值、特征向量的求法

　　二、相似矩阵
　　1。相似矩阵的定义
　　2. 相似矩阵的性质
　　1）反身性，对称性，传递性；
　　2）若方阵A与B相似，则，且,trA表示矩阵A的迹，即,λ1，λ2,…，λn为方阵A的n个特征值；
　　3）若方阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；
　　注意：反之,若A与B有相同的特征值，A与B不一定相似；例如有相同的特征值，但A与B不相似。
　　3.方阵A的对角化问题
　　1）n阶方阵A能与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量；设λ1，λ2，…,λn是方阵A的n个特征值，p1,p2，…，pn依次是方阵A的属于特征值λ1,λ2，…,λn的n个线性无关的特征向量。若令，则
　　。
　　2）若方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根)，则A必能与对角阵相似.（这是A能与对角阵相似的充分条件,不是必要条件）

　　三、向量的内积和正交矩阵
　　1.向量内积的定义:设
　　2.向量的长度
　　3。单位化向量
　　4.正交向量组的定义及其性质
　　5.施密特正交化手续
　　6。正交矩阵
　　1）正交矩阵的定义;如果n阶方阵A满足AAT＝E，则称它为正交阵
　　2）正交矩阵的性质：设方阵A为正交阵，则｜A|＝±1；A必可逆,且A-1＝AT；
　　如果A，B都是n阶正交阵，则AB也是正交阵；A是正交阵的充分必要条件是A的列（行）向量组构成Rn的标准正交基。

　　四.实对称矩阵
　　1.实对称矩阵的特征值都是实数；
　　2。实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；
　　3.实对称矩阵必能与对角阵相似，且存在正交阵P，使得P-1AP为对角形.
　　4.任给实对称阵A，如何求出正交阵P,使得P-1AP为对角形.文档为个人收集整理，来源于网络
第六章　实二次型

一、二次型及其矩阵表示

　　二、矩阵的合同

　　三、用正交变换化二次型为标准形
　　1）定理 对任意实二次型，总存在正交变换x=Py，使得该二次型化为标准型
　　，
　　其中λ1,λ2，…,λn为实对称矩阵A的n个特征值。
　　此定理说明：对任意实对称矩阵A，总存在正交阵P,使得

　　其中λ1,λ2,…，λn为实对称矩阵A的n个特征值.（即实对称矩阵A必能与对角阵

　　合同.
　　2）要掌握用正交变换化二次型为标准形的方法。
　　4.配方法化二次型为标准形。
　　5。惯性定律
　　6.正定二次型与正定矩阵
　　1）定义
　　2）二次型正定(方阵正定）的充分必要条件
　　正定的充分必要条件是它的正惯性指数＝n。
　　正定的充分必要条件是A与单位阵合同。
　　正定的充分必要条件是A的所有特征值都大于零.
　　正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子都大于零。
　　3）二次型正定性的定义及其判别方法
　　定义
　　关于二次型正定性的判断：
　　n元二次型正（负)定它的正（负）惯性指数＝n；
　　n元二次型半正（负)定它的负（正）惯性指数＝0；
　　n元二次型不定它的正，负惯性指数都不等于0.

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